2026屆江蘇省揚(yáng)州市紅橋高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一個(gè)圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤、②正確2．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.3．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長是（）A. B.C.8 D.164．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A B.C. D.65．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.26．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)7．已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上 D.當(dāng)時(shí)在軸上8．已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.3C.5 D.79．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.110．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.11．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，第次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列；記，則(1)___________，(2)___________14．設(shè)過點(diǎn)K(-1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若|BF|=2|AF|，則cos∠AFB=_______15．某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間，通過計(jì)算得到男生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為8小時(shí)，方差為6；女生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為6小時(shí)，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為________16．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求的值.18．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍19．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.20．（12分）已知?jiǎng)又本€l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝9(1)求證：無論m為何值，直線l與圓C總相交(2)m為何值時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長最??？請(qǐng)求出該最小值21．（12分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22．（10分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計(jì)算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計(jì)算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯(cuò)誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：C3、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長是，故選：D.4、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.5、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A6、D【解析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D7、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力8、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.9、C【解析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以故選：C10、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D11、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.12、B【解析】這是中點(diǎn)弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；14、【解析】根據(jù)已知設(shè)直線方程為與C聯(lián)立，結(jié)合|BF|=2|AF|，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線的方程為將直線方程代入批物線C:的方程，得令且，所以由拋物線的定義知，由|BF|=2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則則.故答案為：15、【解析】先求出100名學(xué)生每周鍛煉的平均時(shí)間，然后再求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差，從而可估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，因?yàn)?5名男生每周鍛煉時(shí)間的方差為6；45名女生每周鍛煉時(shí)間的方差為8，所以這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為，所以該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差約為，故答案為：16、【解析】首先利用展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和是求出，然后即可求出二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是，故有，可得，知當(dāng)時(shí)有.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)式的系數(shù)和求參數(shù)，求二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.18、（1）（2）【解析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對(duì)直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可計(jì)算出的長度的表達(dá)式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達(dá)式，將兩線段長度表達(dá)式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，由知，設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，，，，同理得，所以，，令，則，，設(shè)，，所以，，所以，，則綜合可知，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為20、(1)詳見解析(2)m為－時(shí)，截得的弦長最小，最小值為2【解析】（1）將直線l變形，可知直線l過定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)部；（2）利用垂徑定理和弦長公式可得.【詳解】(1)證明：直線l變形為m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0令解得,如圖所示，故動(dòng)直線l恒過定點(diǎn)A(2,3)而|AC|＝＝<3(半徑)∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，故無論m取何值，直線l與圓C總相交(2)解:由平面幾何知識(shí)知，弦心距越大，弦長越小，即當(dāng)AC垂直直線l時(shí)，弦長最小，此時(shí)kl·kAC＝－1，即,∴m＝－最小值為故m為－時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長最小，最小值為2【點(diǎn)睛】考查直線過定點(diǎn)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及弦長問題，解題的關(guān)鍵是直線系形式的轉(zhuǎn)化.21、（1）命題“”為真命題（2）【解析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷；（2）根據(jù)命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問1詳解】解：對(duì)于命題p，易知直線與雙曲線的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，∴命題p為假命題；對(duì)于命題q，時(shí)，有與，顯然兩條直線垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問2詳