2026屆四川省宜賓市興文縣高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.2．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺3．圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別是（）A. B.C. D.4．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.5．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上.給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④6．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.807．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假8．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.10．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.11．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.012．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.60二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為________.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則___________.15．兩個人射擊，互相獨(dú)立．已知甲射擊一次中靶概率是0.6，乙射擊一次中靶概率是0.3，現(xiàn)在兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率為_____________16．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長的選法數(shù)可以用表示為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，．點(diǎn)E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn).19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以為始邊，為終邊的角時，.（1）求的方程（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值20．（12分）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，圓心的軌跡為（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知直線交軌跡于兩點(diǎn)，，且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值為多少？21．（12分）將離心率相同的兩個橢圓如下放置，可以形成一個對稱性很強(qiáng)的幾何圖形，現(xiàn)已知.（1）若在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)一條斜率為正的直線與依次切于兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，試求的最大值及此時的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.2、B【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，故所以冬至當(dāng)日日影長為.故選：B3、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案.【詳解】由題可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為3，故選.4、D【解析】根據(jù)題意的到，，代入到雙曲線方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，∵直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.5、D【解析】當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時判斷①；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，推理導(dǎo)出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時，，，而，則，當(dāng)P與E重合時，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)在另一個平面上的射影都在這兩個平面的交線上.6、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C7、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.8、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在曲線上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.9、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.10、A【解析】先由列舉法計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數(shù)，基本事件個數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：14、【解析】當(dāng)時，，可得，可得數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，即所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是等比數(shù)列，分別求和，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)時，，∴，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是等比數(shù)列，所以.故答案為：.15、72【解析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，若甲、乙兩個各射擊1次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為.故答案為：16、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長，∴選法數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得值，得定點(diǎn)坐標(biāo)【小問1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得（因?yàn)椋?，所以拋物線方程為；【小問2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，所以，所以，直線不過原點(diǎn)，，所以所以直線過定點(diǎn)19、（1）（2）【解析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據(jù)，求得，設(shè)，得到，進(jìn)而求得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，求得，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，拋物線，可得其準(zhǔn)線方程，如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)闀r，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：由拋物線，可得，設(shè)，因?yàn)橹本€的直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由拋物線的定義得，設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，可得，因?yàn)椋渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.20、（1）（2）【解析】（1）利用拋物線的定義直接可得軌跡方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由題設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到的距離，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所求軌跡的方程為；【小問2詳解】由題意易知直線的斜率存在，設(shè)中點(diǎn)為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，，且，，又中點(diǎn)為，即，，故恒成立，，，所以，當(dāng)時，取最大值為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式21、（1）（2）；【解析】（1）設(shè)，將點(diǎn)代入得出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立與直線的方程，得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出的最大值及此時的標(biāo)準(zhǔn)方程.