試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)九龍坡區(qū)高2026屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)(第一次)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．5C． D．3．有一位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，記錄每次命中的環(huán)數(shù)，得到如下一組數(shù)據(jù):7，8，7，9，5，6，9，10，7，4.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（

）A．5.5 B．6 C．8.5 D．94．雙曲線的焦距為，其一條漸近線方程為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．5．已知變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，當(dāng)增加1個(gè)樣本數(shù)據(jù)后，重新得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率為，則在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的估計(jì)下，樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的殘差為（

）A． B． C．1 D．26．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的最小正周期為，將所有的正零點(diǎn)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前12項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．8．如圖左，是由一個(gè)四邊形和兩個(gè)三角形構(gòu)成的平面圖形，已知四邊形為矩形，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將和分別沿直線和折起，連接，得到幾何體，如圖右，在這個(gè)幾何體中，，若幾何體頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）

A． B． C． D．二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（

）A．橢圓的離心率為 B．C．直線的斜率為2 D．10．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．的最大值為C．的周長(zhǎng)的取值范圍是 D．的最大值為11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)存在唯一零點(diǎn)B．若方程在上有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．存在唯一，使得D．關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.13．已知，則.14．盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，從盒中每次取1個(gè)球，取出后將原球放回，再加入2個(gè)同色球，所有的球除顏色外其它均相同，則第2次取到紅球的概率為；在第2次取到紅球的前提下，第3次取到白球的概率為.四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求和；(2)設(shè)，證明：.16．如圖，在四棱錐中，平面底面，四邊形為直角梯形，，已知為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.17．某企業(yè)為了提高生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量，更新了機(jī)器設(shè)備，為了檢驗(yàn)新機(jī)器生產(chǎn)零件的質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢部門要對(duì)新機(jī)器生產(chǎn)的零件抽樣檢測(cè).(1)在調(diào)試生產(chǎn)初期，質(zhì)檢部門抽檢該機(jī)器生產(chǎn)的10個(gè)零件中有2個(gè)為次品，現(xiàn)從這10個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)零件，設(shè)抽取的零件為次品的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)在正式生產(chǎn)后，質(zhì)檢部門從新機(jī)器生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢驗(yàn)，其中有3件為次品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從新機(jī)器生產(chǎn)的這批零件中隨機(jī)抽取個(gè)零件，記這個(gè)零件中恰有2件為次品的概率為，求取得最大值時(shí)的值.18．已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)對(duì)，都有，求的取值范圍；(3)設(shè)，若在上有零點(diǎn)，求證：.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，半徑為的圓與軸相切于點(diǎn)，圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)記為.(1)設(shè)，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(用含的式子表示)；(2)若是唯一的公共點(diǎn)，且.(ⅰ)求的方程；(ⅱ)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求的值.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．C【分析】通過(guò)求解不等式，得集合，根據(jù)集合的交集求得.【詳解】由，得，所以.所以.因?yàn)?，所?故選：C.2．C【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的性質(zhì)，以及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C3．B【分析】先從數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，，故從小到大選取第3個(gè)數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)，即6.故選：B4．A【分析】由題意求得的值，即可得到雙曲線的方程.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，解得.所以雙曲線的方程為.故選：A.5．B【分析】先計(jì)算新的數(shù)據(jù)的平均值，后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再結(jié)合殘差概念計(jì)算即可.【詳解】由，可得增加1個(gè)樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)為，因?yàn)?，所以，則增加1個(gè)樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)為，所以，解得，所以新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，，樣本點(diǎn)的殘差為.故選：B.6．D【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由可得，.因?yàn)椋?，?.由可得，.因?yàn)?，所以，所?綜上，.故選：D.7．A【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)，并利用的最小正周期求出，得到的解析式，令得到或，，確定奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，，所以，故，所以，令，即，即，所以或，解得或，，又所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，故令且，得到，，，，……，顯然，奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故數(shù)列的前12項(xiàng)和為.故選：A8．B【分析】找到球心及球心在平面上的投影，根據(jù)各邊長(zhǎng)度，設(shè)出，利用半徑構(gòu)造直角三角形列出方程，求出半徑，即可得到球的表面積.【詳解】連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則點(diǎn)為矩形的外接圓圓心，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，所以，可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且平面，所以平面，且平面，可得平面平面，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，設(shè)，所以到平面的距離，設(shè)，外接球的半徑為，因?yàn)椋瑒t，，即，解得，所以，故球的表面積為.

故選：.9．BD【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，利用余弦定理，三角形面積公式等逐一計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由題意知，所以，所以，所以離心率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓定義可知，在中，由余弦定理得：，即，所以，故B正確；對(duì)于C，由得，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱，所以，又為橢圓上一點(diǎn)，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：BD10．ABD【分析】對(duì)于A，由題設(shè)結(jié)合正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可判斷；對(duì)于B，先由余弦定理得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得，再結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而求解判斷即可；對(duì)于C，結(jié)合B及基本不等式可得，進(jìn)而判斷即可；對(duì)于D，根據(jù)正弦定理及三角恒等變換公式可得，進(jìn)而求解判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，根據(jù)正弦定理得，，則，即，在中，，則，即，又，則，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理得，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于為的中點(diǎn)，則，所以，則的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由B知，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，則的周長(zhǎng)的最大值為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理得，則，所以，因?yàn)椋?，則，即時(shí)，，取得最大值為，故D正確.故選：ABD11．ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：對(duì)求導(dǎo)后根據(jù)的正負(fù)判斷單調(diào)遞增后易得存在唯一零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B：對(duì)求導(dǎo)后根據(jù)的正負(fù)判斷的增減性，求出極小值即最小值不在選項(xiàng)范圍內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，再根據(jù)形式化簡(jiǎn)后求導(dǎo)并判斷的增減性，求出極小值即最小值為0，即存在唯一零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)D：討論的范圍后參變分離，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)分析即可求得的取值范圍.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題易得，則在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理，在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由題得，令，則，故在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，故在處取極小值，即最小值，且易得當(dāng)時(shí)，，則有若在上有唯一解，則或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，，則，故，則，令，，故在上，，單調(diào)遞減，則在上，，單調(diào)遞增，故在處取極小值即最小值，則有在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，由選項(xiàng)A易得在上單調(diào)遞增，故有且僅有1個(gè)解使，即有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若有在R上恒成立，討論的范圍后參變分離：①若，則有，顯然成立②若，則有，令，則，令，或（舍），易得當(dāng)時(shí)，在處取極小值即最小值，因此；③若，則有，令，則，令，（舍）或，易得當(dāng)時(shí)，在處取極大值即最大值，因此；綜上，的取值范圍是故選項(xiàng)D正確.故選：ACD12．【分析】先得到，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得到，求出答案.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，故，又當(dāng)時(shí)，，故，所以.故答案為：13．##【分析】利用兩角差的正切公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切即可求解.【詳解】由題意得，所以.故答案為：14．####【分析】根據(jù)條件概率及全概率公式即可求解.【詳解】記事件“第次取到紅球”，則，，所以，即第2次取到紅球的概率為；，所以，即在第2次取到紅球的前提下，第3次取到白球的概率為.故答案為：；.15．(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列式求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和即可證明.【詳解】（1）由為等比數(shù)列，，可得，即，，解得，所以，，.（2），，，因?yàn)?，所以，從?16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合中位線性質(zhì)，利用線面平行的判定定理即可證明.（2）先利用面面垂直的性質(zhì)及梯形性質(zhì)可得，，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得二面角平面角的余弦值，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解正弦值即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平?

（2）取棱的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋沂抢獾闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫娴酌妫矫娴酌妫矫?，所以底面，又底面，底面，所以，，因?yàn)?，且，所以且，又，故四邊形為矩形，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，則，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，所以，故平面與平面所成二面角的正弦值為．17．(1)的分布列詳見(jiàn)解析；(2)66【分析】（1）根據(jù)分布列、數(shù)學(xué)期望及超幾何分布概率計(jì)算公式求解即可.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求出，比較與1的大小關(guān)系，判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而找到最大值點(diǎn).【詳解】（1）的可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012數(shù)學(xué)期望為.（2）由頻率估計(jì)概率，單次抽到次品的概率為，則個(gè)零件中恰有2件次品的概率為..令，即，解得；令，解得.因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以?在時(shí)取得最大值.故取得最大值時(shí)的值為66.18．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分、兩種情況討論求解即可；（3）設(shè)在上的零點(diǎn)為，由題意可得，則點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求證即可.【詳解】（1）由，得，而，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由，則，即對(duì)于恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即對(duì)于恒成立；當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上所述，的取值范圍為.（3）由，，令，即，設(shè)在上的零點(diǎn)為，則，則點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，所以表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則，即，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，又，則，設(shè)，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即.19．(1)(2)(ⅰ)；(ⅱ)【分析】（1）寫(xiě)出圓的方程，根據(jù)點(diǎn)在圓上列方程，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上消去即可求出答案；（2）(ⅰ)將圓的方程與拋物線方程聯(lián)立消得，根據(jù)題意得方程有且只有一個(gè)根，令，通過(guò)求導(dǎo)求出函數(shù)的唯一零點(diǎn)，即為，代入（1）的結(jié)論即可求出拋物線方程；(ⅱ)聯(lián)立直線方程與拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程即可求出，求出，即可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)在軸