試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025~2026學(xué)年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)2026.1本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120.分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.請(qǐng)考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．53．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則（

）A．12 B．15 C．18 D．214．已知非零向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．5．已知，則（

）A． B．C． D．6．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且面積滿足，則（

）A． B． C． D．27．圓和圓的兩條公切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．下列曲線中，與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的是（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．對(duì)相同的樣本數(shù)據(jù)選取不同的組距（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間）畫(huà)出如圖1?圖2所示的頻率分布直方圖，其中圖2的部分信息丟失，由頻率分布直方圖的信息對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，則（

）

A．圖2中的頻率為0.3B．圖2眾數(shù)的估計(jì)值唯一C．圖1與圖2中位數(shù)的估計(jì)值相同D．圖1與圖2平均數(shù)的估計(jì)值相同10．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），則（

）A．三棱錐的體積為定值B．的最小值為5C．若，則的軌跡長(zhǎng)度為D．三棱錐外接球的體積存在最大值與最小值11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．B．C．若，則D．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.13．若函數(shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是.14．已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的離心率為.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)，且）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．如圖，三棱柱中，平面平面，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．某款（人工智能）機(jī)器人進(jìn)行射門(mén)游戲，射中得1分，未射中得分，當(dāng)累計(jì)得分達(dá)到2分或分時(shí)游戲結(jié)束，否則游戲?qū)⒁恢边M(jìn)行下去，時(shí)獲勝，時(shí)落敗，已知該款機(jī)器人射門(mén)的命中率為，各次射門(mén)相互獨(dú)立.(1)求機(jī)器人恰好射門(mén)4次后獲勝的概率；(2)表示“機(jī)器人射門(mén)次，游戲仍未結(jié)束”.（i）若，求和；（ii）若，求游戲結(jié)束時(shí)的數(shù)學(xué)期望.18．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求；(3)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，在處分別作曲線的兩條切線，證明：與的交點(diǎn)在軸上.19．已知點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是，直線被截得的弦長(zhǎng)為.(1)求的方程.(2)已知是的右支上不同的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)，使得.（i）若點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)總在某定直線上；（ii）若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為（異于），求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.2．D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則求解即可.【詳解】.故選：D.3．B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而結(jié)合題意列出關(guān)于的方程解得，再根據(jù)通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，即，解得，所以故選：B4．C【分析】由題意得，兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的定義、運(yùn)算律即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意可得，兩邊平方得，展開(kāi)整理得，代入，得，即，所以.故選：C.5．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出對(duì)數(shù)式的范圍計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，則.故選：C.6．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理與面積公式得，再根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)整理即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，即，所以，所以，即，因?yàn)椋?，?故選：A7．C【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再根據(jù)幾何性質(zhì)可得為的中點(diǎn)，故可求交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，故圓的半徑為，圓的半徑為，且，故圓心距為，而，故兩圓相交，故兩圓有兩條外公切線，

設(shè)一條公切線與兩圓的切點(diǎn)分別為，兩條切線的交點(diǎn)為，連接，則，故，由幾何性質(zhì)可得共線，故，故為的中點(diǎn)，故，故選：C.8．B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，進(jìn)而可得圖象，結(jié)合圖象分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，令，解得或；令，解得；可知函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值；且當(dāng)趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于；對(duì)于選項(xiàng)A：分別作出曲線和曲線的圖象，由圖象可知：曲線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B：曲線，用替換可得，即，方程不變，曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；用替換可得，即，方程不變，曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；且當(dāng)且時(shí)，曲線即為，據(jù)此可得曲線和曲線的圖象，如圖所示：由圖象可知：曲線與曲線有6個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)C：曲線即為，由圖象可知：曲線與曲線有4個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)D：曲線即為，由圖象可知：曲線與曲線有5個(gè)交點(diǎn)；綜上所述：與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的是.故選：B.9．AC【分析】A計(jì)算矩形面積即可；B先估計(jì)缺失部分的高度，進(jìn)而結(jié)合眾數(shù)的概念判斷；C利用中位數(shù)的定義計(jì)算；D利用平均數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】圖2中的頻率為，故A正確；設(shè)在圖2中所對(duì)應(yīng)矩形的高度分別為，在圖1中的頻率為，故，得，故，則眾數(shù)必在中取得，因圖2中的高度相等，故眾數(shù)的估計(jì)值不唯一，故B錯(cuò)誤；圖1中中位數(shù)的估計(jì)值為；圖2中，前個(gè)矩形面積之和為，故中位數(shù)的估計(jì)值為，故C正確；圖1平均數(shù)的估計(jì)值為；圖2平均數(shù)的估計(jì)值為，不確定，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)等體積法求解體積判斷A；取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)后連接，利用三點(diǎn)共線求解即可判斷B；找到過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面與側(cè)面的交線，再計(jì)算交線長(zhǎng)度即可得C；根據(jù)三棱錐外接球的特征分析計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，依題意點(diǎn)到平面的距離為棱長(zhǎng)2，則的面積為，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，如圖作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易得，因平面，平面，則，又，平面，則平面，因平面，則，同理，又平面，故平面，因?yàn)?，所以平面，又平面?zhèn)让?，所以的軌跡為線段，其長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D，如圖取的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以為外接圓的圓心，設(shè)外接球的球心為，半徑為R，根據(jù)外接球的性質(zhì)，則平面，連接，作平面于點(diǎn)，連接，記，則，，在直角梯形中，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的投影為H，，則，即，故三棱錐外接球的體積的最大值為，最小值為，故D正確.故選：ACD11．BCD【分析】用特值法判斷A,B；用賦值法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷C；根據(jù)單調(diào)性列不等式，判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以不一定成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；對(duì)于C，令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D，令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以；令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以；令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以；……令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以，所以，所以D正確.故選：BCD12．240【分析】寫(xiě)出通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，得到，從而常數(shù)項(xiàng)為.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，，故答案為：240.13．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式求解即可.【詳解】函數(shù)零點(diǎn)滿足，，即，，因?yàn)榍?，所以為正整?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以即至少有兩個(gè)正整數(shù)解，為保證區(qū)間至少包含兩個(gè)正整數(shù)，該區(qū)間須至少能覆蓋一對(duì)連續(xù)的正整數(shù)和，所以，即，為使該不等式有解，須滿足，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為.故答案為：14．##【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，證明四邊形為平行四邊形，設(shè)，結(jié)合橢圓定義和余弦定理可得，在中，由余弦定理可得的關(guān)系，由此可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、、，由題意可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以，由，設(shè)，則，所以，，，在中，由余弦定理得，，，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，故橢圓的離心率.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，裂項(xiàng)得，相消求和即得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，由于，故，不適合，綜上，的通項(xiàng)公式為.（2）若，由（1）即，得，所以，時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，綜上，.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)平面平面和得到平面，從而得到平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，利用向量法即可求解.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，三棱柱側(cè)面為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平?（3）由，，得，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)（i）；；（ii）游戲結(jié)束時(shí)的數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）利用條件概率公式即可得到答案；（ii）分第2次游戲結(jié)束和第2次游戲未結(jié)束兩種情況討論即可.【詳解】（1）若機(jī)器人恰好射4次獲勝，則前兩次僅射中一次，后兩次射中，故；（2）（i）由題意得，，所以；若第次，游戲結(jié)束，則第次，第次僅射中一次（）為奇數(shù)，可得；所以；（ii），得到，解得；設(shè)游戲結(jié)束時(shí)的概率為，的概率為，因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)或，所以，又因?yàn)槊看紊溟T(mén)射中概率為，未射中概率為，設(shè)，則即，解得即，，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，可得.18．(1)答案見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，記，通過(guò)討論的符號(hào)討論的單調(diào)性；（2）由（1）知，極值點(diǎn)滿足，則，代入求解；（3）可證，求出方程，由比較兩切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，記，則，當(dāng)時(shí)，，又，，所以有兩個(gè)正根，滿足，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在和單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，故恒成立，所以在和單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，由韋達(dá)定理可知，的兩根為負(fù)，所以在和恒成立，所以在和恒成立，所以在和單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增.（2）由（1）知，極值點(diǎn)滿足，由韋達(dá)定理可得，所以，即.（3）因?yàn)?，所以若為零點(diǎn)，則也是的零點(diǎn)，所以，切線，切線，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，兩切線的縱坐標(biāo)相等，即兩切線的交點(diǎn)在軸上.19．(1)(2)（i）證明見(jiàn)詳解；（ii）直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)漸近線可得，代入點(diǎn)可得，即可得雙曲線方程；（2）（i）設(shè)，，根據(jù)向量共線結(jié)合點(diǎn)差法分析證明；（ii）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理求、和，求點(diǎn)和直線，令可得，即可得結(jié)