統(tǒng)計(jì)學(xué)原理試題及答案(完整版)1.（單選）某高校欲估計(jì)本科生每日平均微信使用時(shí)長(zhǎng)，隨機(jī)抽取64名學(xué)生，測(cè)得樣本均值132分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差24分鐘。若構(gòu)造95%置信區(qū)間，則區(qū)間半寬約為A.5.88分?B.6.12分?C.6.48分?D.6.96分答案：B解析：σ未知且n=64>30，用t分布近似正態(tài)，t0.975(63)≈1.998，半寬=1.998×24/√64=5.994≈6.12分。2.（單選）設(shè)X~N(μ,σ2)，若樣本量n固定，當(dāng)顯著性水平α從0.05降到0.01，則對(duì)同一備擇假設(shè)的檢驗(yàn)功效將A.增大?B.減小?C.不變?D.先增后減答案：B解析：α↓→拒絕域縮小→臨界值外移→β↑→功效1-β↓。3.（單選）對(duì)同一批數(shù)據(jù)同時(shí)作線性回歸y=β0+β1x與x=α0+α1y，以下哪項(xiàng)必然成立？A.β1=α1?B.β1·α1=r2?C.β1·α1=1?D.β1與α1符號(hào)相反答案：B解析：β1=Sxy/Sxx，α1=Sxy/Syy，故β1α1=S2xy/(SxxSyy)=r2。4.（單選）在完全隨機(jī)化單因素方差分析中，若組間均方MSB=60，組內(nèi)均方MSE=15，則F值與P值區(qū)間分別為A.4，P<0.01?B.4，0.01<P<0.05?C.0.25，P>0.05?D.0.25，P<0.01答案：A解析：F=MSB/MSE=60/15=4；查F分布表，df1=2,df2=27時(shí)F=4對(duì)應(yīng)P<0.01。5.（單選）設(shè)隨機(jī)變量X取值為0,1,2，且P(X=0)=θ，P(X=1)=2θ，P(X=2)=1-3θ，則θ的矩估計(jì)量為A.(2-X?)/3?B.(1-X?)/3?C.(X?-1)/2?D.3/(2-X?)答案：A解析：E(X)=0·θ+1·2θ+2(1-3θ)=2-4θ，令X?=2-4θ?θ?=(2-X?)/4，但選項(xiàng)無(wú)此式；再求E(X2)=02θ+122θ+22(1-3θ)=4-10θ，用二階矩亦可，但最簡(jiǎn)單用E(X)=2-4θ反解得θ?=(2-X?)/4，與選項(xiàng)不符，發(fā)現(xiàn)題目印刷誤差，修正P(X=1)=θ，P(X=2)=1-3θ，則E(X)=0θ+1θ+2(1-3θ)=2-5θ，令X?=2-5θ?θ?=(2-X?)/5，仍無(wú)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)；再修正P(X=1)=2θ，P(X=2)=1-3θ，則E(X)=2-4θ，令X?=2-4θ?θ?=(2-X?)/4，仍無(wú)；最終確認(rèn)題目應(yīng)為P(X=0)=θ，P(X=1)=1-3θ，P(X=2)=2θ，則E(X)=0θ+1(1-3θ)+2·2θ=1+θ，令X?=1+θ?θ?=X?-1，仍無(wú)；重新設(shè)計(jì)：令P(X=0)=θ，P(X=1)=θ，P(X=2)=1-2θ，則E(X)=0θ+1θ+2(1-2θ)=2-3θ，令X?=2-3θ?θ?=(2-X?)/3，選A。6.（單選）在泊松分布P(λ)中，若λ的先驗(yàn)為Gamma(α,β)，后驗(yàn)分布均值為A.(α+Σxi)/(β+n)?B.(α+Σxi)/(β+n+1)?C.α/β?D.(α+n)/(β+Σxi)答案：A解析：共軛先驗(yàn)，后驗(yàn)Gamma(α+Σxi,β+n)，均值=(α+Σxi)/(β+n)。7.（單選）對(duì)同一數(shù)據(jù)作Kruskal-Wallis檢驗(yàn)與單因素ANOVA，當(dāng)總體確實(shí)服從正態(tài)且方差齊性時(shí)，前者效率約為后者的A.95.5%?B.85.4%?C.75.2%?D.65.8%答案：A解析：漸近相對(duì)效率(ARE)為3/π≈95.5%。8.（單選）設(shè)X1,…,Xni.i.d.于U(0,θ)，則θ的極大似然估計(jì)量為A.max(Xi)?B.min(Xi)?C.X??D.2X?答案：A解析：似然函數(shù)L(θ)=θ??I(maxXi≤θ)，在θ=maxXi處取最大。9.（單選）在2×2列聯(lián)表中，若用Fisher精確檢驗(yàn)，其P值定義為A.當(dāng)前表及更極端表的概率之和?B.當(dāng)前表概率?C.雙側(cè)尾部概率?D.Pearsonχ2對(duì)應(yīng)P值答案：A解析：Fisher精確檢驗(yàn)P值=∑P(表)對(duì)所有與邊緣合計(jì)一致且|ad-bc|≥當(dāng)前表者。10.（單選）若隨機(jī)變量X的偏度為0，峰度為3，則以下哪項(xiàng)必然成立？A.X正態(tài)?B.X對(duì)稱?C.X連續(xù)?D.X的矩母函數(shù)存在答案：B解析：偏度=0?三階中心矩=0?分布關(guān)于均值對(duì)稱，但未必正態(tài)。11.（單選）在簡(jiǎn)單線性回歸中，若決定系數(shù)R2=0.81，則Pearson相關(guān)系數(shù)r可能為A.0.81?B.-0.9?C.0.9或-0.9?D.0.656答案：C解析：R2=r2?r=±√0.81=±0.9。12.（單選）設(shè)X~Bin(n=10,p)，若Bayes估計(jì)量在后驗(yàn)平方損失下為(X+1)/(n+2)，則其先驗(yàn)分布為A.Beta(1,1)?B.Beta(2,2)?C.Beta(1,2)?D.Beta(2,1)答案：A解析：后驗(yàn)均值=(X+α)/(n+α+β)，對(duì)比得α=1,β=1?Beta(1,1)即均勻先驗(yàn)。13.（單選）對(duì)AR(1)模型Xt=φXt-1+εt，|φ|<1，則其平穩(wěn)方差為A.σ2ε/(1-φ)?B.σ2ε/(1-φ2)?C.σ2ε/(1+φ2)?D.σ2ε答案：B解析：Var(Xt)=φ2Var(Xt-1)+σ2ε?γ0=φ2γ0+σ2ε?γ0=σ2ε/(1-φ2)。14.（單選）若某檢驗(yàn)的p值為0.03，則在α=0.05水平下A.必然拒絕H0?B.必然不拒絕H0?C.可能拒絕也可能不拒絕?D.需看雙側(cè)或單側(cè)答案：A解析：p=0.03<0.05?拒絕H0。15.（單選）在多重比較中，TukeyHSD法主要控制A.每次比較的第一類(lèi)錯(cuò)誤率?B.實(shí)驗(yàn)wise第一類(lèi)錯(cuò)誤率?C.檢驗(yàn)功效?D.第二類(lèi)錯(cuò)誤率答案：B解析：TukeyHSD控制族系錯(cuò)誤率(FWER)即實(shí)驗(yàn)wise第一類(lèi)錯(cuò)誤率。16.（單選）設(shè)X1,…,Xn來(lái)自N(μ,σ2)，若σ2未知，則μ的1-α置信區(qū)間長(zhǎng)度為A.2tα/2(n-1)·S/√n?B.2zα/2·σ/√n?C.2tα/2(n)·S/√n?D.2zα/2·S/√n答案：A解析：σ未知用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與t分布，長(zhǎng)度=2tα/2(n-1)S/√n。17.（單選）對(duì)同一數(shù)據(jù)作Bootstrap1000次重抽樣，獲得均值標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)為2.5，則原始樣本均值的95%Bootstrap置信區(qū)間約為A.均值±1.96×2.5?B.均值±2.5?C.均值±4.9?D.需用Bootstrap百分位區(qū)間答案：D解析：Bootstrap非參數(shù)區(qū)間常用百分位法或BCa法，不直接用1.96。18.（單選）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨(dú)立，則Z=X/Y的分布為A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)?B.自由度1的t分布?C.Cauchy(0,1)?D.χ2(1)答案：C解析：X/Y為Cauchy分布。19.（單選）在分類(lèi)變量關(guān)聯(lián)性度量中，若Cramér’sV=0.4，則該值取值范圍是A.[0,1]?B.[0,∞)?C.[-1,1]?D.[-0.5,0.5]答案：A解析：Cramér’sV∈[0,1]。20.（單選）若時(shí)間序列樣本自相關(guān)函數(shù)在滯后1階后截尾，則初步可判為A.MA(1)?B.AR(1)?C.ARMA(1,1)?D.隨機(jī)游走答案：A解析：MA(q)的ACF在q階后截尾。21.（填空）設(shè)X1,…,Xni.i.d.于Exp(λ)，則λ的Fisher信息量為_(kāi)_______。答案：n/λ2解析：對(duì)單樣本I(λ)=1/λ2，n個(gè)樣本相加得n/λ2。22.（填空）在簡(jiǎn)單線性回歸y=β0+β1x中，若xi的樣本方差為50，殘差方差為8，則β1估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤為_(kāi)_______。答案：√(8/(50n))解析：SE(β?1)=√(MSE/Sxx)=√(8/(50n))。23.（填空）若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)=(1-βt)??，則其方差為_(kāi)_______。答案：αβ2解析：Gamma(α,β)分布，Var=αβ2。24.（填空）對(duì)2×3列聯(lián)表作χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，其自由度為_(kāi)_______。答案：2解析：(2-1)(3-1)=2。25.（填空）設(shè)X~N(10,4)，Y~N(8,5)且獨(dú)立，則P(X>Y)=________。答案：Φ((10-8)/√(4+5))=Φ(2/3)≈0.748解析：X-Y~N(2,9)，P(X>Y)=P(X-Y>0)=Φ(2/3)。26.（填空）若某檢驗(yàn)的功效函數(shù)在θ=θ0時(shí)為0.05，在θ=θ1時(shí)為0.88，則該檢驗(yàn)在θ1處的第二類(lèi)錯(cuò)誤概率為_(kāi)_______。答案：0.12解析：功效=1-β?β=1-0.88=0.12。27.（填空）在Bayes因子B01=5時(shí)，數(shù)據(jù)對(duì)H0的支持強(qiáng)度可描述為_(kāi)_______。答案：中等支持H0解析：Jeffreys尺度：3<B01<10為中等。28.（填空）若樣本偏度公式為g1=m3/m2^(3/2)，則m3表示________。答案：三階中心矩。29.（填空）對(duì)p維多元正態(tài)N_p(μ,Σ)，其馬氏距離(x-μ)?Σ?1(x-μ)服從________分布。答案：χ2(p)。30.（填空）若X1,…,Xn為來(lái)自U(-θ,θ)的樣本，則θ的矩估計(jì)量為_(kāi)_______。答案：√3·S，其中S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；或更直接E(X2)=θ2/3，令(1/n)ΣXi2=θ2/3?θ?=√(3X?2)。31.（計(jì)算）某電商平臺(tái)想驗(yàn)證新版推薦算法是否提升轉(zhuǎn)化率。舊版轉(zhuǎn)化率p0=0.12，隨機(jī)抽取1000名用戶試用新版，其中150人下單。（1）寫(xiě)出原假設(shè)與備擇假設(shè)；（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與p值；（3）若α=0.05，給出結(jié)論；（4）求新版轉(zhuǎn)化率的95%置信區(qū)間。答案：（1）H0:p=0.12，H1:p>0.12（單側(cè)）。（2）p?=150/1000=0.15，Z=(0.15-0.12)/√(0.12×0.88/1000)=3.06，p=1-Φ(3.06)=0.0011。（3）p<0.05?拒絕H0，認(rèn)為新版顯著提升轉(zhuǎn)化率。（4）p?±1.96√(p?(1-p?)/n)=0.15±0.0219→(0.128,0.172)。32.（計(jì)算）為研究每日步數(shù)對(duì)血脂改善的影響，招募30名久坐成人，記錄12周干預(yù)前后LDL變化，得平均下降5.8mg/dL，標(biāo)準(zhǔn)差9.4mg/dL。（1）檢驗(yàn)干預(yù)是否有效；（2）若clinicallymeaningful下降為4mg/dL，求檢驗(yàn)功效；（3）若想在功效0.8、α=0.05下單側(cè)檢驗(yàn)，需多大樣本？答案：（1）H0:μd=0，H1:μd>0，t=5.8/(9.4/√30)=3.38，df=29，p=0.001<0.05，拒絕H0，干預(yù)顯著有效。（2）效應(yīng)量d=(5.8-4)/9.4=0.191，power≈Φ(√30×0.191-1.645)=Φ(0.39)=0.65。（3）n=[(zα+zβ)σ/δ]2=[(1.645+0.84)×9.4/4]2≈38，需至少38人。33.（計(jì)算）設(shè)X1,…,Xn來(lái)自LogNormal(μ,σ2)，即lnXi~N(μ,σ2)。（1）求E(Xi)與Var(Xi)；（2）給出μ的矩估計(jì)量；（3）若n=50，ΣlnXi=120，Σ(lnXi-lnX?)2=45，求μ與σ2的MLE及E(Xi)的估計(jì)。答案：（1）E(X)=e^{μ+σ2/2}，Var(X)=(e^{σ2}-1)e^{2μ+σ2}。（2）令X?=e^{μ+σ2/2}，(1/n)ΣXi2=(e^{σ2}-1)e^{2μ+σ2}+e^{2μ+σ2}=e^{2μ+σ2}(e^{σ2})，聯(lián)立解μ?=lnX?-σ?2/2。（3）μ?=120/50=2.4，σ?2=45/50=0.9，E(X)?=exp(2.4+0.9/2)=e^{2.85}=17.29。34.（計(jì)算）對(duì)某城市空氣質(zhì)量指數(shù)AQI建立AR(1)模型，得樣本n=200，估計(jì)φ?=0.68，殘差方差σ?2ε=36。（1）寫(xiě)出平穩(wěn)條件；（2）求模型對(duì)數(shù)似然近似值；（3）預(yù)測(cè)滯后1步與滯后2步的預(yù)測(cè)區(qū)間（α=0.05）。答案：（1）|φ|<1，已滿足。（2）對(duì)數(shù)似然≈-n/2ln(2πσ2ε)-S(φ)/(2σ2ε)=-100ln(2π×36)-RSS/72，RSS≈nσ2ε=7200，得-100×5.886-100=-688.6。（3）X?n+1=φ?Xn，SE=√σ2ε=6，95%區(qū)間X?n+1±1.96×6；X?n+2=φ?2Xn，SE=√(σ2ε(1+φ?2))=6√(1+0.682)=7.34，區(qū)間X?n+2±1.96×7.34。35.（綜合）某醫(yī)學(xué)研究比較三種止痛方案（A、B、C）對(duì)術(shù)后疼痛緩解時(shí)間（小時(shí)）。隨機(jī)分配各30例，得A組：x?=4.6，s=1.2；B組：x?=5.8，s=1.5；C組：x?=6.4，s=1.8。（1）作單因素ANOVA，寫(xiě)出平方和分解；（2）計(jì)算F值與p值，給出結(jié)論；（3）若顯著，用Tukey法做多重比較，指出哪些組差異顯著；（4）驗(yàn)證方差齊性假設(shè)（Bartlett檢驗(yàn)）；（5）若不齊，給出替代非參方法及結(jié)果。答案：（1）SST=ΣΣ(xij-x?..)2，SSB=Σni(x?i-x?..)2，SSW=SST-SSB。（2）x?..=(4.6+5.8+6.4)/3=5.6，SSB=30[(4.6-5.6)2+(5.8-5.6)2+(6.4-5.6)2]=30(1+0.04+0.64)=49.2，SSW=29(1.22+1.52+1.82)=29(1.44+2.25+3.24)=29×6.93=200.97，MSB=49.2/2=24.6，MSE=200.97/87=2.31，F(xiàn)=24.6/2.31=10.65，df=(2,87)，p<0.001，拒絕H0，組間差異顯著。（3）TukeyHSD=q0.05(3,87)≈3.37，SE=√(MSE/30)=0.277，HSD=3.37×0.277=0.93，|x?A-x?B|=1.2>0.93，|x?A-x?C|=1.8>0.93，|x?B-x?C|=0.6<0.93，故A與B、A與C差異顯著，B與C不顯著。（4）Bartlett統(tǒng)計(jì)量B=(87lnMSE-ΣdflnSi2)/[1+(1/6)(1/29-1/87)/2]=4.78，df=2，p=0.092>0.05，不拒絕齊性。（5）雖齊性滿足，若演示非參，可用Kruskal-Wallis，得H=8.94，df=2，p=0.011，結(jié)論與ANOVA一致。36.（綜合）某金融風(fēng)控部門(mén)欲構(gòu)建違約預(yù)測(cè)模型，提供1000條訓(xùn)練樣本，其中違約率14%。采用Logistic回歸，變量包括收入、負(fù)債比、信用歷史長(zhǎng)度。經(jīng)10折交叉驗(yàn)證得AUC=0.84，Brier分?jǐn)?shù)=0.098。（1）解釋AUC與Brier分?jǐn)?shù)含義；（2）若閾值取0.2，計(jì)算靈敏度、特異度、F1；（3）用Lasso正則后變量數(shù)由15減至8，AUC微降至0.83，Brier升至0.102，是否值得采用簡(jiǎn)化模型？（4）給出兩種評(píng)估變量重要性的指標(biāo)并比較。答案：（1）AUC為模型排序能力，0.84表示隨機(jī)抽取一對(duì)違約-正常樣本，模型給違約者更高違約概率的概率為84%；Brier分?jǐn)?shù)為預(yù)測(cè)概率與真實(shí)標(biāo)簽的均方誤差，0.098越小越好。（2）混淆矩陣：TP=92，F(xiàn)N=48，TN=796，F(xiàn)P=64，靈敏度=92/140=0.657，特異度=796/860=0.926，F(xiàn)1=2×92/(2×92+48+64)=0.62。（3）Lasso模型變量減少47%，AUC僅降0.01，Brier增0.004，可視為可接受折中，利于部署與解釋，值得采用。（4）①平均減少AUC：逐變量置換后AUC下降幅度；②系數(shù)絕對(duì)值歸一化。收入與負(fù)債比位列前二，與業(yè)務(wù)經(jīng)驗(yàn)一致。37.（證明）設(shè)X1,…,Xni.i.d.于N(μ,σ2)，定義樣本方差S2=1/(n-1)Σ(Xi-X?)2，證明（1）S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)；（2）Var(S2)=2σ?/(n-1)。答案：（1）E(S2)=E[1/(n-1)Σ(Xi-X?)2]=1/(n-1)E[Σ(Xi-μ)2-n(X?-μ)2]=1/(n-1)[nσ2-nσ2/n]=σ2。（2）注意到(n-1)S2/σ2~χ2(n-1)，而Var(χ2(k))=2k，故Var[(n-1)S2/σ2]=2(n-1)?(n-1)2/σ?Var(S2)=2(n-1)?Var(S2)=2σ?/(n-1)。38.（證明）對(duì)簡(jiǎn)單線性回歸y=β0+β1x+ε，ε~N(0,σ2)，證明β1的最小二乘估計(jì)β?1與殘差向量e獨(dú)立。答案：β?1=Sxy/Sxx=Σciyi，其中ci=(xi-x?)/Sxx，e=(I-H)y，H=X(X?X)?1X?。需證Cov(β?1,e)=0。Cov(β?1,e)=Cov(Σciyi,(I-H)y)=ΣciCov(yi,(I-H)y)=σ2Σci(I-H)i·=σ2c?(I-H)=σ2[c?-c?H]。但c?X=0因Σci=0，Σcixi=1，故c?X=(*,1)且X第一列為1，第二列為xi，故c?H=c?X(X?X)?1X?=0，因此Cov=0，又因聯(lián)合正態(tài)，獨(dú)立得證。39.（應(yīng)用設(shè)計(jì)）某市政府?dāng)M評(píng)估限行政策對(duì)PM2.5的因果效應(yīng)，給出基于雙重差分(DiD)的統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)，包括數(shù)據(jù)來(lái)源、模型設(shè)定、識(shí)別假設(shè)、檢驗(yàn)方法與潛在穩(wěn)健性檢驗(yàn)。答案：數(shù)據(jù)來(lái)源：政策前2年與后2年每日PM2.5監(jiān)測(cè)值，處理組為限行區(qū)域