統(tǒng)計(jì)師考試試題及答案1.單選題（每題2分，共30分）1.1某省調(diào)查總隊(duì)對(duì)120家規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)進(jìn)行月度產(chǎn)值抽樣，采用與規(guī)模成比例的不放回PPS抽樣。若第i企業(yè)的產(chǎn)值為X_i，入樣概率為π_i，則下列關(guān)于Horvitz-Thompson估計(jì)量?_HT=Σ_{i∈s}Y_i/π_i的方差估計(jì)量v(?_HT)的說法，正確的是A.必須已知所有π_ij才能構(gòu)造無偏估計(jì)B.只要樣本量n≥2，即可用Yates-Grundy形式構(gòu)造無偏估計(jì)C.若采用Brewer抽樣方案，π_ij解析式不存在，故無法估計(jì)方差D.若采用Rao-Sampford抽樣方案，π_ij無解析式，但可用“去一”刀切法估計(jì)方差答案：B解析：Horvitz-Thompson估計(jì)量的方差可寫成V(?_HT)=ΣΣΔ_ijY_iY_j，其中Δ_ij=π_ij?π_iπ_j。Yates-Grundy形式v_YG=??ΣΣΔ_ij(Y_i/π_i?Y_j/π_j)^2僅需樣本內(nèi)π_ij即可計(jì)算，且對(duì)任意固定樣本量n≥2均給出無偏估計(jì)。Brewer與Rao-Sampford方案雖π_ij復(fù)雜，但仍可用刀切或bootstrap獲得一致方差估計(jì)，故A、C錯(cuò)；D雖可刀切，卻非“無法”解析，表述絕對(duì)化，故最優(yōu)選項(xiàng)為B。1.2對(duì)一組右偏的失業(yè)持續(xù)時(shí)間數(shù)據(jù)（單位：周），下列變換中，最能降低偏度且保持單調(diào)性的是A.ln(x)B.√xC.1/xD.x^2答案：A解析：右偏分布常用對(duì)數(shù)變換壓縮大值尾部，偏度下降最顯著且保持單調(diào)遞增。平方根變換效果次之，倒數(shù)與平方均破壞單調(diào)或加劇偏度。1.3在雙側(cè)檢驗(yàn)H0:μ=μ0vsH1:μ≠μ0中，若總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，樣本量n=100，顯著性水平α=0.05，當(dāng)真實(shí)均值μ1=μ0+0.3σ時(shí)，檢驗(yàn)功效約為A.0.50B.0.65C.0.80D.0.95答案：C解析：Z檢驗(yàn)功效函數(shù)Φ(?z_{α/2}+√nδ/σ)+Φ(?z_{α/2}?√nδ/σ)，其中δ=0.3σ，√nδ/σ=3。z_{0.025}=1.96，故功效≈Φ(1.04)+Φ(?4.96)=0.8508+0≈0.85，最接近0.80。1.4對(duì)5×4列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性卡方檢驗(yàn)，若最小期望頻數(shù)為3.2，則下列說法正確的是A.必須合并行或列才能使用χ2近似B.可用χ2近似，但需做連續(xù)性校正C.可直接使用Pearsonχ2，無需校正D.應(yīng)改用Fisher精確檢驗(yàn)答案：C解析：Cochran規(guī)則要求所有期望頻數(shù)≥1且<5的單元格比例不超過20%。本表最小期望3.2>1，且5×4=20個(gè)單元格中若僅少數(shù)<5，可直接使用Pearsonχ2。連續(xù)性校正僅用于2×2表，F(xiàn)isher精確在期望頻數(shù)極低時(shí)采用，故選C。1.5在簡單隨機(jī)抽樣中，若總體大小N=500，樣本量n=50，樣本均值?=12.4，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=3.2，則有限總體修正后的均值標(biāo)準(zhǔn)誤為A.3.2/√50B.3.2/√50×√(450/499)C.3.2/√50×√(499/450)D.3.2/√50×√(1?50/500)答案：B解析：有限總體修正fpc=√((N?n)/(N?1))，標(biāo)準(zhǔn)誤SE=s/√n×fpc=3.2/√50×√(450/499)。1.6對(duì)多元線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，若X含p=8列，n=120，RSS=360，則σ2的無偏估計(jì)為A.360/112B.360/119C.360/120D.360/8答案：B解析：σ2的無偏估計(jì)為RSS/(n?p)=360/(120?8)=360/112≈3.214。1.7在指數(shù)平滑中，若平滑參數(shù)α=0.15，則對(duì)無限歷史數(shù)據(jù)，系數(shù)衰減至0.5^(k)所需的滯后階數(shù)k約為A.3B.5C.7D.9答案：B解析：指數(shù)平滑權(quán)重w_k=α(1?α)^{k?1}，令α(1?α)^{k?1}=0.5^k，取對(duì)數(shù)解得k≈ln(α)/ln(0.5(1?α))≈4.6，取整5。1.8對(duì)AR(1)過程X_t=φX_{t?1}+Z_t，Z_t~WN(0,σ2)，若樣本自相關(guān)ρ?1=0.68，n=200，則φ的Yule-Walker估計(jì)為A.0.68B.0.70C.0.72D.0.74答案：A解析：Yule-Walker方程直接給出φ?=ρ?1=0.68。1.9在貝葉斯框架下，若先驗(yàn)θ~N(0,1)，似然x|θ~N(θ,1)，觀測x=2，則θ的后驗(yàn)均值為A.0B.0.5C.1D.2答案：C解析：共軛正態(tài)，后驗(yàn)均值=(1/(1+1))×0+(1/(1+1))×2=1。1.10對(duì)泊松計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)y=12，使用Jeffreys先驗(yàn)，則θ的95%等尾可信區(qū)間為A.6.2–18.8B.6.8–19.4C.7.0–19.8D.7.4–20.2答案：B解析：Jeffreys先驗(yàn)θ^{-?}，后驗(yàn)為Gamma(12+?,1)，即χ2(25)的2θ分布。95%區(qū)間對(duì)應(yīng)χ2分位數(shù)12.4–40.6，換算θ得6.2–20.3，最接近B。1.11在Bootstrap置信區(qū)間構(gòu)造中，若采用BCa方法，其加速系數(shù)a的估計(jì)基于A.經(jīng)驗(yàn)影響函數(shù)B.刀切偽值C.自助標(biāo)準(zhǔn)誤D.偏差校正因子答案：B解析：BCa的a由刀切偽值的三階矩估計(jì)獲得。1.12對(duì)高維回歸p>n，若使用Lasso，調(diào)節(jié)參數(shù)λ增大時(shí)，下列說法正確的是A.偏差減小，方差增大B.偏差增大，方差減小C.偏差與方差均增大D.偏差與方差均減小答案：B解析：λ增大，懲罰加強(qiáng)，模型更簡單，偏差增大，方差減小。1.13在系統(tǒng)聚類中，若采用Ward法，合并兩類后組內(nèi)平方和的增加量等于A.兩類的重心距離平方乘以合并樣本量倒數(shù)之和B.兩類間歐氏距離平方C.兩類間馬氏距離D.兩類方差之和答案：A解析：Ward準(zhǔn)則定義即為ΔESS=(n_An_B)/(n_A+n_B)‖x?_A?x?_B‖2。1.14對(duì)二分類邏輯回歸，若某連續(xù)預(yù)測變量x的系數(shù)β?=0.8，則x每增加1單位，優(yōu)勢比OR為A.0.8B.1.8C.2.2D.8.0答案：C解析：OR=e^β=e^{0.8}≈2.225。1.15在抽樣調(diào)查中，若設(shè)計(jì)效應(yīng)deff=2.3，則意味著A.復(fù)雜抽樣方差是簡單隨機(jī)抽樣的2.3倍B.樣本量需增至2.3倍才能達(dá)到SRS精度C.有效樣本量降至n/2.3D.以上均正確答案：D解析：設(shè)計(jì)效應(yīng)定義即復(fù)雜抽樣方差與SRS方差之比，故A、B、C均等價(jià)正確。2.多選題（每題3分，共30分，每題至少兩個(gè)正確答案，多選少選均不得分）2.1下列關(guān)于非參數(shù)核密度估計(jì)f?_h(x)=1/(nh)ΣK((x?X_i)/h)的敘述，正確的有A.當(dāng)h→0時(shí)，估計(jì)方差趨于0B.當(dāng)nh→∞時(shí)，估計(jì)偏差趨于0C.最優(yōu)h~n^{?1/5}使AMISE最小D.高斯核的AMISE收斂速度與Epanechnikov核相同階E.邊界修正可采用反射法答案：BCDE解析：h→0時(shí)方差→∞，A錯(cuò)；其余均正確。2.2對(duì)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，若區(qū)組數(shù)b=8，處理數(shù)t=5，每區(qū)組每處理1次觀測，則下列正確的有A.誤差自由度為28B.處理均方期望含σ2+5Στ_j2/(t?1)C.區(qū)組均方期望含σ2+tσ_b2D.若區(qū)組效應(yīng)隨機(jī)，處理檢驗(yàn)分母為區(qū)組均方E.若區(qū)組效應(yīng)固定，處理檢驗(yàn)分母為誤差均方答案：ACE解析：總自由度39，區(qū)組7，處理4，誤差28，A對(duì)；處理期望含σ2+bΣτ_j2/(t?1)，B錯(cuò)；區(qū)組期望σ2+tσ_b2，C對(duì)；隨機(jī)區(qū)組下處理檢驗(yàn)仍用誤差均方，D錯(cuò)；固定時(shí)用誤差，E對(duì)。2.3下列屬于廣義線性模型GLM必備要素的有A.隨機(jī)成分指定指數(shù)族分布B.系統(tǒng)成分指定線性預(yù)測器C.連接函數(shù)單調(diào)可微D.方差函數(shù)與均值無關(guān)E.偏差殘差平方和服從χ2答案：ABC解析：GLM三要素為指數(shù)族、線性預(yù)測器、連接函數(shù)；方差函數(shù)可依賴均值，D錯(cuò)；偏差殘差近似χ2但非“必備”，E錯(cuò)。2.4在生存分析中，關(guān)于Cox比例風(fēng)險(xiǎn)模型的假設(shè)，正確的有A.基線風(fēng)險(xiǎn)h0(t)可為任意非負(fù)函數(shù)B.協(xié)變量效應(yīng)乘積于風(fēng)險(xiǎn)C.對(duì)時(shí)依協(xié)變量需構(gòu)造偏似然D.若比例風(fēng)險(xiǎn)不成立，可引入分層CoxE.偏回歸系數(shù)估計(jì)為偏似然得分方程解答案：ABDE解析：時(shí)依協(xié)變量仍可用標(biāo)準(zhǔn)偏似然，C表述“需構(gòu)造”易誤解，不選；其余正確。2.5對(duì)高維協(xié)方差矩陣估計(jì)，下列方法中具備稀疏性的有A.硬閾值法B.圖形LassoC.Ledoit-Wolf收縮D.因子模型E.帶狀化估計(jì)答案：ABE解析：硬閾值、圖形Lasso、帶狀化均直接引入稀疏；Ledoit-Wolf收縮整體降特征值但非稀疏；因子模型降秩非稀疏。3.計(jì)算題（共40分）3.1（10分）某市欲估計(jì)2023年第四季度居民線上消費(fèi)總額。已知全市共有80萬戶，按簡單隨機(jī)抽樣抽取1600戶，調(diào)查得平均線上消費(fèi)?=4850元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=2100元。（1）給出總體總量?的估計(jì)并計(jì)算其95%置信區(qū)間。（2）若要求估計(jì)相對(duì)誤差不超過5%，求所需樣本量（假定s不變）。解：（1）總量估計(jì)?=N?=800000×4850=3.88×1011元。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=N·s/√n·√(1?n/N)=800000×2100/√1600×√(1?1600/800000)=800000×2100/40×√0.998≈4.2×10?×0.999≈4.196×10?。95%區(qū)間：?±1.96×SE=3.88×1011±8.23×10?，即[3.8792×1011,3.8808×1011]元。（2）相對(duì)誤差5%即絕對(duì)誤差0.05×4850=242.5元/戶。由d=z_{0.975}·s/√n·√(1?n/N)，解n≥(z2s2)/(d2+s2z2/N)=(1.962×21002)/(242.52+1.962×21002/800000)≈(4×4.41×10?)/(5.88×10?+1.08×102)≈300。故需約300戶，原樣本已遠(yuǎn)超，滿足。3.2（10分）設(shè)X~Poisson(λ)，欲檢驗(yàn)H0:λ=3vsH1:λ=5，取拒絕域{X≥c}。（1）求c使第一類錯(cuò)誤概率α≈0.05。（2）求該檢驗(yàn)在λ=5下的功效。（3）若觀測x=8，求p值。解：（1）P(X≥c|λ=3)=1?P(X≤c?1)。查Poisson(3)表：c=7時(shí)1?F(6)=1?0.966=0.034；c=6時(shí)1?F(5)=0.084。取c=7，α=0.034<0.05，最接近。（2）功效P(X≥7|λ=5)=1?F(6;5)=1?0.762=0.238。（3）p=P(X≥8|λ=3)=1?F(7;3)=1?0.988=0.012。3.3（10分）對(duì)線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，n=30，p=4，RSS=180。（1）給出σ2的無偏估計(jì)。（2）若新增一個(gè)預(yù)測變量，RSS降至160，求調(diào)整R2的變化方向與數(shù)值。（3）在(2)基礎(chǔ)上，用F檢驗(yàn)判斷新增變量是否顯著（α=0.05）。解：（1）σ?2=RSS/(n?p)=180/26≈6.923。（2）原R2=1?180/SST，新R2=1?160/SST，SST不變，R2增大。調(diào)整R2_adj=1?(RSS/(n?p))/(SST/(n?1))。原R2_adj=1?(180/26)/(SST/29)，新R2_adj=1?(160/25)/(SST/29)。由于160/25=6.4<180/26≈6.923，故R2_adj增大。數(shù)值需SST，但方向明確向上。（3）F=((180?160)/1)/(160/25)=20/6.4=3.125，F(xiàn)_{0.95}(1,25)=4.24，3.125<4.24，不顯著。3.4（10分）某電商對(duì)15款商品進(jìn)行價(jià)格彈性實(shí)驗(yàn)，記錄降價(jià)幅度x（%）與銷量增長y（%）。數(shù)據(jù)如下：x:51015202530354045505560657075y:61218232832353840414243444445（1）擬合簡單線性回歸y=β0+β1x，給出估計(jì)方程與R2。（2）檢驗(yàn)H0:β1=0.5vsH1:β1≠0.5（α=0.05）。（3）預(yù)測x=80時(shí)y的95%置信區(qū)間。解：（1）經(jīng)計(jì)算：Σx=600,Σy=478,Σx2=28750,Σy2=18204,Σxy=22840,n=15。Sxx=28750?6002/15=28750?24000=4750，Sxy=22840?600×478/15=22840?19120=3720，β?1=Sxy/Sxx=3720/4750≈0.783，β?0=??β?1x?=478/15?0.783×40≈31.867?31.32=0.547。方程：?=0.547+0.783x。SST=Σy2?n?2=18204?15×(31.867)2≈18204?15228=2976，SSR=β?1Sxy=0.783×3720≈2913，R2=SSR/SST≈2913/2976≈0.979。（2）σ?2=(SST?SSR)/(n?2)=(2976?2913)/13≈4.846，se(β?1)=√(σ?2/Sxx)=√(4.846/4750)≈0.032。t=(0.783?0.5)/0.032≈8.84，|t|>t_{0.975}(13)=2.160，拒絕H0。（3）x0=80，?0=0.547+0.783×80≈63.19。se(?0)=√σ?2(1/n+(x0?x?)2/Sxx)=√4.846(1/15+1600/4750)≈√4.846×0.403≈1.40。95%區(qū)間：63.19±2.160×1.40=[60.16,66.22]。4.綜合應(yīng)用題（共50分）4.1（25分）某健康研究院開展高血壓干預(yù)試驗(yàn)，將8個(gè)社區(qū)隨機(jī)分為兩組（干預(yù)/對(duì)照），每社區(qū)隨機(jī)抽取30名成人，記錄6個(gè)月后收縮壓下降值（mmHg）。數(shù)據(jù)：干預(yù)組：社區(qū)A–F平均下降8.2,9.1,7.5,8.8,9.5,7.9（每組n=30，組內(nèi)s2=4.5）對(duì)照組：社區(qū)G–H平均下降3.4,2.9（n=30，s2=4.0）（1）將社區(qū)作為隨機(jī)效應(yīng)，擬合兩水平模型y_ij=β0+β1trt_i+u_i+ε_(tái)ij，其中u_i~N(0,σ_u2)，ε_(tái)ij~N(0,σ2)，給出β1的估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤。（2）檢驗(yàn)H0:β1=0。（3）估計(jì)社區(qū)內(nèi)相關(guān)系數(shù)ICC。（4）若忽略社區(qū)聚類，用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，求p值并比較（1）之結(jié)論。（5）討論設(shè)計(jì)效應(yīng)。解：（1）綜合干預(yù)組均值?_T=(8.2+9.1+7.5+8.8+9.5+7.9)/6=8.48，對(duì)照組?_C=(3.4+2.9)/2=3.15，β?1=8.48?3.15=5.33。方差：干預(yù)組內(nèi)均值方差Var(?_T)=σ_u2/6+σ2/180，對(duì)照組Var(?_C)=σ_u2/2+σ2/60。用組內(nèi)s2估計(jì)σ2≈4.3（加權(quán)平均），則Var(β?1)=Var(?_T)+Var(?_C)=σ_u2/6+4.3/180+σ_u2/2+4.3/60=(2/3)σ_u2+0.0956。需估計(jì)σ_u2：用社區(qū)間方差，干預(yù)組間樣本方差s_bT2=0.566，對(duì)照組s_bC2=0.125，綜合矩估計(jì)σ_u2≈0.45。故se(β?1)=√(2/3×0.45+0.0956)=√0.3956≈0.629。（2）t=5.33/0.629≈8.47，df用Satterthwaite得≈6，p<0.001，顯著。（3）ICC=σ_u2/(σ_u2+σ2)=0.45/(0.45+4.3)≈0.095。（4）忽略聚類：合并方差s_p2=4.3，se=√4.3(1/180+1/60)=0.302，t=5.33/0.302≈17.6，p<0.001，結(jié)論一致但標(biāo)準(zhǔn)誤嚴(yán)重低估。（5）設(shè)計(jì)效應(yīng)deff=1+(m?1)ICC≈1+(30?1)×0.095≈3.76，表明聚類使有效樣本量降至1/3.76，需增加樣本或采用多水平分析。4.2（25分）某銀行構(gòu)建信用卡違約預(yù)測模型，抽取10000條樣本，其中違約400條。采用邏輯回歸、隨機(jī)森林、XGBoost三種算法，5折交叉驗(yàn)證結(jié)果如下：模型|AUC|召回率@0.2|F1@0.2|---|---|---邏輯回歸|0.784|0.62|0.51隨機(jī)森林|0.812