重難點05：導(dǎo)數(shù)壓軸大題綜合內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點的解題策略與實戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：近三年天津高考導(dǎo)數(shù)壓軸均為第20題（16分），三問結(jié)構(gòu)穩(wěn)定：①切線/基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；②含參恒成立/零點/存在性；③多變量/不等式證明/極值點相關(guān)高階問題。2026年將延續(xù)核心結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化跨模塊融合、新情景建模、思維深度，難度穩(wěn)中有升，仍是區(qū)分度核心題。三年共性規(guī)律結(jié)構(gòu)：三問分層，①送分奠基，②承上啟下（關(guān)鍵分），③拉開差距（壓軸分）考點：切線（必出）、含參函數(shù)單調(diào)/極值/最值、恒成立/存在性、零點、不等式證明方法：高頻用分類討論、分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)，2024-2025更側(cè)重多階求導(dǎo)、隱零點、放縮，計算與邏輯量顯著增加載體：以指、對、多項式混合函數(shù)為主，定義域多為(0,+∞)，貼合天津命題偏好預(yù)測2026年：結(jié)構(gòu)與分值：仍為第20題（16分），三問設(shè)置不變，梯度更清晰核心考點穩(wěn)定必考點：切線方程、含參單調(diào)性、極值/最值、恒成立/存在性、零點個數(shù)，高頻進(jìn)階：多變量問題、極值點偏移、隱零點代換、不等式放縮，交匯增強(qiáng)：與數(shù)列、集合、概率結(jié)合；融入碳中和、物流優(yōu)化等現(xiàn)實情景建模情景化：用真實背景（如環(huán)境治理、經(jīng)濟(jì)決策）包裝導(dǎo)數(shù)問題，考查“文字→數(shù)學(xué)模型”轉(zhuǎn)化，思維升級：需多階求導(dǎo)、合理放縮、極限思想，規(guī)避單一方法套用設(shè)問創(chuàng)新：補(bǔ)充條件探究、多結(jié)論選擇、開放型證明（如“寫出一個滿足條件的參數(shù)值并證明”）難度趨勢：穩(wěn)中有升，計算量與邏輯鏈拉長，強(qiáng)化分類討論完整性與構(gòu)造函數(shù)靈活性，壓軸問更重“轉(zhuǎn)化與化歸”能力考向1：“在”點P處的切線問題求曲線“在”某點處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點處切線的斜率第二步（寫方程）：用點斜式第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。1．（2025·天津和平·二模）曲線與曲線在點處的切線互相垂直，則實數(shù)（

）A．2 B．0C． D．【答案】D【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可根據(jù)垂直滿足的斜率關(guān)系求解.【詳解】，則，由可得，故，由于兩切線互相垂直，因此，所以，故選：D2．（2025·天津河北·二模）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時.（?。┣蟮膯握{(diào)區(qū)間和極值；（ⅱ）設(shè)的極大值為，求的最小值；(3)設(shè)，且，求證：.【答案】(1).(2)（i）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；極大值，沒有極小值；（ii）.(3)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)得，可求得切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)得單調(diào)區(qū)間，可求得最值，再對求導(dǎo)數(shù)，可得最值；（3）利用分析法和放縮法，可求出結(jié)果.【詳解】（1）時，，整理得.曲線在點處的切線方程為.（2）（?。┝?，解得.，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0↗極大值↘函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是有極大值，沒有極小值；的極大值（ⅱ）設(shè)，，令，解得.，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0↘極小值↗而的最小值為.（3）當(dāng)時，要證兩邊同時取對數(shù)，即證，即證，兩邊同時乘以，即證，而，由（2）可知，令，則，代入上式，得，，.3．（2025·天津南開·二模）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：對，恒成立（為的導(dǎo)數(shù)）；(3)設(shè)，證明：（）.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由處的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，由處的函數(shù)值得到切線上的點，由直線的點斜式方程得到切線方程；（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)之后對導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞增，從而，從而恒成立得證；（3）利用進(jìn)行放縮，再結(jié)合（2）中的得到，乘公比錯位相減法求和.【詳解】（1），可得，又，所以曲線在點處的切線方程為．（2）令，，則，，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即恒成立．（3）設(shè)，證明．令，，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而，．由于，所以．由（2）知，（），所以．設(shè)，①，則，②①－②得，所以．4．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)求證：；(3)函數(shù)有且只有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見詳解；(3).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，利用解析式求切點縱坐標(biāo)，然后可得切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可得證；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，然后作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求解.【詳解】（1）因為，所以曲線在處的切線斜率為，又，所以切線方程為.（2）記，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值，所以，即.（3），由題知，有且只有兩個不相等實數(shù)根，即有且只有兩個不相等實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)趨近于時，趨近于，當(dāng)趨近于時，趨近于，又，所以可得的圖象如圖：由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，所以，a的取值范圍為.5．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知（，且）.(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；(3)設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式求切線方程；（2）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明.（3）不等式恒成立，即，通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，，所以切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，則，要證明在上單調(diào)遞增，只需證明在上恒成立，則只需證，即只需證.設(shè)，則只需證因為，所以在單調(diào)遞增，所以時，即時，成立，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3），即，兩邊取對數(shù)得：，即設(shè)，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.又因為，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實數(shù)的取值范圍為.考向2：“過”點P處的切線問題求曲線“過”某點處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點為；第二步：求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為．1．（2025·天津和平·二模）過點作曲線的切線，則切點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，將代入求解即可.【詳解】設(shè)切點的坐標(biāo)為，由，，所以過切點的切線方程為：，把代入得：，即，所以，則切點坐標(biāo)為：即.故答案為：2．（2025·天津和平·調(diào)研）過原點的直線與及的圖象都相切，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】設(shè)出和的切點，求出切線方程為，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，進(jìn)而得到和的切點為，再代入中，求解即可.【詳解】因為切線方程過原點，所以設(shè)切線方程為，且設(shè)和的切點為，因為，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，則切線方程為，將代入方程，得到，解得，則切線方程為，設(shè)和的切點為，且，由斜率的幾何意義得，解得，代入中，得到切點為，代入中，得到，解得.故答案為：.3．（2025·天津河西·月考）已知點A在直線上運(yùn)動，若過點A恰有三條不同的直線與曲線相切，則點A的軌跡長度為.【答案】8【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，得到的表達(dá)式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出極值，即可求出點A的軌跡長度.【詳解】由題意，設(shè)點，過點A的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設(shè)，則，∴時，或，當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵若過點A恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.故答案為：8.4．（2025·天津薊州·月考）已知函數(shù)，下列說法正確的個數(shù)是（）①函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②函數(shù)的切線過原點，則該切線的斜率為③若方程有兩個不同的實數(shù)根，則④函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由函數(shù)解析式寫出函數(shù)定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的遞減區(qū)間及遞增區(qū)間，判斷①；設(shè)切點坐標(biāo)，由兩點坐標(biāo)和導(dǎo)數(shù)求得斜率，建立方程求得切點，然后得到其斜率，判斷②；由函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)最大值，從而知道滿足題意的的范圍，判斷③；由函數(shù)單調(diào)區(qū)間建立不等式組，求得的取值范圍，判斷④.【詳解】函數(shù)定義域為，，令，解得，即函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴①錯誤；設(shè)切點為，則，即，解得，此時切線斜率，②正確；由函數(shù)單調(diào)性可知，，又∵當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，∴當(dāng)方程有兩個不同的實數(shù)根時，，③正確；由單調(diào)區(qū)間可知，∴，∴④正確.故選：C.5．（2025·天津·月考）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根且，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出方程有3個解時的范圍，再將目標(biāo)式用表示并求出范圍.【詳解】方程有三個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有3個交點，則當(dāng)時，直線與射線有一個交點，當(dāng)時，直線與函數(shù)有2個交點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，令直線與圖象相切的切點為，由求導(dǎo)得：，則，解得，即直線與圖象相切時，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，由，解得，由，得，即，因此，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時，，所以的取值范圍是.故答案為：考向3：對稱化構(gòu)造解決極值點偏移1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；2、積型問題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.1．（2025·天津薊州·聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個正零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）結(jié)合（1）的分析，確定滿足的條件，從而求得的取值范圍；（ii）通過構(gòu)造函數(shù)證明對數(shù)均值不等式，從而證得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；．當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（i）由題意知方程有兩個不同的正實根，由（1）知，且，所以，解得．（ii）由（1）得，所以，兩邊同時取自然對數(shù)，得，兩式相減得，即，要證，只需證明，令，只需證明構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立．2．（2025·天津·月考）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；①求證：；②求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①要證，即證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，，借助導(dǎo)數(shù)即可得證；②同①中證法，先證，則可得，利用、是方程的兩根所得韋達(dá)定理，結(jié)合即可得證.【詳解】（1），，其中，，當(dāng)時，即，此時恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時，即或，當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，得或，當(dāng)，或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）①由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，、是方程的兩根，有，，又的圖象與有三個公共點，故，則，要證，即證，又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可證，又，即可證，令，，由，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，即恒成立，即得證；②由，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，即，即當(dāng)時，，由，故，又，故，由，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，又由①知，故，又，故.3．（2025·天津·一模）設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)（i）當(dāng)時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）若存在兩個極值點，證明：.【答案】(1)(2)（i）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）（i），時，取得極值，所以，求出，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii），存在兩個極值點，即方程，在上有兩個不等實根，所以，而等價于，構(gòu)造函數(shù)即可得證.【詳解】（1），則，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）（i），，∵時，取得極值，∴，解得，∴，令，得或；令，得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（ii），∵存在兩個極值點，∴方程，即在上有兩個不等實根.∵，解得，則∴所證不等式等價于，即，不妨設(shè)，即證，令，，則，∴在上遞增，∴，∴成立，∴.4．已知函數(shù)有兩個零點(1)求a的取值范圍；(2)記，為的兩個零點，證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)討論單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理討論零點個數(shù)即可；（2）左側(cè)構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可證明；右側(cè)利用，以及與的關(guān)系，代入化簡整理即可證明.【詳解】（1）由已知，，，設(shè)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，由于，故時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，取，則，存在，使，，存在，使，符合題意；當(dāng)時，有且只有1個零點，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，不會有兩個零點；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，存在，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且由對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度可知，當(dāng)趨于時，趨于，則存在，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不會有2個零點；當(dāng)時，，，存在，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，在上不會有2個零點；綜上，.（2）由（1）得，，設(shè)，則，則，又，所以，故，由于，且在上單調(diào)遞增，則，即；設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，則，由于，則時，，時，，則，整理得，則得，，由于，則，則；綜上得證.5．已知函數(shù)有兩個零點、．證明：．【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造新函數(shù)，通過其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，分析函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)，可得出，構(gòu)造新函數(shù)，通過其單調(diào)性，確定其正負(fù)，對進(jìn)行放縮，從而證明.【詳解】令，得，則，即，令函數(shù)，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，即令函數(shù)，則，令，得，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，由題意可知，函數(shù)有兩個零點、，不妨設(shè)，則，令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，，即，，所以由有兩個不相等的正根、，且得，則，，則，即，所以，因為，所以．考向4：比值代換法解決極值點偏移比值換元的目的也是消元、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的。設(shè)法用比值（一般用表示）表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解。1．已知函數(shù)（，）.若函數(shù)有兩個零點，.證明：.【答案】證明見解析【分析】先換元，即證，分別構(gòu)造函數(shù)來證明即可.【詳解】因為，有兩個零點，，，令，則，即證明，即證，設(shè)，由于，即，左邊即證，即證，設(shè)，則，單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，即成立，故.要證，即證即,而,故即證，即證：，令，即證：.則，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，其，而，故在為減函數(shù)，而，，故存在，使得時，，時，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，且，故，故即恒成立，故在上為減函數(shù)，而，故當(dāng)時，即，時，即，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故（不恒為零），故為減函數(shù)，故，即，即得證.2．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在兩個極值點，，證明：.【答案】證明見解析【分析】由極值點的定義得且，然后把消去，再由分析法得出只要證明，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)證明此結(jié)論成立后即得．【詳解】的定義域是，由題意，有兩個不等正實根，即有兩個不等正實根，，且，，所以，不妨設(shè)，則，又，，，所以，要證，只需證，只需證，設(shè),在時恒成立，所以在上是減函數(shù)，所以時，，所以得證！3．已知函數(shù)有兩個不同的零點.求證：.【答案】證明見解析【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得在處取得極小值，設(shè)，要證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)證明即可.【詳解】定義域為，，所以在上單調(diào)遞減.，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，又，所以先保證必要條件成立，即滿足題意.當(dāng)時，；，由以上可知，當(dāng)時，有兩個不同的零點.由題意，設(shè)，要證明，只需證明.因為在上單調(diào)遞減，且，只需證.又，即只需證，構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，，則，所以在單調(diào)遞減，所以.因為，所以，成立，即，所以.4．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)若有兩個實數(shù)解，，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）不等式變形得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出單調(diào)性和最小值，只需，解得；（2）不妨設(shè)，由（1）知方程，，，且，欲證，即證，構(gòu)造差函數(shù)，得到差函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合（1）可知，所以，則.【詳解】（1）由可知，，，即在上恒成立，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由于在上單調(diào)遞增，故只需，解得；（2）方程有兩實數(shù)解，，即有兩實數(shù)解，不妨設(shè)，由（1）知方程要有兩實數(shù)解，則，即，同時，，，由（1）知有兩根，即有兩根，則有，欲證，即證，，令，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，故，又，，結(jié)合在單調(diào)遞增，，所以，則.5．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個零點、，求證：．【答案】證明見解析【分析】對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)有兩個零點、，得出，，將所證不等式變形為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，，①若，則恒成立，不可能有兩個零點；②若，，令，令，可得，令，由可得，由可得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，則，時符合題意，因為函數(shù)有兩個零點、，則，可得，同理可得，要證，即證，即證，即證，即證，即證，故只需證，即證．構(gòu)造函數(shù)，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，即，在上單調(diào)遞增，因為，故，即，故原不等式得證.考向5：根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)1、分離參數(shù)后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點個數(shù)問題（優(yōu)先分離、次選分類）求解；2、利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)造不等式求解；3、轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解。1．（2025·天津濱海新·調(diào)研）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若有兩個正零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，可求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）（i）結(jié)合（2）的分析，確定滿足的條件，從而求得的取值范圍；（ii）通過構(gòu)造函數(shù)證明對數(shù)均值不等式，從而證得.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，所以，又，所以切點為，所以切線方程為，即；（2）由，求導(dǎo)得，若，，所以在上單調(diào)遞增；若，令，得，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）（i）由題意知方程有兩個不同的正實根，由（2）知，且，所以，解得，所以的取值范圍．（ii）由（i）得，所以，，兩邊同時取自然對數(shù)，得，，兩式相減得，即，要證，只需證明，即，所以，令，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，所以不等式成立，于是原不等式成立．2．（2026·天津·調(diào)研）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分離參數(shù)得，，引入函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值后可得結(jié)論．【詳解】由題意方程（）有兩個實根，即在上有兩個實根，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，又，而時，，∴當(dāng)時，的圖象與直線在上有兩個交點，即原函數(shù)有兩個零點．故選：C23．（2025·天津河西·調(diào)研）已知函數(shù)，(1)時，求在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有唯一的極值點，求的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設(shè)為在區(qū)間上的零點，為在區(qū)間上的極值點，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）令，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，分析可知在上有唯一的變號零點，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍；（3）由（2）可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)合極值點的定義可得出，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，可得出，由結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以切線斜率，因為，所以切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，即（2）因為，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，且函數(shù)在上有唯一的極值點，即在上有唯一的變號零點，所以，即，故實數(shù)的取值范圍是.（3）因為是函數(shù)在區(qū)間上的極值點，由（2）可知，故，即，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因為，，所以函數(shù)在沒有零點，在上存在唯一零點，則，即.因為，令，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，而，，且在上單調(diào)遞增，所以.4．（2025·天津河?xùn)|·調(diào)研）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；(2)若的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍；(3)設(shè)，當(dāng)時，若對任意給定的，總存在唯一的，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點，得出不等式，即可解得；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象即可求出的取值范圍；（3）求出，的值域，由題意得的值域是的值域的子集，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，由已知，令，解得或，因為，所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，只需，

解得．（2）當(dāng)時，，的圖象與軸沒有交點；

當(dāng)時，令，解得或．當(dāng)時，0200極大值極小值，．若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，則，解得，所以；

當(dāng)時，0200極小值極大值，．則函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，所以；

綜上，（3）由題意知，，因為，，所以由，解或，由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和，，，，，

又因為在上單調(diào)遞增，所以的值域為，

依題意，對任意給定的，總存在唯一的，使得成立，可得，即，

解得的取值范圍是．5．（2026·天津濱海新·月考）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性：(3)若對定義域內(nèi)的任意，都有恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)1.【分析】（1）把代入，求出的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性.（3）將給定不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)的定義域為，，不等式恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，，則，使得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，而，所以整數(shù)m的最小值為1.考向6：討論證明函數(shù)零點的個數(shù)證明函數(shù)零點個數(shù)的方法與判斷零點個數(shù)的方法相似，多在解答題中進(jìn)行考察。利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)。注意：單調(diào)性+零點存在=唯一零點1．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線平行．(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)（為的導(dǎo)數(shù)）的零點個數(shù)；(3)求證：當(dāng)時，恒成立．【答案】(1)；(2)零點個數(shù)為0；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）求出的解析式，用其分子部分構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論在的零點情況即可；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）的定義域為，因為曲線在處的切線與直線平行，所以，解得．（2）函數(shù)的定義域為，由（1）得，所以．令，則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．所以恒成立，即函數(shù)無零點，即函數(shù)的零點個數(shù)為0．（3）由（1）得，令，則的定義域為．令，則．因為，所以．則當(dāng)時，恒成立．所以即在上單調(diào)遞減．所以，所以在上單調(diào)遞減．所以，即當(dāng)時，恒成立．2．（2026·天津南開·月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若的極小值小于-1，求的取值范圍；(3)當(dāng)時，求的零點個數(shù).【答案】(1)(2)(3)2個【分析】（1）求出函數(shù)在時的解析式，再對其求導(dǎo)，得到切線的斜率，最后結(jié)合切點坐標(biāo)，利用點斜式方程求出切線方程.（2）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極小值，最后根據(jù)已知條件求出的取值范圍.（3）求出的表達(dá)式，再對其求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理判斷函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，.則，，即切線斜率為-3.又，故切線過點.所以切線方程為：，即.（2）函數(shù)的定義域為..當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞減，無極值，不符合題意.當(dāng)時，令，即，解得.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；因此是極小值點，極小值為，由極小值小于-1可得，.令（），則，代入得，即（）.令（），則.令，則，解得.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；又，故的解集為且，即且，解得且.故的取值范圍為.（3）當(dāng)時，，定義域為.令，則，即,令，則和有相同的零點..令，，則.因為，所以，即在上單調(diào)遞增.又，，所以，使得.所以當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增；所以的最小值為.由得，，則，即.令，，則，則在上單調(diào)遞增.因為，所以，則，所以，即.所以的最小值為.當(dāng)趨近于0或時，趨近于，又，所以，所以在和各有1個零點，故有2個零點.3．（2025·天津·月考）已知函數(shù)，．(1)求在處的切線方程；(2)若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知函數(shù)有3個零點p，q，r，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由函數(shù)求導(dǎo)，計算切線的斜率以及切點，根據(jù)點斜式方程，可得答案；（2）利用參變分離整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得答案；（3）根據(jù)零點的定義，建立方程，求出零點以及構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，等價消元整理不等式，可得答案.【詳解】（1）由，求導(dǎo)可得，則函數(shù)在處的曲線斜率為，切點的縱坐標(biāo)為，所以切線方程為，整理可得.（2）由不等式，代入函數(shù)解析式，整理可得，由，即，則不等式等價于，令，求導(dǎo)可得，令，求導(dǎo)可得，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由導(dǎo)數(shù)的定義得，則，故，所以.（3）由，令，易知，由題意可得，當(dāng)時，由，整理可得，令，易知為方程的兩個不同的根，由（2），且，則易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，由，，且，，則，，，由，則，由，則，易知，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不等式，可等價整理為，即，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，則，所以，即恒成立.4．（2025·天津河?xùn)|·調(diào)研）已知函數(shù)，曲線的一條切線的方程為．(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)，求函數(shù)的最小值；(3)若對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)出切點坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出值.（2）由（1）求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.（3）由（2）中信息，化簡得，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)直線與曲線相切的切點為，由函數(shù)求導(dǎo)得，則，即，又，因此.（2）由（1）知，，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為．（3），由（2）知，因此，依題意，，解得，所以的最大值為.5．（2026·天津·調(diào)研）已知函數(shù)若恰有6個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為與或的交點，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對稱性求出參數(shù)取值范圍即可.【詳解】由題意可知的實數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為或的實數(shù)解，即與或的圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，則，所以時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，且；作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：所以當(dāng)時，由圖可知與無交點，即方程無解；與有兩個不同的交點，即有兩個實數(shù)解；當(dāng)時，，令，則，則，，作出大致圖象如下圖所示：因為當(dāng)時，與有兩個不同的交點，所以只保證與及共有四個交點即可，所以只需，解得，即可得正實數(shù)的取值范圍.故答案為：.（建議用時：60分鐘）1．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，（i）求函數(shù)在點處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對于，都有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)（i）；（ii）增區(qū)間為；減區(qū)間為，極大值為，極小值為.(2).【分析】（1）（i）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再由點斜式寫出方程即可；（ii）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間和極值.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，（i），所以函數(shù)在點處的切線方程為，整理為：（ii）令得，，的變化如下表：2+0-0+增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)的增區(qū)間為；減區(qū)間為，極大值為，極小值為.（2）由，則，令，，由，所以時單調(diào)遞減；時單調(diào)遞增.只需恒成立，則.2．（2026·天津武清·月考）已知函數(shù)，.(1)若曲線在處的切線的斜率為2，求a的值；(2)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，列出導(dǎo)數(shù)值的方程，求出參數(shù)；（2）根據(jù)不等式恒成立的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值之間的關(guān)系，求出函數(shù)最小值，求出參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，可知，因為在處的切線斜率為2，所以，解得.（2）若在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，令，則，所以在時單調(diào)遞增，可知.當(dāng)時，，即，所以在時單調(diào)遞增，所以成立.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以使得.當(dāng)時，，即，所以此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以此時單調(diào)遞增；所以，不滿足題設(shè)條件，舍去.綜上，.3．（2026·天津濱海新·月考）已知函數(shù)，．(1)求在處的切線方程；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，且，證明：．【答案】(1)(2)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(3)證明見解析【分析】（1）求得，得到且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得曲線在處的切線方程；（2）由，求得，令，可得，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由，求得，令，求得或，再由，求得，化簡得到，令，求得的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則且，所以切線的斜率為，切點為，所以在處的切線方程為，即.（2）解：由函數(shù)，可得其定義域為，且，因為，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（3）解：由，可得，令，得或，因為，所以，則，又因為，所以，所以，令，則，令，則，因為，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以在為減函數(shù)，所以，即.4．（2026·天津濱海新·月考）已知函數(shù)，若方程有個不同的實根，則非零實數(shù)的取值范圍是【答案】或或【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時的值，再對分類討論得到根的個數(shù)，進(jìn)而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，，當(dāng)時，，當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點為，因為，則切線的，得，所以切點為，將切點代入直線，得，當(dāng)時，，令，即，①當(dāng)時，有一個實根，此時有一個實根，滿足條件；②當(dāng)時，有兩個實根，此時有一個實根，不滿足條件；③當(dāng)時，無實根，此時要使有兩個實根，則且，又是非零實數(shù)，所以即且.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或或.故答案為：或或5．（2026·天津南開·月考）已知函數(shù)．(1)若的極小值小于，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù)并寫出證明過程．【答案】(1)；(2)2個零點，證明見解析【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)的取值分類討論，得時極小值，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，即可求不等式的解集；（2）由，令，對其求導(dǎo)，令，求導(dǎo)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理，得使，求出的最小值為，由可得，故的最小值，討論，即可得函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，易得在上單調(diào)遞減，則無極小值，不滿足；當(dāng)時，由，得，即在上單調(diào)遞增；由，得，即在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，而的極小值小于，所以，即，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得.故的取值范圍為.（2）．令，得，令，則與有相同的零點，且．令，則，因為，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，使得，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，最小值為．由，得，即，令，則，則在單調(diào)遞增，因為，所以，則，所以，從而，所以的最小值，又當(dāng)趨近于0時，趨近于，當(dāng)趨近于時，趨近于，當(dāng)時，有2個零點，故有2個零點．6．（2025·天津河西·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)已知，證明：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式計算可得；（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；（3）依題意即證，當(dāng)恒成立，當(dāng)時，只需證，即證，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，切線方程為，整理得，所以曲線在處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，，對于關(guān)于的方程，有，當(dāng)時，，則恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，方程有兩根，，若，則，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；時，，所以在上單調(diào)遞減；若，則，當(dāng)和時，，當(dāng)時，；即在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）要證，即證，因為，，所以，當(dāng)時，不等式顯然成立；當(dāng)時，因為，則，所以只需證，即證，令，，則，由得；由，得，則在上為單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；令，，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即.7．（2025·天津河?xùn)|·二模）已知函數(shù)，，.(1)函數(shù)在點處的切線方程為，求a，b的值；(2)求函數(shù)的極值；(3)函數(shù)，若，證明：.【答案】(1)(2)的極大值為，無極小值(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算參數(shù)即可；（2）直接求導(dǎo)，判定函數(shù)的單調(diào)性計算極值即可；（3）化簡函數(shù)式，求導(dǎo)判定其單調(diào)性得出極大值即最大值，根據(jù)條件得出，再結(jié)合第二問的結(jié)論即可證明.【詳解】（1）易知，切線斜率為，所以，由切線方程可得；（2）易知，，令，即，∴，令，∴，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值.（3）易知，則，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，由已知，∴，，由（2）可知，證畢.8．（2025·天津和平·二模）已知函數(shù)（m，，）.(1)若函數(shù)的兩個極值點為0與，求m，n的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若.（ⅰ）求證：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ⅱ）對，總，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)得到方程組，求出，，驗證后滿足要求，并求出的單調(diào)區(qū)間；（2）（ⅰ）求導(dǎo)，整體得到，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)大于等于0，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ⅱ）由（?。┲?，最大值為，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，分，，，四種情況，求出時，對，總，使得成立.【詳解】（1），由已知有，解得.當(dāng)，時，，令，解得，定義域為，，令得或0，令，解得或，令，解得，所以與是函數(shù)的兩個極值點，所以，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）（?。┳C明：，代入，有，整理得①，當(dāng)時，，即，又，所以，因此①式即，所以當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，因此在上的最大值為，即對任意恒成立.設(shè)，，則當(dāng)時，則，此時，即在上單調(diào)遞減，因此，需，所以，當(dāng)時，，①當(dāng)時，即，此時，即在上單調(diào)遞增，因此，所以在上恒成立.②當(dāng)時，即，此時，即在上單調(diào)遞減，因此，所以在上恒成立.③當(dāng)時，即，此時當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，需滿足，令，設(shè)，，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，則在時恒成立，此時在恒成立.綜上所述，當(dāng)時，恒成立.即時，對，總，使得成立.9．（2025·天津·一模）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，，若存在，使得．證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）方法一：構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分和兩種情況進(jìn)行討論即可求得k的范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)，只需在時恒成立即可又，且所以要使當(dāng)時，，必須滿足，即，再根據(jù)這個結(jié)論進(jìn)行驗證即可；方法三：利用參變分離的方法，構(gòu)造函數(shù)，，最后需要結(jié)合洛必達(dá)法則求解；（3）由，可得，利用函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以，結(jié)合