/專題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（切線、單調(diào)性、極值、最值）目錄01析·考情精解 202構(gòu)·知能框架 303破·題型攻堅(jiān) 3考點(diǎn)一切線問(wèn)題 3真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1求曲線“在”點(diǎn)處的切線方程：知識(shí)2求曲線“過(guò)”點(diǎn)處的切線方程知識(shí)3過(guò)點(diǎn)，可作的（）條切線問(wèn)題知識(shí)4和存在（）條公切線問(wèn)題命題預(yù)測(cè)考向1“在”點(diǎn)的切線問(wèn)題考向2“過(guò)”點(diǎn)的切線問(wèn)題考向3公切線問(wèn)題考向4已知切線條數(shù)求參數(shù)考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值 26真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1函數(shù)單調(diào)性知識(shí)2函數(shù)的極值知識(shí)3函數(shù)的最值命題預(yù)測(cè)考向1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題考向2已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)考向3已知極值（點(diǎn)）求參數(shù)考向4解決實(shí)際問(wèn)題中的最值考向5構(gòu)造函數(shù)解不等式考向6含參討論單調(diào)區(qū)間命題軌跡透視近三年全國(guó)卷重，導(dǎo)數(shù)考查聚焦核心考點(diǎn)，穩(wěn)定性強(qiáng)。切線問(wèn)題以解答題為主，難度中等，重點(diǎn)考查切線方程求解，偶涉公切線問(wèn)題，常結(jié)合參數(shù)、曲線性質(zhì)綜合命題，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)幾何意義與求導(dǎo)運(yùn)算的精準(zhǔn)性。單調(diào)性、極值、最值是高頻重點(diǎn)，貫穿解答題核心，多與不等式、零點(diǎn)等跨模塊融合。命題緊扣“導(dǎo)數(shù)工具性”本質(zhì)，需通過(guò)數(shù)形結(jié)合、分類討論轉(zhuǎn)化問(wèn)題，落腳點(diǎn)始終是單調(diào)性與最值分析。能力上側(cè)重邏輯推理與運(yùn)算規(guī)范，凸顯對(duì)數(shù)學(xué)思想與綜合應(yīng)用能力的檢驗(yàn)?？键c(diǎn)頻次總結(jié)考點(diǎn)2025年2024年2023年切線問(wèn)題一卷T12，5分I卷T17，5分II卷T16（1），5分甲卷（理）T6，5分甲卷（文）T7，5分甲卷（文）T8，5分乙卷（理）T21（1），4分乙卷（文）T20（1），5分單調(diào)性、極值、最值一卷T19，17分二卷T13，5分二卷T18，17分I卷T10，6分II卷T16（2），8分甲卷（理）T21，12分甲卷（文）T20，12分I卷T19，12分II卷T6，5分II卷T22，12分甲卷（理）T21，12分甲卷（文）T20，12分乙卷（理）T21，12分乙卷（文）T20，12分2026命題預(yù)測(cè)2026年全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)考查將延續(xù)穩(wěn)定態(tài)勢(shì)。切線問(wèn)題聚焦“在點(diǎn)”與“過(guò)點(diǎn)”求解，大概率結(jié)合參數(shù)、復(fù)合函數(shù)。單調(diào)性、極值、最值仍是核心，或與三角函數(shù)、不等式跨模塊融合，強(qiáng)調(diào)分類討論與轉(zhuǎn)化思想。設(shè)問(wèn)分層，既考基礎(chǔ)運(yùn)算，也檢驗(yàn)思維嚴(yán)謹(jǐn)性與知識(shí)遷移能力?？键c(diǎn)一切線問(wèn)題1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題，6，5分）設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題，8，5分）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2025·全國(guó)一卷·高考真題，12，5分）若直線是曲線的一條切線，則.4．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題，17，5分）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題，16，5分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；6．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題，21，4分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．知識(shí)1求曲線“在”點(diǎn)處的切線方程：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)；第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)，切線斜率；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.知識(shí)2求曲線“過(guò)”點(diǎn)處的切線方程第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.知識(shí)3過(guò)點(diǎn)，可作的（）條切線問(wèn)題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；知識(shí)4和存在（）條公切線問(wèn)題第一步：求公切線的斜率，設(shè)的切點(diǎn)，設(shè)的切點(diǎn)；第二步：求公切線的斜率與；第三步：寫出并整理切線（1）整理得：（2）整理得：第四步：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；考向1“在”點(diǎn)的切線問(wèn)題1．（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線如圖所示，則＝（

）

A．0 B．2 C．－2 D．－12．（2025·廣西賀州·三模）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是.3．（2025·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則.4．（2025·江蘇蘇州·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；5．（2025·海南儋州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；6．（2025·江蘇南京·二模）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；考向2“過(guò)”點(diǎn)的切線問(wèn)題7．（2025·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）（多選）過(guò)點(diǎn)向曲線作切線，切線方程可能是（

）A． B． C． D．8．（2025·廣西河池·二模）已知函數(shù)，請(qǐng)寫出一條過(guò)點(diǎn)且與的圖象相切的直線方程.9．（2025·廣東深圳·二模）已知直線l為曲線過(guò)點(diǎn)的切線．則直線l的方程為．10．（2025·廣東云浮·模擬預(yù)測(cè)）將曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后第一次與y軸相切，則（

）A． B． C． D．11．（2025·陜西商洛·二模）已知函數(shù).(1)求過(guò)點(diǎn)并與圖象相切的直線；12．（2025·吉林吉林·一模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)求曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程．考向3公切線問(wèn)題13．（2024·陜西漢中·一模）已知直線是函數(shù)與的兩條公切線，式子的值為的是（

）A． B． C． D．14．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．1 B．2 C． D．15．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則與曲線，都相切的直線的方程是．16．（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）若曲線與有公共的切線，則的最大值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．117．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）若直線（k為常數(shù)）是曲線和曲線的公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．e18．（2024·山東聊城·一模）若直線同時(shí)與曲線和曲線相切，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．考向4已知切線條數(shù)求參數(shù)19．（2025·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2025·廣東茂名·三模）（多選）已知函數(shù)，則滿足過(guò)點(diǎn)可作出3條直線與圖象相切的充分條件是（

）A．， B．C．點(diǎn)在射線上 D．點(diǎn)在曲線上21．（2025·河北廊坊·一模）已知對(duì)于，過(guò)點(diǎn)可作曲線的3條不同的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．（2025·河南開(kāi)封·一模）已知函數(shù)，且曲線上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)滿足：存在過(guò)該點(diǎn)的兩條曲線的切線，且它們相互垂直，則的值為.23．（2025·云南普洱·三模）若過(guò)點(diǎn)只有一條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為.24．（2025·安徽安慶·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可以作曲線兩條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；考點(diǎn)二單調(diào)性、極值、最值1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題，13，5分）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題，16，5分）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.3．（2025·全國(guó)二卷·高考真題，18，6分）（多選）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點(diǎn)4．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題，10，6分）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題，11，6分）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心6．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題，21，12分）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．7．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題，20，5分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．8．（2025·全國(guó)二卷·高考真題，18，17分）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點(diǎn)和零點(diǎn).（i）設(shè)函數(shù).證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．知識(shí)1函數(shù)單調(diào)性1．單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．注意：①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；②在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，()是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必要條件.nn2．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟①確定函數(shù)的定義域；②求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；③把函數(shù)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；④確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.3．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.知識(shí)2函數(shù)的極值1．極值的概念：若函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．2．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求導(dǎo)函數(shù)求方程的根考查在方程的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值．知識(shí)3函數(shù)的最值1．最值的概念：函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值，對(duì)于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.2．求可導(dǎo)函數(shù)最值的步驟：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．3．函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€(gè)（或者沒(méi)有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒(méi)有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.考向1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題1．（2025·四川雅安·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）

A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值2．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（

）

A．2為的極大值點(diǎn) B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為的極小值點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞增3．（2024·浙江溫州·三模）函數(shù)的大致圖象如圖所示，則大小順序?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．4．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．5．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中，是的大致圖象的是（

）A． B．C． D．考向2已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)6．（2025·河南信陽(yáng)·三模）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2025·陜西西安·一模）若在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．（2024·黑龍江綏化·一模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2025·云南玉溪·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的最大值是（

）A．0 B． C．e D．310．（2025·安徽淮北·三模）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為.11．（2025·四川南充·一模）若對(duì)任意的，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考向3已知極值（點(diǎn)）求參數(shù)12．（2025·四川遂寧·二模）已知函數(shù)（，且），若在處取得極值為1，則（

）A． B．C． D．13．（2025·廣東肇慶·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．14．（2024·云南保山·一模）已知函數(shù)的極小值大于0，則的取值范圍為.15．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．（2025·廣東惠州·二模）已知在處有極小值.(1)求的值；(2)設(shè)，若在上恒成立，求的取值范圍（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.17．（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間沒(méi)有極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時(shí)，.考向4解決實(shí)際問(wèn)題中的最值18．（2024·廣東陽(yáng)江·二模）在新型太空艙生命維持系統(tǒng)的儲(chǔ)液罐設(shè)計(jì)中，采用一種膠囊形結(jié)構(gòu)：中間部分為圓柱體，左、右兩端均為半球形封頭，圓柱底面半徑和半球半徑均為.已知儲(chǔ)液罐外表面積為定值，當(dāng)儲(chǔ)液罐的體積取最大值時(shí)（

）A． B． C． D．19．（2025·廣西柳州·一模）將一根長(zhǎng)為3的鐵絲截成9段，使其組成一個(gè)正三棱柱的框架（鐵絲長(zhǎng)等于正三棱柱所有棱的長(zhǎng)度之和），則該正三棱柱的體積最大為（

）A． B． C． D．20．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織學(xué)生到一個(gè)木工工廠參加勞動(dòng)，在木工師傅指導(dǎo)下要把一個(gè)體積為的圓錐切割成一個(gè)圓柱，切割過(guò)程中磨損忽略不計(jì)，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．21．（2024·黑龍江七臺(tái)河·模擬預(yù)測(cè)）滑縣木版畫是河南安陽(yáng)最傳統(tǒng)的手工藝品，創(chuàng)始于明朝初期，距今已有六百多年的歷史了，滑縣木版畫制作工藝考究，至今一直都是純手工制作，顏色精細(xì)淡雅，色彩和諧，人物造型夸張，線條剛勁有力，極具當(dāng)?shù)氐拿袼滋厣畯埲A的伯伯制作滑縣木版畫并出售，寒假期間張華通過(guò)調(diào)研得知伯伯制作的A系列木版畫的成本為30元/套，每月的銷售量（單位：套）與銷售價(jià)格x（單位：元/套）近似滿足關(guān)系式，其中，則當(dāng)A系列木版畫銷售價(jià)格定為元/套時(shí)，月利潤(rùn)最大．22．（2025·河北石家莊·二模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來(lái)對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需可變成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤(rùn)為