1/14專題06平面向量5大最值題型通關(guān)指南內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命題熱點(diǎn)，常以選擇題填空題為主，?？疾閮?nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算，也會考察平面向量的最值問題．預(yù)測2026年：平面內(nèi)容可能會考一道最值中檔試題，考察平面向量的建系法求最值，以及極化恒等式的應(yīng)用，同時要注意解答題中向量的幾何翻譯。熱點(diǎn)題型：題型01平面向量中建系法求最值范圍題型02平面向量中的三角換元求最值題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離最短求向量最值問題題型04平面向量中極化恒等式求最值范圍問題題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合題型01平面向量中建系法求最值范圍解｜題｜策｜略①在求平面向量最值范圍問題中，看到特殊角，特殊圖行，要想到可以通過建立坐標(biāo)系來解決【精選例題】【例1】已知直角梯形中，，，且，，點(diǎn)是梯形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2】已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．-1 D．【例3】在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)．則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【例4】已知點(diǎn)在邊長為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例5】已知是邊長為的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，則的最小值為.【例6】在邊長為1的正方形中，，為線段上的動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．(25-26高三上·北京房山區(qū)·)已知在等腰梯形中，，是腰上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(24-25高三下·湖南長沙部分學(xué)校聯(lián)考·)已知正方形的邊長為4，點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B．0 C．12 D．3．(25-26高三上·北京匯文中學(xué)·期中)如圖是由六個邊長為1的正六邊形組成的蜂巢圖形，其中正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”，若四個不同的點(diǎn)均為“晶格點(diǎn)”，兩點(diǎn)的位置如圖所示，則的最大值為，的最大值為.4．(24-25高一下·陜西西安遠(yuǎn)東第二中學(xué)·月考)直角梯形中，，，，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在邊上運(yùn)動(包含端點(diǎn))，則的取值范圍為.5．(24-25高一下·吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·月考)已知的外接圓為單位圓，且圓心為，，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，則的最小值是.6．(24-25高三上·河北邢臺質(zhì)檢聯(lián)盟·期中)已知四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)滿足，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為．題型02平面向量中的三角換元求最值解｜題｜策｜略題目中涉及圓上一動點(diǎn)，要想到三角換元，【精選例題】【例1】已知中，，，P是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】已知的內(nèi)切圓圓心為，半徑，且滿足是內(nèi)切圓上一動點(diǎn)，則取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3】在中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個動點(diǎn)，線段過點(diǎn)，則可用，表示為；的最小值為．【例4】已知A，B，C為單位圓上任意不同的三點(diǎn)，則的取值范圍為．【例5】如圖，給定兩個長度為1的平面向量和，其夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動，若，則的最大值是．【例6】已知在中，，，是線段上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】1．在矩形中，，，點(diǎn)滿足，在平面中，動點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．(24-25高一下·福建廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)·)已知扇形的半徑為1，且，點(diǎn)C在弧上運(yùn)動，若，則的取值范圍是.3．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則的最大值是4．如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為；若是圓上的動點(diǎn)，則的取值范圍是.

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高級中學(xué)·期中)已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，，是平面內(nèi)三個不同的單位向量，且滿足，則的最小值為.6．(24-25高一下·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)·)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段BC（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點(diǎn)，（λ，μ為實(shí)數(shù)）則的取值范圍為．

7．(25-26高三上·湖南永州道縣敦頤高級中學(xué)·開學(xué)考)如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動，則的最大值為.題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離最短求向量最值問題解｜題｜策｜略題目中出現(xiàn)的最小值問題，要想到它的含義就是點(diǎn)到直線的距離【精選例題】【例1】設(shè)為兩個非零向量的夾角，且，已知對任意實(shí)數(shù)的最小值為2，則.【例2】已知中，，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【例3】在中，，若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則邊的最小長度是（

）．A． B． C． D．【例4】已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例5】已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．2.已知中，，，，，，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．3.在中，，，，對任意，有恒成立，點(diǎn)P是直線BA上，則的最小值是．

4．已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是．題型04平面向量中的極化恒等式求最值范圍ABABCM極化恒等式三角形模式在三角形中（M為的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用極化恒等式的條件在處理的問題時，只有當(dāng)或（是的中點(diǎn)）已知（或有一定的約束條件）時，我們才考慮極化恒等式，否則需要使用常規(guī)方法來解答【精選例題】【例1】銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．2 D．4【例2】在直角梯形中，，，，點(diǎn)為梯形四條邊上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】如圖所示，正六邊形的中心與圓的圓心重合，正六邊形的邊長為4，圓的半徑為1，是圓的一條動直徑，為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的可能取值為（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【例4】在中，，，，P，Q是平面上的動點(diǎn)，，M是邊BC上的一點(diǎn)，則的最小值為．【例5】如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點(diǎn)，則的最小值為.【變式訓(xùn)練】1．已知是半徑為2的圓上的三個動點(diǎn)，弦所對的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．2．邢臺一中數(shù)學(xué)探索館中“圓與非圓—搬運(yùn)”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．23．四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動點(diǎn)，的取值范圍是.4．(23-24高一下·河南河南名校聯(lián)考·月考)如圖，在面積為的中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，若，則的最小值是．

5．已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的最小值為.6．已知正的邊長為2，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為．題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合【精選例題】【例1】已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對于邊上任意一點(diǎn)，都有，則是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定【例3】已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點(diǎn)M滿足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例4】已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【例5】已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.【例6】已知球是棱長為3的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體的棱上的動點(diǎn)，則的取值范圍為．【變式訓(xùn)練】1．已知為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，以B，E為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)A，D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．(24-25高二上·吉林長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)?！ぴ驴?已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(24-25高二上·江西八校協(xié)作體·)在正三棱錐中，，點(diǎn)為空間中的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過：的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江臺州山海協(xié)作體·期中)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過的圓心且與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．7．(24-25高二上·遼寧大連濱城高中聯(lián)盟·月考)已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.8．(25-26·難點(diǎn)2直線與圓中的最值問題處理策略（練）·期中)已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為.9．(25-26高二上·上海七寶中學(xué)浦江分?！て谥?體積為的正四面體內(nèi)有一個球，球與該正四面體的各面均有且只有一個公共點(diǎn)，，是球的表面上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)在該正四面體的表面上運(yùn)動，當(dāng)最大時，的最大值是．10．若為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是.（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高級中學(xué)·)在菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．(25-26高二上·廣東廣州天天向上聯(lián)盟·期中)已知，是圓：上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3．(25-26高三上·江蘇宿遷中學(xué)·期中)已知是圓上的動點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(25-26高二上·浙江寧波三鋒聯(lián)盟·期中)已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．(25-26高二上·北京延慶區(qū)·期中)已知是邊長為的等邊三角形，為平面內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江六校聯(lián)盟·)已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則（

）A． B．4 C． D．7．(24-25高一下·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)·月考)已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．8．(24-25高一下·重慶女子職業(yè)高級中學(xué)·月考)已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．(24-25高一下·浙江91聯(lián)盟·期中)已知與是平面內(nèi)兩個非零向量，，，，點(diǎn)P是平分線上的動點(diǎn).當(dāng)取最小值時，的值為（

）.A．. B．. C．. D．.10．(24-25高一下·江蘇鹽城五校聯(lián)盟·)在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2二、多選題11．(25-26高二上·廣東中山三鑫學(xué)校·月考)設(shè)動直線交圓于兩點(diǎn)(點(diǎn)為圓心)，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn) B．當(dāng)取得最小值時，C．當(dāng)最小時，其余弦值為 D．的最大值為12．在中，，點(diǎn)為以為圓心的單位圓上的動點(diǎn)，設(shè)的重心為，外心為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．當(dāng)為直角三角形時，D．的最大值為13．給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的劣弧上運(yùn)動，若，則的取值可以是（

）A．1 B． C