1/2答題模板17球體的外接球、內(nèi)切球、棱切球解題技巧（特殊幾何體、墻角、對棱相等、側(cè)棱垂直底面、側(cè)面垂直底面、二面角綜合、數(shù)學(xué)文化、最值、球心不確定、內(nèi)切、棱切）有關(guān)的12類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一特殊幾何體外接球的應(yīng)用及解題技巧方法二墻角問題外接球的應(yīng)用及解題技巧方法三對棱相等問題外接球的應(yīng)用及解題技巧方法四側(cè)棱垂直底面問題外接球的應(yīng)用及解題技巧方法五側(cè)面垂直于底面問題外接球的應(yīng)用及解題技巧方法六二面角與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧方法七數(shù)學(xué)文化與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧方法八最值與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧方法九球心不確定類型的應(yīng)用及解題技巧方法十內(nèi)切球綜合應(yīng)用及解題技巧方法十一棱切球綜合應(yīng)用及解題技巧方法十二球體在解答題中的應(yīng)用及解題技巧第三部分題型專攻實施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】特殊幾何體外接球【題型02】墻角問題外接球【題型03】對棱相等問題外接球【題型04】側(cè)棱垂直底面問題外接球【題型05】側(cè)面垂直于底面問題外接球【題型06】二面角與球體綜合【題型07】數(shù)學(xué)文化與球體綜合【題型08】最值與球體綜合【題型09】球心不確定類型【題型10】內(nèi)切球綜合應(yīng)用【題型11】棱切球綜合應(yīng)用【題型12】球體在解答題中的應(yīng)用第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）球體與多面體的接切問題，是立體幾何考查空間想象、模型識別與代數(shù)運(yùn)算能力的綜合性載體。試題以外接球、內(nèi)切球、棱切球為核心，通過嵌入特殊幾何體（如墻角模型、對棱相等模型）、特定線面關(guān)系（側(cè)棱垂直底面、側(cè)面垂直底面）及二面角條件，綜合考查球心確定、半徑計算、接切轉(zhuǎn)化等核心能力。近年來，試題常融入數(shù)學(xué)文化背景或與最值問題結(jié)合，強(qiáng)調(diào)在復(fù)雜情境中對幾何關(guān)系的提取與建模。核心考查三大方向：模型識別與球心定位：快速識別補(bǔ)形（長方體、圓柱）與定義（外接球心到頂點等距、內(nèi)切球心到面等距、棱切球心到棱等距）兩大路徑，準(zhǔn)確確定球心位置。條件轉(zhuǎn)化與半徑計算：將“側(cè)棱垂直底面”、“二面角大小”等條件轉(zhuǎn)化為截面圖中的幾何關(guān)系（常利用勾股定理、正弦定理、解三角形），建立關(guān)于半徑的方程。接切關(guān)系與最值應(yīng)用：處理內(nèi)切球時利用等體積法，并與函數(shù)、不等式結(jié)合求球半徑或體積的最值。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）球心確定困難：面對不特殊的多面體時，缺乏利用“球心在過截面外心且垂直截面的直線上”這一核心性質(zhì)進(jìn)行定位的能力。模型識別僵化：機(jī)械記憶“墻角”、“對棱相等”等模型結(jié)論，條件稍作變化或組合（如“側(cè)面垂直于底面”）便無法分析。接切關(guān)系混淆：混淆內(nèi)切球（與所有面相切）與棱切球（與所有棱相切）的幾何特征與計算公式。最值求解路徑單一：處理動態(tài)球半徑最值時，僅依賴幾何直觀，不善于建立目標(biāo)函數(shù)（如將半徑表為某一變量的函數(shù)）后利用導(dǎo)數(shù)或不等式求解。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記球體的外接球、內(nèi)切球、棱切球解題技巧（特殊幾何體、墻角、對棱相等、側(cè)棱垂直底面、側(cè)面垂直底面、二面角綜合、數(shù)學(xué)文化、最值、球心不確定、內(nèi)切、棱切）的相關(guān)知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計針對性訓(xùn)練題，通過對比正確與錯誤解法，強(qiáng)化對知識邊界的理解，避免重復(fù)犯錯。結(jié)論背記一、基礎(chǔ)公式/基礎(chǔ)結(jié)論1.球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR32.底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對角線的一半3.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.4.正棱錐類型h?R2+二、二級結(jié)論1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補(bǔ)形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).2.對棱相等推導(dǎo)過程:通過對棱相等,可以將其補(bǔ)全為長方體,補(bǔ)全的長方體體對角線為外接球直徑,設(shè)長方體的長寬高為別為a,b側(cè)棱垂直與底面-垂面型，R=4.側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

（2如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?

（5.二面角問題基本原理如下圖,所示為四面體P?ABC,已知二面角P?AB?C大小為α,其外接球問題的步驟如下:

(1)找出△PAB和△ABC的外接圓圓心,分別記為O1和O2.

(2)分別過O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂線,其交點為球心,記為O.

(3)過O1作AB的垂線,垂足記為D,連接O2D如圖,設(shè)O1、O2為面PAB與面CAB的外接圓圓心,其半徑分別為r1、r2,兩相交面的二面角P?AB?C記為α,公共弦為AB的弦長為,四面體P?ABC球O的半徑R.兩圓O1、O2的弦心距:DOR2=r12+r2R6.內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:V?VP?ABC=1結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.技法歸納方法一特殊幾何體外接球的應(yīng)用及解題技巧核心思路：對于具有特殊結(jié)構(gòu)（如長方體、正方體、正棱柱、正棱錐等）的幾何體，可直接利用其幾何性質(zhì)或已知公式求解外接球半徑。適用情形：長方體/正方體：體對角線為外接球直徑。圓柱體：外接球直徑等于圓柱體軸截面對角線長。正棱柱/直棱柱：底面為正多邊形，側(cè)棱垂直于底面。正棱錐：頂點在底面的投影為底面外心。解題步驟與技巧：識別幾何體類型：判斷幾何體是否為長方體、正棱柱、正棱錐等特殊幾何體。確定球心位置：長方體/正方體：球心為體對角線交點。圓柱體：球心在圓柱中軸線的中點。正棱柱：球心在上下底面外心連線的中點。正棱錐：球心在過底面外心且垂直于底面的垂線上，具體位置需計算確定。例題1棱長分別為，，的長方體外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．例題2（2025·陜西西安·三模）已知圓錐底面半徑為，母線長為，若球的半徑與圓錐的高相等，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例題3（2025·廣西河池·三模）已知某正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，用一個平行于底面的平面截去一個底面邊長為2的正四棱錐后，得到一個正四棱臺，則該正四棱臺的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．方法二墻角問題外接球的應(yīng)用及解題技巧對于三條棱兩兩垂直的三棱錐（墻角模型），可將其補(bǔ)形為長方體，利用長方體的外接球公式求解。例題4在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．方法三對棱相等問題外接球的應(yīng)用及解題技巧對于對棱長度分別相等的四面體，可將其視為長方體的一部分，通過補(bǔ)形法求解。例題5四面體中，，則經(jīng)過A，B，C，D的外接球的表面積是．方法四側(cè)棱垂直底面問題外接球的應(yīng)用及解題技巧核心思路：對于側(cè)棱垂直于底面的棱錐（直棱錐），其外接球球心在過底面外心且垂直于底面的直線上，利用勾股定理建立方程求解。適用情形：棱錐的側(cè)棱垂直于底面（即PA⊥底面ABC常見于直三棱錐、直四棱錐等。解題步驟：1.確定底面外心O1:根據(jù)底面多邊形形狀，確定其外接圓圓心O12.設(shè)球心位置：設(shè)球心O在過O1且垂直于底面的直線上，且3.建立方程：球心O到底面各頂點距離相等：OA=R,且球心O到頂點P的距離：OP=R,且OP2=h?d2(若4.聯(lián)立求解：通常有d2+r2=5.化簡公式：對于直棱錐，常得公式R=關(guān)鍵技巧：準(zhǔn)確判斷球心位置：若h>2r,球心在棱錐外部；若h<2熟記直棱錐外接球半徑公式R例題6已知四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．方法五側(cè)面垂直于底面問題外接球的應(yīng)用及解題技巧對于側(cè)面與底面垂直的幾何體（如正棱臺、某些特殊棱錐），外接球球心位于兩個垂直平面的交線或中垂面上，需綜合兩個平面的外心性質(zhì)求解。例題7三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例題8如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．方法六二面角與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧當(dāng)幾何體與球體結(jié)合，且涉及二面角時，往往需要利用二面角的平面角，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，結(jié)合球的性質(zhì)求解。例題9（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，將沿翻折成，使二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例題10（25-26高三上·山東德州·期中）在四邊形中，，對角線，將沿翻折成，使二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為．方法七數(shù)學(xué)文化與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧核心思路：將古代數(shù)學(xué)問題、實際應(yīng)用場景與球體知識結(jié)合，通常需要先理解背景，抽象為數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用球體相關(guān)公式或性質(zhì)求解。例題11（25-26高三上·天津和平·期中）古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形.且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球的體積為（

）A． B． C． D．例題12（2025高三·全國·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功一章中介紹了圓堡壔（dao，即圓柱體）：“今有圓堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻譯為白話文為“已知圓柱體，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺”，現(xiàn)在設(shè)該圓柱體的兩個底面的圓周在同一個球面上，則該球的表面積約為（

）（注：取3，1丈尺）（

）A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺方法八最值與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧核心思路：求與球體相關(guān)的幾何量的最值（如距離、面積、體積），通常需要建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)、基本不等式或幾何性質(zhì)求解。常見最值問題：距離最值：球面上兩點間距離、點到球面的距離。面積/體積最值：球的內(nèi)接/外切幾何體的表面積、體積最值。角度最值：球內(nèi)或球面上某點對某線段所張角的最大/最小值。解題步驟：明確變量與目標(biāo)：設(shè)出關(guān)鍵變量（如角度、長度），寫出目標(biāo)表達(dá)式。建立函數(shù)關(guān)系：利用幾何關(guān)系（勾股定理、余弦定理、相似等）建立目標(biāo)關(guān)于變量的函數(shù)。選擇求最值方法：二次函數(shù)：配方法求最值。三角函數(shù)：利用有界性?；静坏仁剑鹤⒁獾忍柍闪l件。導(dǎo)數(shù)法：對復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)。結(jié)合幾何意義驗證：最值點往往在對稱位置或邊界取得。例題13（2025·河北·模擬預(yù)測）已知長方體的外接球表面積為，且，則該長方體的體積的最大值為（

）A． B． C．3 D．例題14（2025·江蘇·模擬預(yù)測）已知四面體的頂點都在同一球面上，若該球的表面積為是邊長為3的正三角形，則四面體的體積的最大值為.例題15（2025·四川成都·一模）在三棱錐中，底面，側(cè)面?zhèn)让?，且，的面積為4.若三棱錐的各個頂點都在球的球面上，則球表面積的最小值為.例題16（2025·浙江麗水·一模）在Rt中，是的中點，把沿翻折到，設(shè)二面角的平面角為，若，則三棱錐外接球表面積的范圍是．方法九球心不確定類型的應(yīng)用及解題技巧當(dāng)球心位置不易直接判斷時，利用“球心到球面上任意一點距離相等”這一根本性質(zhì)，通過列方程（或方程組）求解球心坐標(biāo)和半徑。首先，要仔細(xì)觀察和分析題目給出的圖形和條件，明確所求的目標(biāo)。然后，可以嘗試?yán)每臻g向量的方法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在這一過程中，需要巧妙地設(shè)定點的坐標(biāo)，并合理利用向量的數(shù)量積、模長等公式。另外，還可以結(jié)合立體幾何中的性質(zhì)定理和判定定理，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等，以及等體積法、割補(bǔ)法等技巧，來進(jìn)一步求解。在解題過程中，要保持清晰的思路，逐步推導(dǎo)，避免陷入思維定勢。同時，要注意對題目中的特殊條件進(jìn)行充分挖掘和利用，這些特殊條件往往能簡化解題過程。通過不斷練習(xí)和總結(jié)，可以逐漸掌握這類問題的解題技巧，提高解題效率和準(zhǔn)確性。例題17（2024·安徽·一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例題18已知四棱錐的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例題19已知三棱錐的四個頂點在球O的表面上，，，，．若三棱錐的體積為，則球的表面積為．方法十內(nèi)切球綜合應(yīng)用及解題技巧利用“內(nèi)切球球心到幾何體各面的距離相等（等于球半徑）”的性質(zhì)，常通過體積法（分割幾何體）或等面積法建立關(guān)系求解。解題步驟：1.確定球心位置：內(nèi)切球球心I在多面體各個面的角平分面（即二面角的平分面）的交點上。對于正多面體或錐體，球心在特殊位置（如正棱錐的高線上）。2.利用體積法（萬能方法）：將多面體分割成以球心I為頂點，各面為底面的若干個小棱錐。整個多面體的體積V等于這些小棱錐體積之和：V=因此，內(nèi)切球半徑r=3.對于正棱錐的特殊公式：設(shè)正棱錐高為h,底面邊長為a,側(cè)面斜高為l?？衫孟嗨迫切危簉=hr關(guān)鍵技巧：體積法r=對于正多面體，有固定公式，如正四面體棱長為a,則r=例題20（2025·河南·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，圓錐的內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．例題21（2025·吉林·模擬預(yù)測）一圓臺的上底面半徑為，下底面直徑為，母線長為，則內(nèi)切于該圓臺的球體體積為（

）A． B． C． D．例題22（2025·重慶·三模）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的體積最大為（

）A． B． C． D．方法十一棱切球綜合應(yīng)用及解題技巧核心思路：棱切球（與多面體所有棱都相切的球）的球心到各棱的距離相等（等于球半徑）。常將問題轉(zhuǎn)化為球心到各棱的距離計算，或利用“球與直線相切，球心到直線距離等于半徑”的性質(zhì)。解題步驟：1.確定球心位置：棱切球球心在多面體各二面角的角平分面交線上，且到各棱距離相等。對于正多面體，球心與重心重合。2.求球心到棱的距離：向量法（通用）：建立坐標(biāo)系，求球心坐標(biāo)，再用點到直線距離公式。幾何法：對于正多面體，常利用對稱性，在某個截面中求球心到棱的垂線段長度。3.建立關(guān)系求解：以正四面體為例：棱長為a,棱切球半徑r等于球心到棱的距離。球心在正四面體的高上，通過構(gòu)造直角三角形河求得r=以正方體為例：棱長為a,棱切球半徑r=關(guān)鍵技巧：正多面體的棱切球半徑有固定公式，可記憶。一般多面體的棱切球問題較少見，若出現(xiàn)，通常具有高度對稱性，可轉(zhuǎn)化為求球心到某條特定棱的距離。例題23如果一個球和立方體的每條棱都相切，那么稱這個球為立方體的棱切球，那么單位立方體的棱切球的體積是.例題24邊長為2的正四面體內(nèi)有一個球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時，球的體積為．例題25已知正三棱錐，球O與三棱錐的所有棱相切，則球O的表面積為．例題26已知正方體的外接球的表面積為，與的重心分別為，，球與該正方體的各條棱都相切，則球被所在直線截的弦長為（

）A． B． C． D．方法十二球體在解答題中的應(yīng)用及解題技巧在高考或模擬考的解答題中，球體問題常作為壓軸或綜合題出現(xiàn)，需串聯(lián)多個知識點（如空間向量、立體幾何、函數(shù)最值、解析幾何），考查綜合分析與計算能力。例題27（2025·陜西延安·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，底面，是的中點，是的中點，．(1)求證：平面平面；(2)若，，且二面角的正弦值為，求三棱錐外接球的表面積．例題28（2025·遼寧大連·一模）如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，高為，在棱上有一動點，連接，，.

(1)求證：當(dāng)平面與平面所成夾角余弦值為時，為棱中點；(2)若時，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接.(i)若平面，求外接球的表面積;(ii)若，求此時的長.例題29（2025·浙江溫州·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，面ABCD，若點M滿足，點E為PB中點，過EM的平面滿足，且平面與棱PD，AD，AB分別交于點F，G，H.

(1)求證：；(2)試判斷P，E，M，F(xiàn)，G，H六點能否在同一個球面上？若能，求該球的表面積；若不能，請說明理由.模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點。2.按題型進(jìn)行系統(tǒng)分類與專項訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧?！绢}型01】特殊幾何體外接球（共4題）1．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測）已知棱長為的正方體的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·江西·月考）已知某圓柱的高為，底面半徑為1，且其上、下底面圓周均在以為球心的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·寧夏吳忠·月考）已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型02】墻角問題外接球（共5題）5．在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知三棱錐的三條棱，，兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球體積為．7．（24-25高三上·山東德州·開學(xué)考試）已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為.8．已知三棱錐，，、兩兩垂直，，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，兩兩垂直，則球的體積為A． B． C． D．【題型03】對棱相等問題外接球（共5題）10．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．11．已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．12．在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．13．已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為.14．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）在三棱錐中，.該棱錐的各頂點都在球的表面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型04】側(cè)棱垂直底面問題外接球（共6題）15．在三棱錐中，平面ABC，，且三棱錐的體積為，若三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．16．三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．17．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則（

）A．1 B． C． D．218．在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=10且PA=2BC，則該三棱錐的外接球的體積為.19．（25-26高三上·天津紅橋·期中）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且各頂點都在同一球面上，若則此球的表面積為（

）A．10π B．12π C．16π D．20π20．在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【題型05】側(cè)面垂直于底面問題外接球（共5題）21．已知三棱錐的底面與側(cè)面均是邊長為2的正三角形，且平面平面，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．22．（2025·云南大理·模擬預(yù)測）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點，，，都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．23．已知在三棱錐中，，，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．24．已知四棱錐，底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，且為正三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．25．（2025·黑龍江·二模）在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是邊長為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（

）A．5π B．10π C．28π D．56π【題型06】二面角與球體綜合（共5題）26．（2025·四川南充·二模）已知正三棱錐底面邊長為2，其內(nèi)切球的表面積為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．27．（25-26高三上·重慶·期中）在三棱錐中，，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．28．（2025·廣東佛山·一模）兩個有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點都在球的球面上，，且二面角的大小為，則球的表面積為.29．（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知二面角的大小為，且，，，點、、、在同一球面上，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．30．如圖1，在菱形中，，將沿對角線翻折到的位置，如圖2，連接，構(gòu)成三棱錐，若二面角的平面角為，則三棱錐外接球的表面積為．

【題型07】數(shù)學(xué)文化與球體綜合（共4題）31．（2025·新疆·模擬預(yù)測）在我國著名的數(shù)學(xué)論著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為“塹堵”.已知在塹堵中，，，，為的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．32．（24-25高三上·湖北武漢·期末）葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿，多子多福.如圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個圓柱與兩個完整的球組成的幾何體，若上，中，下三個幾何體的高度之比為，且總高度為，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（

）（）A． B． C． D．33．（2025·天津河北·二模）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（

）A． B．2 C．3 D．434．如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．【題型08】最值與球體綜合（共8題）35．（2025·陜西榆林·一模）一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3，圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個體積為的球，則該球的體積的最大值是．36．（2025·遼寧·三模）已知三棱錐中，，面面，該三棱錐外接球半徑為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．37．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，是邊長為的等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，將該四邊形沿對角線折成四面體，在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為（

）A． B． C． D．38．（24-25高三上·湖北·期末）正方體的棱長為3，平面內(nèi)一動點滿足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．39．（2025·山東·模擬預(yù)測）一個軸截面是邊長為的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個小球后，還可以放入一個半徑為1的小球，則小球的體積與容器體積之比的最大值為（

）A． B． C． D．40．（2025·河南開封·二模）已知正方體的內(nèi)切球的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．41．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）已知某圓錐的軸截面是邊長為6的等邊三角形，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．42．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圓臺存在內(nèi)切球（球與圓臺上、下底面以及側(cè)面均相切），若圓臺的上、下底面積分別為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型09】球心不確定類型（共6題）43．如圖，在菱形中，，，E為對角線BD的中點，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．44．已知正方體的棱長為2，P，Q分別是，的中點，則經(jīng)過點，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．45．三棱錐的四個頂點在球O的球面上，，，，頂點P到的三邊距離均等于4，且頂點P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．46．正四棱錐的底面邊長為，則平面截四棱錐外接球所得截面的面積為（

）.A． B． C． D．47．在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．48．已知直三棱柱，為線段的中點，為線段的中點，過的內(nèi)切圓圓心，且，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B．π C． D．【題型10】內(nèi)切球綜合應(yīng)用（共5題）49．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為6，其內(nèi)切球和外接球球心重合，則該圓錐外接球的表面積為（

）A．48π B．36π C．24π D．12π50．（2025·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球表面積為，則能裝下該正四面體的最小正方體不計厚度的體積為（

）A． B． C． D．51．（2025·廣西北海·模擬預(yù)測）已知一個正四棱錐的底面邊長為，內(nèi)切球的體積為，則這個正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．1652．（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測）若圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，記圓柱與球的體積之比為，表面積之比為，則（

）A． B．C． D．的大小不確定53．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知正四棱錐P-ABCD中，各棱長均相等，球是該四棱錐的內(nèi)切球，球與球相切，且與該四棱錐的四個側(cè)面也相切；球與球相切，且與該四棱錐的四個側(cè)面也相切，球的半徑大于球的半徑，則球與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【題型11】棱切球綜合應(yīng)用（共5題）54．（24-25高三上·江蘇·月考）若正四面體的棱長為2，各條棱均與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．55．已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．56．已知四面體的每條棱長都為2，若球與它的每條棱都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．57．正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．58．點是棱長為的正方體的棱切球上的一點，點是的外接圓上的一點，則線段的取值范圍是（_____）A． B．C． D．【題型12】球體在解答題中的應(yīng)用（共5題）59．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在上，點為的中點，且平面．(1)求證：平面；(2)若平面平面，且，，記平面與平面的夾角為．①求的最大值；②當(dāng)取到最大值時，求四棱錐的外接球體積．60．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，．

(1)證明：；(2)設(shè)．（i）當(dāng)四棱錐的體積最大時，求三棱錐的外接球的表面積；（ii）求平面與平面夾角的余弦值的最小值．61．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）在中，為的中點，，將沿翻折至，此時．(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐外接球的表面積；(3)若為空間中的點，且滿足，當(dāng)四面體的體積最大時，求平面與平面夾角的正切值．62．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為的正方形中，，分別為邊，上的點，連接，，，將沿著折線翻折，使點到達(dá)點位置，連接，形成三棱錐.(1)若，分別為邊，上的中點，，求此時三棱錐外接球的表面積；(2)若，是的中點.（?。┣蟮拇笮?；（ⅱ）若正方形邊長為，當(dāng)取最小值，取最大值時，求此時直線與平面所成角的正弦值.63．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，，，．(1)若，求向量在向量上的投影向量的模；(2)當(dāng)，且時，求出四棱錐的外接球的表面積；(3)若，且，求二面角的正切值．模塊說明：模塊說明：答題強(qiáng)化訓(xùn)練，實現(xiàn)能力躍遷。模塊題量適中，全部選用最新高質(zhì)量模擬題，側(cè)重對方法模型的直接應(yīng)用與鞏固。題量15題一、單選題1．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）半徑為4的實心球與半徑為2的實心球體積之差的絕對值為（

）A． B． C． D．2．（2025·浙江·模擬預(yù)測）已知一個球的表面積與體積的數(shù)值相等，則這個球的體積為（

）A．3 B．12 C． D．3．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）若半徑為1的球與正三棱柱的各個面均相切，則該正三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2025·浙江嘉興·三模）若某正四面體的內(nèi)切球的表面積為，則該正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2025·云南楚雄·模擬預(yù)測）將半徑為的實心鐵球熔化后鑄成一個實心正四面體（不計損耗），則正四面體的棱長為（

）A． B． C． D．6．（2025·陜西寶雞·二模）已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2025·吉林延邊·一模）在直三棱柱中，，，且，則該三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知，，是球的球面上的三個點，且，球心到平面的距離為1，則球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（24-25高三上·浙江·月考）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．10．（2025·廣東廣州·三模）已知棱長為2的正方體的幾何中心為，平面與以為球心的球相切，若截該正方體所得多邊形始終為三角形，則球表面積的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題11．（24-25高三下·山西·期中）已知正方體的棱長為2，E是的中點，點F是面上的動點（包括邊界），且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．動點F的軌跡的長度為B．三棱錐體積的取值范圍為C．當(dāng)三棱錐體積取最大值時，其外接球的表面積為D．當(dāng)三棱錐體積取最小值時，其外接球的表面積為三、填空題12．（2025·甘肅白銀·三模）已知正三棱臺的側(cè)棱長為，上、下底面的邊長分別為，，則三棱臺的外接球的表面積為．13．（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知三棱錐中，平面，且，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．14．（2025·山東·三模）已知正四棱臺，，高為，則該正四棱臺外接球的表面積為.15．（2025·四川樂山·三模）三棱錐中，，，，，，向量與向量的夾角為，則三棱錐外接球的表面積為.

答題模板16數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一數(shù)列不等式的證明方法二不等式放縮方法三數(shù)列最值方法四參數(shù)求解方法五與三角函數(shù)綜合方法六與概率綜合方法七與導(dǎo)數(shù)綜合方法八與解析綜合第三部分題型專攻實施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明【題型02】不等式放縮【題型03】數(shù)列最值【題型04】參數(shù)求解【題型05】與三角函數(shù)綜合【題型06】與概率綜合【題型07】與導(dǎo)數(shù)綜合【題型08】與解析綜合【題型09】數(shù)列新定義第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）數(shù)列綜合大題是考查數(shù)學(xué)高階思維與核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。試題超越基礎(chǔ)公式，將數(shù)列與不等式證明、放縮技巧、最值及參數(shù)求解深度融合，并廣泛與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何交叉，或設(shè)置“新定義”情境。它從數(shù)列作為離散函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，通過代數(shù)變形、數(shù)學(xué)歸納、導(dǎo)數(shù)工具等方法解決問題，全面考查邏輯推理、運(yùn)算求解及跨模塊整合能力。核心考查四大方向：數(shù)列與不等式：證明、放縮求和、求最值或參數(shù)范圍，需掌握裂項、等比等放縮技巧及數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)列與其他知識交叉：與三角、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何結(jié)合，檢驗知識聯(lián)系與遷移能力。數(shù)列新定義問題：理解新概念并探究性質(zhì)、求解，考查抽象素養(yǎng)與學(xué)習(xí)遷移能力。極限與收斂性（以探究為主）：借助單調(diào)有界性討論極限存在與求解。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）數(shù)列特性把握不足：不善于從遞推關(guān)系求通項，忽略單調(diào)性、有界性等性質(zhì)的應(yīng)用。放縮技巧生硬：放縮“度”控制不當(dāng)，盲目套用公式，缺乏目標(biāo)導(dǎo)向的配湊能力?？缰R整合弱：難以建立數(shù)列與三角、概率、導(dǎo)數(shù)等知識的有效聯(lián)系。畏懼新定義：信息提取與轉(zhuǎn)化能力不足，無法將新定義化為已知模型。運(yùn)算能力欠缺：復(fù)雜運(yùn)算、遞推、變形過程中易出錯。缺乏探究意識：不善于從特殊項入手猜測規(guī)律并證明。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）的相關(guān)知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計針對性訓(xùn)練題，通過對比正確與錯誤解法，強(qiáng)化對知識邊界的理解，避免重復(fù)犯錯。結(jié)論背記一、二級結(jié)論1.數(shù)列放縮（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號的方向進(jìn)行選擇。注：對于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時不妨先構(gòu)造出形式再驗證不等關(guān)系。（4）可推廣為：技法歸納方法一數(shù)列不等式的證明數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題1（2025·遼寧沈陽·三模）已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出數(shù)列的公差，可求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項求和法求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以，故.（2）因為，所以，故原不等式成立.例題2（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列與的所有項從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項和；②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可得，對于取，即可求出、，從而求出通項公式；（2）①首先求出，即可得到，從而求出其前20項和；②由，分及兩種情況討論，當(dāng)時利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，取，得，即，解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，因為，所以，所以的前20項和為；②證明：因為，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上可得.例題3（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知．(1)求的通項公式；(2)令，為的前項之積，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知可得，且，由等差數(shù)列的定義寫出通項公式即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而得到，可得，累加即可證.【詳解】（1）由，又由題意知，，左右同時除以得，所以，則，故是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，可得；（2）令函數(shù)，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，，即，取，則，于是，由（1）知，,，所以.例題4（2025·天津南開·一模）已知公差大于0的等差數(shù)列的前項和為，且是的等比中項．(1)求的通項公式及；(2)記為在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，為數(shù)列的前項和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．【答案】(1)；(2)（i）5；（ii）證明見解析..【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項的性質(zhì)、通項公式求基本量，進(jìn)而得到的通項公式及；（2）（i）根據(jù)已知得，即得，應(yīng)用等差、等比前n項和公式及分組求和得，再由能成立求的最大值；（ii）由（i）得，判斷其單調(diào)性即可得，應(yīng)用基本不等式及放縮有，應(yīng)用錯位相減法求右側(cè)的前n項和，即可證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，即①，，即②，將①代入②得，因為，解得，所以．（2）（i）令，即，解得，所以，即的通項公式為所以．又，所以．由，得，因為，所以的最大值為5．（ii）由（i）知，則，所以．設(shè)①，則②，①②得，所以．因為，所以．綜上，．方法二不等式放縮放縮的基本思路是將通項適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過多角度觀察通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題5（2025·河南·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)記的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知等式變形得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）驗證當(dāng)時，不等式成立；當(dāng)時，推導(dǎo)出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得不等式成立.【詳解】（1）由題設(shè)條件，可得若，則，用反證法，假設(shè)，由題設(shè)條件，顯然，這與已知條件矛盾，所以.因為，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首項、公比均為的等比數(shù)列.所以，則.（2）顯然時，成立，當(dāng)時，，所以，所以，所以，即，所以，所以.綜上，，得證.方法三數(shù)列最值例題6（2025·山東·三模）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使得成立的的最大值；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)45(3)【分析】（1）利用時結(jié)合已知等式得首項，再由代入等式，轉(zhuǎn)化得到是等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項.（2）由求出，再通過與的前項和關(guān)系得到的分段表達(dá)式，分和討論的不等式，求解的最大值.（3）寫出的分段形式，時對通項進(jìn)行裂項相消拆分，再分和計算前項和.【詳解】（1）因為，所以，在中令，得.所以當(dāng)時，由及，得，所以.又，所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列..所以.（2）由（1）知（）.當(dāng)時，，滿足上式，所以，則（）.當(dāng)時，，不滿足上式，所以當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，有，所以，又，所以的最大值為45.（3）設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.當(dāng)時，上式也符合，所以.例題7（2025·福建·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，已知且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）利用即可求解；（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）∵①，∴②，①-②得：，，②中令n＝2，則，∴，為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知：，則，所以所以當(dāng)時，有最大值.方法四參數(shù)求解對于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問題,對于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題8（2025·河南·一模）數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求使成立的最小正整數(shù)的值【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知得，再應(yīng)用作差法及等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)（1）得，應(yīng)用裂項相消法求，根據(jù)不等式能成立求參數(shù)值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列，則，由，得，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以滿足題意的最小正整數(shù).例題9（2025·四川達(dá)州·一模）已知為等差數(shù)列，前項和為，且．(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的首項和公差，進(jìn)而求出.（2）先求出，然后求出并化簡，進(jìn)而求解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為.所以，解得.所以.（2）.所以.因為不等式對任意恒成立，則有對任意恒成立，又，所以.例題10（2025·寧夏·一模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）等式兩邊同時除以可得；（2）（ii）由錯位相減法求和即可；（ii）構(gòu)造數(shù)列，由不等式組求數(shù)列的最值大即可.【詳解】（1）因為，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設(shè)的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.方法五與三角函數(shù)綜合數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)例題11（2025·陜西西安·一模）將函數(shù)的零點按照從小到大的順序排列，得到數(shù)列，且.(1)求；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，并說明在上的單調(diào)性；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）解方程，結(jié)合求解；（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）說明是等差數(shù)列，根據(jù)求和公式求解.【詳解】（1）由，得，所以或，解得或，因為且，所以時，或，解得或當(dāng)時，，此時，而，不合題意，所以.（2）由（1），由，得，因為，所以單調(diào)增區(qū)間為，因為，所以，當(dāng)，即時單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時，由或，得或，又，所以的奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為的等差數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；所以方法六與概率綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題12（2025·四川成都·二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進(jìn)行，只有答完一輪才能進(jìn)入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機(jī)地派出一道通識題或?qū)ＷR題，派出通識題的概率為，派出專識題的概率為.已知某選手答對通識題與專識題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.(1)求該選手在一輪答題中答對題目的概率；(2)記該選手在第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.（2）（i）將第3輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的事件進(jìn)行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互獨(dú)立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出遞推公式，再利用構(gòu)造法求解得證.【詳解】（1）設(shè)事件“一輪答題中系統(tǒng)派出通識題”，事件“該選手在一輪答題中答對”，依題意，，，因此，所以該選手在一輪答題中答對題目的概率為.（2）（i）設(shè)事件“該選手在第輪答對題目”，各輪答題正確與否相互獨(dú)立，由（1）知，，當(dāng)時，挑戰(zhàn)顯然不會終止，即，當(dāng)時，則第1、2輪至少答對一輪，，由概率加法公式得；同理.（ii）設(shè)事件“第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止”，當(dāng)時，第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的情況有兩種：①第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止；②第輪答錯，且第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止，因此第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的事件可表示為，則，而各輪答題正確與否相互獨(dú)立，因此，當(dāng)時，，設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時，，整理得，而，則，解得或，當(dāng)時，因此當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以存在實數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.例題13（2025·四川德陽·模擬預(yù)測）某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超過2點，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到禮券，最多進(jìn)行19輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為，求的期望；(2)若累計得分為的概率為，（初始得分為0分，）.①證明數(shù)列，，，，是等比數(shù)列；②求活動參與者得到禮券的概率.【答案】(1)(2)①證明見解析，②【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完輪游戲時，得分的次數(shù)為，所以，，即可求出的期望.（2）①根據(jù)累計得分為分的概率為，分兩種情況討論，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法求證即可；②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法可求出，再由從而求解即可.【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，設(shè)進(jìn)行完輪游戲時，得分的次數(shù)為，所以，所以，，，，，而，所以隨機(jī)變量的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為：所以.（2）①證明：，即累計得分為分，是第一次擲骰子，向上點數(shù)不超過點，，則，累計得分為分的情況有兩種：（i），即累計得分，又?jǐn)S骰子點數(shù)超過點，其概率為，（ii）累計得分為分，又?jǐn)S骰子點數(shù)沒超過點，得分，其概率為，所以，所以，，，，，所以，，，，是首項為，公比為的等比數(shù)列.②因為數(shù)列，，，，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，各式相加，得，所以，，，，，所以活動參與者得到禮券的概率為：.例題14（2025·江蘇·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B兩種套餐，員工小李第一天午餐時隨機(jī)選擇一種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為.(1)食堂對A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改善后，對員工對于A套餐的滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計了120名員工的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計滿意204060不滿意303060合計5070120根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜，種品類的葷菜，員工小李從這些菜品中選擇3種菜品，記選擇素菜的種數(shù)為X，求的最大值，并求此時n的值；(3)設(shè)員工小李第n天選擇B套餐的概率為，求.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)認(rèn)為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系(2)，或(3)【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出的觀測值，再與臨界值作對比即可判斷；（2）利用古典概率模型、結(jié)合組合計數(shù)問題求出的表達(dá)式，構(gòu)造數(shù)列并判斷單調(diào)性求出最大值；（3）根據(jù)題干信息求出與的關(guān)系，再利用構(gòu)造法求出通項.【詳解】（1）零假設(shè)：認(rèn)為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)計算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即接受，因此認(rèn)為員工對于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系.（2）依題意，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，于是，所以的最大值為，此時或.（3）由員工小李第n天選擇B套餐的概率為，則員工小李第n天選擇A套餐的概率為，因此，而，，又，因此，所以.方法七與導(dǎo)數(shù)綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題15（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足．(1)若，求；(2)若，求的通項公式；(3)記為數(shù)列的前項和，若，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式以及附加條件求出，再結(jié)合遞推公式即可求解.（2）令，可得，結(jié)合二倍角公式可引入新數(shù)列，，求得的值，并說明唯一即可求解.（3）將原不等式轉(zhuǎn)換為，先證明，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，從而即可放縮，再證明，根據(jù)三角函數(shù)的有界性放縮即可得證.【詳解】（1）由題，，且，又，代入，解得，所以，，，故．（2）令，則有，即，又，則，此時不妨令，則，則有，即討論周期性對唯一性的影響：不妨令，則當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，符合題意；此時，同理，唯一，即唯一．即，故．（3）由若，且，則，聯(lián)立解得，原不等式可轉(zhuǎn)化為，先證明：由，，由（2）可推，則，令函數(shù)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，則，故，又因為，所以，證明：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，故，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是對進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，由此即可順利得解.例題16（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.【答案】(1)兩個(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可得到的零點個數(shù)；（2）先利用必要性探路得到，再去證明的充分性；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對進(jìn)行放縮，再放縮求和即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，所以有兩個零點.（2）由，得，下證當(dāng)時，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.（3）證明：由（2）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以且因為當(dāng)時，所以，所以即.例題17（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間(2)(3)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，由此確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合關(guān)系，，得出在上恒成立的必要條件為，再證明時，在恒成立，時不滿足條件，可得結(jié)論；（3）由（2）可建立關(guān)系式，令可得，取累加得證．【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，則，令，則，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以在時取最小值，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間．（2）因為，，所以要使當(dāng)時，，必須滿足，即．下面證明滿足題意：①當(dāng)時，由，．令，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，即；②當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不恒成立．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．（3）由（2）知，當(dāng)，時，，即，所以．令，則，，所以令，則，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三小問解決的關(guān)鍵在于找到不等式與函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系.方法八與解析綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題18（2025·浙江·一模）已知漸近線為的雙曲線過點，過點且斜率為的直線交雙曲線于異于的點，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）雙曲線的方程為代入計算得解；（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標(biāo).求出，計算，代入得解；（3）將利用放縮法得到，利用裂項相消求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入得，故雙曲線的方程為.（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標(biāo).因為，故，所以.（3）因為，故，當(dāng)時成立.故.

例題19（2025·福建·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，為拋物線C上的一個動點（不與坐標(biāo)原點重合），．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，按照如下方式構(gòu)造點，設(shè)直線為拋物線C在點處的切線，過點作的垂線交拋物線C于另一點，記的坐標(biāo)為．（?。┳C明：當(dāng)時，；（ⅱ）設(shè)的面積為，證明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析

（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)及題意即可求解；（2）由題意求出直線，與拋物線聯(lián)立進(jìn)而求出點的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可得其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得與的不等關(guān)系，用累加法求解即可證明；（3）求出點F到直線的距離，求出弦長，進(jìn)而可得的面積，結(jié)合可得，用放縮的方法求即可求解.【詳解】（1）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，所以，所以，解得，所以C的方程為；（2）（?。┰O(shè)，因為，所以點處的切線斜率為，所以直線斜率為，所以直線，與聯(lián)立可得，，可得，即的橫坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時，有，又由，故，所以；（ⅱ）易知直線，F(xiàn)到直線的距離為，，所以，因為，由（1）知，即，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識方可得解.模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點。2.按題型進(jìn)行系統(tǒng)分類與專項訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧。【題型01】數(shù)列不等式的證明（共7題）1．（2025·吉林長春·三模）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．【答案】(1)不是等比數(shù)列，且(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，求出的值，當(dāng)時，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可得出結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的方程，解出的值，可得出數(shù)列的通項公式，放縮可得，結(jié)合裂項相消法可證得所證不等式成立.【詳解】（1）因為，且對任意的，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差得，即，所以，又因為，故數(shù)列不是等比數(shù)列，且該數(shù)列是從第項開始成公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時，，即，綜上所述，.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，且，，，，所以，，，因為、、成等比數(shù)列，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以，故原不等式得證.2．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為．正項等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項與求和公式的關(guān)系，可得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的概念，可得答案；（2）根據(jù)裂項相消求和，可得答案.【詳解】（1）由題意可得，所以因為，所以，即，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.（2）所以3．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，對任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；(3)記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，再利用待定系數(shù)法解得，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求．（2）方法一：由題意得，再根據(jù)累乘法得到，方法二：構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列為常數(shù)列即可求解；（3）由題意得，先證，再累加即可證得．【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當(dāng)且時，，，當(dāng)時，滿足，綜上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．4．（2025·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分析可知，對任意的，且，可得出，變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證得結(jié)論成立；（2）利用（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列是各項均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，分、兩種情況，由結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；（3）由不等式的性質(zhì)得出，利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，可得出，由結(jié)合不等式的傳遞性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，且，可得，由，得，可得，由，得，可得，，以此類推可知，對任意的，且，所以，所以，可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.（2）由（1）可得，所以，故，易知數(shù)列是各項均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，對任意的，，綜上所述，.（3）因為，所以，令①，可得②，①②得，所以，故，故對任意的，.5．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，記的零點為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項；(3)證明：.【答案】(1)1(2)(3)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，確定單調(diào)性即可求解；（2）由通過作差得到，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性，確定數(shù)列單調(diào)性即可求解；（3）令，求導(dǎo)確定單調(diào)性，得到，再通過，分別令和，即可證.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點1，即；（2）由的零點為，得，兩式相減得：，即，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得到，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列中的最小項是；（3）令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，因為，所以,所以，所以，所以在中，令，得當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，，中等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，在中，令，得，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，所以，綜上得證.6．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，對于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)成等比數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，和，依次求出，利用等比數(shù)列定義判斷即可；（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，即可利用累加法求出，從而可得，，，再利用等比數(shù)列定義判斷即可；（3）當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，利用放縮法求出數(shù)列的前項和為，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，成公差為1的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時，成公差為2的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時，成公差為3的等差數(shù)列，則．所以，，從而，故成等比數(shù)列.（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，可得：，，，，，累加得因為，，成公差為的等差數(shù)列，所以，，又因為，，成公差為的等差數(shù)列，所以，所以，得，，成等比數(shù)列．（3）由，由（2）知：當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，故，且對一切正整數(shù)，有，時，，綜上，．7．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項公式及前項和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對任意正整數(shù)，都有．【答案】(1)或(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析【分析】（1）方法1：由及，利用等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求解即可；方法2：先求出，然后利用化簡得，將已知條件代入求解即可.（2）（?。┡c相減得，，利用累乘法得，即可；（ⅱ）由（?。┑茫M(jìn)而求得，累加法結(jié)合即可證明.【詳解】（1）方法1：，，，由或，于是或，所以或．方法2：顯然，則，于是，所以，相減得，即，所以，，又，，解得或.（2）（?。┊?dāng)時，，即，所以，相減整理得，，所以，，…，，累乘得，，也滿足上式，所以．所以．（ⅱ），，顯然．，所以，，…，，累加得，得證．【題型02】不等式放縮（共3題）8．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)利用分和結(jié)合等差數(shù)列定義即可依次求出數(shù)列的首項和通項公式；（2）由錯位相減求和方法結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可求解；（3）方法一：由和放縮公式結(jié)合裂項相消求和法計算求證即可得證；方法二：由數(shù)列的單調(diào)性和放縮公式得到即可計算求證.【詳解】（1）由題令，則，解得，當(dāng)時，，所以，即，因為，且是遞增數(shù)列，所以，所以，即是公差和首項均為2的等差數(shù)列，所以.（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，因為，所以，所以，則，兩式相減得，即.（3）方法一：，所以，①因為，所以，②①+②得，即，所以.方法二：因為是遞增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.所以，所以，所以.9．（2024·上海靜安·一模）如果函數(shù)滿足以下兩個條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對任意的，有；②對于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和型函數(shù)的定義即可證明；（2）取值，則，再結(jié)合型函數(shù)的定義即可證明；（3）放縮得，再不斷放縮有，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）記；對任意的，有；對于任意的，若，則，即.故函數(shù)是型函數(shù).（2）設(shè)，且，則.因此，可知在上為增函數(shù).（3）因為，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用型函數(shù)的性質(zhì)放縮得，最后再不斷放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可.10．（2025·貴州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；(3)證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)行計算，即可求得，的值；（2）由，分別化簡求得，，得到，得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可求解；（3）由（1）知且，求得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得證.【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因為，所以，即，又因為，可得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為．（3）解：由（1）知且，可得，所以，又由，因為顯然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以，因此.【題型03】數(shù)列最值（共4題）11．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和；(3)若，求使取得最大值時的的值.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差可得，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）求得