第二十九章直線與圓的位置關(guān)系專題1與切線有關(guān)的輔助線1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)23456781．如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點(diǎn)C是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．返回【證明】如圖，連接AB.∵AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，∴AB為直徑，AD＝4，∴AB2＝82＋42＝80.∵CD＝2，∴AC2＝22＋42＝20，BC＝2＋8＝10.∴BC2＝102＝100.∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°.∴AB⊥AC.∵AB為直徑，∴AC是⊙O的切線．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，交AC于點(diǎn)F.(1)求證：EF是⊙O的切線；【證明】連接OE，BD，如圖．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°.∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°.∴∠DBE＝∠CBD－∠ABC＝90°－45°＝45°.∴∠DOE＝2∠DBE＝2×45°＝90°.∵EF∥CD，∴∠FEO＝∠DOE＝90°，即OE⊥EF.∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．返回3．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，垂足為E，BE＝6，CD＝4，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接CF，使∠FCD＝2∠B.(1)求證：CF是⊙O的切線；【證明】連接OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B.∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∴∠COE＋∠OCE＝90°.∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE，∴∠FCD＋∠OCE＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF.∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線．(2)求⊙O的半徑．返回4．如圖，△ABC的外角∠BAM的平分線與它的外接圓相交于點(diǎn)E，連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CM于點(diǎn)D.求證：(1)BE＝CE；【證明】∵四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，∴易得∠EAM＝∠EBC.∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.(2)EF為⊙O的切線．返回【證明】如圖，連接EO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H，連接OB，OC.∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線EO垂直平分BC.∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF.又∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線．5.如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧AD上一點(diǎn)，且BE平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.(1)求證：GF是⊙O的切線；【證明】如圖，連接OE，∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2.∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF.∵BF⊥GF，∴OE⊥GF.∵OE是⊙O的半徑，∴GF是⊙O的切線．(2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O的半徑和EF的長(zhǎng)．返回6．如圖，四邊形ABCD是菱形，以AB為直徑作⊙O，交CB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在CD上，且CE＝CF，連接AE，AC，AC交⊙O于點(diǎn)P.(1)求證：AE是⊙O的切線；【證明】如圖，連接AF.∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACF＝∠ACE.又∵CF＝CE，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE(SAS)．∴∠AFC＝∠AEC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°.∴∠AFC＝90°.∴∠AEC＝90°.易知AB∥DC，∴∠BAE＋∠AEC＝180°.∴∠BAE＝90°.∴OA⊥AE.∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線．返回7．如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D.求證：AC是⊙O的切線．【證明】連接OD，OA，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO平分∠BAC.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB.∵OF⊥AC，∴OF＝OD.∴OF是⊙O的半徑．∴AC是⊙O的切線．返回8．如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求證：AB為⊙O的切線；【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E.∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴AC⊥BC.∵∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD，∴∠OAD＝∠ABD.易