試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁靜安區(qū)2025學(xué)年第一學(xué)期期末課程實(shí)施調(diào)研九年級數(shù)學(xué)試卷（滿分150分，用卷時間100分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題；2．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．下列各選項(xiàng)中的兩個圖形一定相似的是（

）A．兩個直角三角形 B．兩個矩形C．兩個等腰梯形 D．兩個正五邊形2．如果將拋物線向下平移若干個單位，那么下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)不變 B．開口方向不變C．對稱軸不變 D．與軸交點(diǎn)個數(shù)不變3．已知在中，點(diǎn)、分別在邊、上，那么下列條件中能判定與相似的是（

）A． B． C． D．4．已知一個三角形三邊之比為，與它相似的另一個三角形最短邊的長為，那么另一個三角形的周長為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在拋物線（其中，為常數(shù)）上，那么的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．如圖，已知在矩形中，，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，且點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，的半徑的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．已知，則，則．8．二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．9．已知一個二次函數(shù)的圖像最低點(diǎn)坐標(biāo)為，那么該二次函數(shù)的解析式可以是．（寫出一個即可）10．二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：x…－3－20135…y…71－8－9－57…當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值．11．如圖，已知，它們依次交直線于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，那么線段的長是．12．如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，那么．13．如圖，已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，分別在邊、上，線段經(jīng)過點(diǎn)，且，設(shè)，，那么用向量、表示向量為．14．傳送帶和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物體從地面送到離地面2.5米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米．15．已知點(diǎn)坐標(biāo)為，如果半徑為的與軸無公共點(diǎn)，與軸有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是．16．如圖，已知平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，射線交于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，那么．（結(jié)果化為最簡整數(shù)比）17．如圖，中，，，是中線，那么的值是．18．如圖，等邊中，點(diǎn)、分別在邊、上，，交于點(diǎn)于點(diǎn)．如果，且的長為，那么等邊的邊長為．（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．如圖，在中，，通過尺規(guī)作圖，小明作出了線段、射線，依據(jù)作圖痕跡：(1)判斷下列結(jié)論正確的是_________．①；②；③．請?zhí)顚懢幪枺?2)如果，求的長．21．如圖，以為圓心的兩個同心圓中，不經(jīng)過圓心的線段與兩圓相交，自左向右的交點(diǎn)依次為點(diǎn)、、、．(1)求證：；(2)連接、，如果，，，求小圓半徑的值．22．問題提出

氣象部門為研究雷暴生成與發(fā)展的規(guī)律，優(yōu)化雷電預(yù)警機(jī)制，某雷雨天，在地面上點(diǎn)處，對雷電的發(fā)生實(shí)施監(jiān)測（檢測儀高度忽略不計(jì)，閃電光傳播時間忽略不計(jì)）：閃電發(fā)生瞬間，首先測得閃電始發(fā)點(diǎn)處的仰角為，8秒鐘后接收到該閃電傳出的雷聲；接著又在另一閃電的始發(fā)點(diǎn)處，測得仰角為，15秒鐘后接收到該閃電的雷聲，已知點(diǎn)、、在同一個垂直于地面的平面內(nèi)．你能依據(jù)所提供數(shù)據(jù)，求出、兩個閃電之間的距離嗎？（雷聲在空氣中傳播的速度為340米/秒）分析解決(1)建立模型：小海畫出示意圖，表示地面（如圖所示），他將雷聲傳播速度米/秒記作，得到，請根據(jù)他的思路，求出之間的距離是多少米．(2)反思質(zhì)疑：小華提出，除了小海所解的這種情形外，依據(jù)題意，點(diǎn)、的位置是否還存在其他情況呢？若存在，請?jiān)趥溆脠D中畫出草圖，并求出之間的距離是多少米；若不存在，請說明理由．23．探究活動：“奇異四邊形”的特征值．如果一個四邊形的四條邊和兩條對角線這6條線段中只有兩種不同的長度，我們把這樣的四邊形叫做“奇異四邊形”，其中較短線段與較長線段長度的比值稱為特征值，記作．例如，如圖所示，四邊形中，，，我們就可將它稱為奇異四邊形，它的特征值為與的比值．請解答：(1)正方形是奇異四邊形嗎？________；如果是，它的特征值為_______；如果不是，請說明理由．(2)請構(gòu)造一個符合奇異四邊形特征的梯形，畫出這個梯形的草圖，寫出在四條邊和兩條對角線中相等的線段，并求出它的特征值．24．已知平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，直線．(1)求證：拋物線的頂點(diǎn)在直線上．(2)如果拋物線與直線除點(diǎn)外，同時還經(jīng)過另一點(diǎn)，已知點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．①試說明：；②當(dāng)為等邊三角形時，求的值及的正弦值．25．在中，，已知射線在內(nèi)部，射線與射線在邊的兩側(cè)，，點(diǎn)、分別在射線、上，．(1)如圖，連接、，求證：．(2)如果平分，線段與邊的公共點(diǎn)為，，，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果，垂足為點(diǎn)，且，，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】本題考查了相似圖形，根據(jù)相似圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、兩個直角三角形不一定相似，該選項(xiàng)不符合題意；、兩個矩形不一定相似，該選項(xiàng)不符合題意；、兩個等腰梯形不一定相似，該選項(xiàng)不符合題意；、兩個正五邊形所有內(nèi)角均為，對應(yīng)角相等；所有邊成比例，故一定相似，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律解答即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為，向下平移個單位，則平移前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，平移后拋物線的解析式為，∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，故選項(xiàng)錯誤；∵的值不變，∴拋物線開口方向不變，故選項(xiàng)正確；∵平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后拋物線的對稱軸為直線，與平移前的相同，故選項(xiàng)正確；∵當(dāng)時，對應(yīng)的值只有個，∴平移前后拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)都是，故選項(xiàng)正確；綜上，結(jié)論中錯誤的是，故選：．3．C【分析】本題考查了三角形相似的判定，掌握各判定定理的內(nèi)容是關(guān)鍵；選項(xiàng)C中可轉(zhuǎn)化為，且為公共角，滿足三角形相似的判定條件，因此；其他選項(xiàng)均因?qū)?yīng)邊或夾角不匹配而不能判定相似.【詳解】解：∵點(diǎn)、分別在邊、上，∴（公共角）．對于選項(xiàng)C：∵，即，且，∴．對于選項(xiàng)A：，但與的對應(yīng)關(guān)系不明確，且夾角不一定是公共角，故不能判定相似．對于選項(xiàng)B：，類似地，對應(yīng)邊和夾角不匹配，不能判定相似．對于選項(xiàng)D：，但的夾角為，的夾角為，夾角不相等，故不能判定相似．因此，能判定相似的是C．故選：C．4．B【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得新三角形三邊比也為，進(jìn)而根據(jù)新三角形最短邊為新三角形的其他兩邊長，再相加即可求解，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵相似三角形對應(yīng)邊成比例，且原三角形三邊比為，∴新三角形三邊比也為，設(shè)新三角形三邊分別為、、，∵新三角形的最短邊，∴，∴新三角形的另兩邊長分別為，∴新三角形的周長為，故選：B．5．B【分析】本題考查了二次函數(shù)函數(shù)值大小的比較；通過計(jì)算拋物線在各點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小關(guān)系．【詳解】解：∵點(diǎn)在拋物線上，∴，，，∵m為常數(shù)，∴．故選：B．6．C【分析】此題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，兩圓的位置關(guān)系，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握兩圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．首先求出的半徑的取值范圍為，再根據(jù)兩圓的圓心距是10，分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，，∴，∵點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，∴的半徑的取值范圍為，當(dāng)分別以A、C為圓心的兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑之和，是，即，∴，解得，當(dāng)分別以A、C為圓心的兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑之差，是，即，∴，∴，綜上可知，的半徑的取值范圍是或，故選：C．7．【分析】直接用同一未知數(shù)表示出、的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例式的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵．8．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，把代入函數(shù)解析式求出的值即可求解，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，∴二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．9．（答案不唯一）【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式；根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合最低點(diǎn)條件，確定解析式形式，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖像最低點(diǎn)坐標(biāo)為，可知頂點(diǎn)為，且拋物線開口向上，即．設(shè)二次函數(shù)解析式為，其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入，得．取，得．故答案為．10．-8【分析】根據(jù)拋物線的對稱性根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可求出答案．【詳解】∵x=﹣3和x=5時，y=7，∴對稱軸，∴x=2的點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=1對稱的點(diǎn)為x=0，∵x=0時，y=﹣8，∴x=2時，y=﹣8，故答案為：﹣8．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要求掌握二次函數(shù)的對稱性，會利用表格中的數(shù)據(jù)規(guī)律找到對稱點(diǎn)，確定對稱軸，再利用對稱軸求得對稱點(diǎn)．11．【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理直接解答即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．12．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求出，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，即，∴或（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，∴．故答案為：．13．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，重心的性質(zhì)等知識，求出，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，連接并延長交于點(diǎn)，∵點(diǎn)是的重心，∴∵點(diǎn)，分別在邊、上，線段經(jīng)過點(diǎn)，且，∴∴∴，∴，∴，故答案為：14．6.5【分析】本題考查了勾股定理、坡度問題；根據(jù)坡度定義，垂直高度與水平距離的比為1:2.4，已知垂直高度為2.5米，可求水平距離，再利用勾股定理求斜坡長度．【詳解】解：由坡度，如圖，垂直高度米，則水平距離滿足，即，解得（米）．斜坡（米）．故答案為：6.5．15．【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系；根據(jù)圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系列不等式求解．【詳解】解：圓心到x軸的距離為，由于圓與x軸無公共點(diǎn)，故圓心到x軸的距離大于半徑，即；圓心到y(tǒng)軸的距離為1，由于圓與y軸有公共點(diǎn)，故圓心到y(tǒng)軸的距離小于或等于半徑，即；因此，r的取值范圍是．故答案為：．16．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴∴∵，∴∴∴，，∴，∴；故答案為：．17．##0.8【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角函數(shù)等知識．作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，由三線合一得，由勾股定理得．證明可求出，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，∵，，∴．∴．∵是中線，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故答案為：．18．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，則．，求出，得到，，．得到，證明，得到，得到，設(shè)，則，再根據(jù)等積法列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵為等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．，∴，∴又∵，∴，∴，∴，∵，且的長為，∴，∴．∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴解得（不合題意，舍去）∴等邊的邊長為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵；由特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運(yùn)算即可求解．【詳解】解：原式．20．(1)①③(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法即可判定①正確；無法判定②正確；證明，得出，即可判定③正確；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：①根據(jù)作圖可得：，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確；②∵E點(diǎn)不一定是的中點(diǎn)，∴不一定垂直平分，∴不一定等于，故②錯誤；③根據(jù)作圖可得平分，∴，∵，，∴，∴，∴；綜上，正確的有①③；（2）解：∵，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，解得：，∴，，根據(jù)解析（1）可得：，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，尺規(guī)作垂線和角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．21．(1)證明見解析(2)【分析】（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂徑定理得，，進(jìn)而即可求證；（）連接、，可得，，即得，設(shè)，則，，利用勾股定理求出的值進(jìn)而即可求解；本題考查了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，，∴，即；（2）解：如圖，連接、，∵，∴，∵，，∴，，∴，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得，∴，∴，即小圓半徑的值為．22．(1)米．(2)存在，圖見解析，米．【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）證明，利用勾股定理即可求出答案；（2）根據(jù)題意可畫出圖形，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，，再利用勾股定理即可求出之間的距離．【詳解】（1）解：由題意可知，，∴，在中，∴，∵雷聲傳播速度米/秒記作，∴（米），即之間的距離是米．（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，，∴，，∴，∴，∵雷聲傳播速度米/秒記作，∴（米），即之間的距離是米．23．(1)是，(2)作圖見詳解，【分析】本題考查了奇異四邊形的理解與應(yīng)用，正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)題意畫出正方形，得出，，從而求得特征值；（2）根據(jù)題意可畫出梯形，其中，，設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而證得，利用相似三角形的性質(zhì)設(shè)，，列出線段比例方程求解x的值，此時x的值即為特征值．【詳解】（1）解：如圖，在正方形中，，，∴符合題中的奇異四邊形定義，∴特征值，故答案為：是，．（2）解：如圖所示，梯形即為所求，其中，，，設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴．24．(1)證明見解析(2)①證明見解析；②，【分析】（）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而代入一次函數(shù)解析式即可求證；（）①求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，連接，可得，即得，進(jìn)而即可求證；②由點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而由等邊三角形