試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁巴中市普通高中2023級(jí)“一診”考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．若是夾角的單位向量，，則（）A． B．2 C． D．4．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例，則（）A．4 B．5 C．6 D．75．兩直線和分別與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，則直線恒過的點(diǎn)是（）A． B． C． D．6．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)之和，成等差數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．37．已知正四面體，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．若定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（）A．-1 B．0 C．1 D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．若，則關(guān)于事件的關(guān)系正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與不互斥C．事件與不相互獨(dú)立 D．事件與相互獨(dú)立10．在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，將，分別沿，折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則（）A．B．三棱錐的體積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知雙曲線的兩條漸近線分別為為雙曲線上一點(diǎn)，則（）A．越大，則雙曲線的離心率越大B．過點(diǎn)與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線只有一條C．點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為定值D．過點(diǎn)作雙曲線的切線交漸近線于兩點(diǎn)，則為的中點(diǎn)三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)12．一個(gè)火車站有8股道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，每?jī)闪谢疖嚥荒芡Ｔ谙噜徆傻?，則不同的停放方法共有種.13．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則的最小值是.14．若不等式恒成立，則的取值范圍.四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若，為線段上一點(diǎn)，且，求的值.16．有6個(gè)紅色小球和4個(gè)黑色小球(除顏色不同外，其余都相同)，將其中2個(gè)紅色小球和3個(gè)黑色小球放入一個(gè)不透明的箱子中，剩余的4個(gè)紅色小球和1個(gè)黑色小球放在箱外.現(xiàn)從箱子中隨機(jī)取出1個(gè)小球，若取出紅色小球，則把它放回箱子中；若取出黑色小球，則該黑色小球不再放回，并將箱子外1個(gè)紅色小球放入箱中.按此操作若干次，直到將箱中的黑色小球全部置換為紅色小球?yàn)橹?(1)求在操作3次后箱中黑色小球剩余0個(gè)的概率；(2)記在操作3次后箱中黑色小球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)在第1次取到紅色小球的條件下，求再操作4次恰好完成置換的概率.17．如圖①所示將邊長(zhǎng)為的正方形，沿翻折如圖②所示，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，在折疊過程中.二面角的范圍為.(1)求證:四邊形EFGH為矩形；(2)求點(diǎn)到平面距離的最大值.18．函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值；(3)設(shè)，求證:.19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù).(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)、為軌跡上不同的兩點(diǎn)，①若直線斜率存在且過點(diǎn)，，直線分別與直線，交于點(diǎn)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.②若，求的最大值與最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】解不等式得集合，并將集合使用列舉法表示，再使用交集的運(yùn)算即可求.【詳解】解，得，則有集合，易得集合，則.故選：B.2．D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以.所以.故選：D.3．C【分析】結(jié)合向量的模及數(shù)量積的公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菉A角的單位向量，所以，.故答案為：C4．A【分析】由題意將1到10分別列出并分析是否互素（最大公約數(shù)為1）即可.【詳解】由題意得表示不超過10且與10互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，易得1與10互素；2與10最大公約數(shù)是2，不互素，3與10互素；4與10最大公約數(shù)是2，不互素；5與10最大公約數(shù)是5，不互素；6與10最大公約數(shù)是2，不互素；7與10互素；8與10最大公約數(shù)是2，不互素；9與10互素；10與10最大公約數(shù)是10，不互素.故與10互素的有1，3，7，9，共4個(gè)，即，故選：A.5．D【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，求出的坐標(biāo)，然后求出直線的方程，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮芍本€和分別與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，所以分別聯(lián)立直線與拋物線為：，化簡(jiǎn)得和.解得和，所以.所以直線的斜率為，所以直線的方程為.化簡(jiǎn)得，所以直線恒過的點(diǎn)是.故選：D.6．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)，所以.那么，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以有，化簡(jiǎn)得，由于，所以解得，又，所以，所以.故選：C.7．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為2，設(shè)，通過即可求點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示和，進(jìn)而可求，即異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作軸與垂直，過作軸垂直于平面，建立空間直角坐標(biāo)系如下：不妨設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為2，則，設(shè)點(diǎn)，則有，解得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則有，即，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則有，即，則，則，故選：A.8．B【分析】本題可根據(jù)為奇函數(shù)、為偶函數(shù)得出函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，進(jìn)而推出函數(shù)的周期，再結(jié)合已知條件求出一個(gè)周期內(nèi)的值，最后根據(jù)周期性計(jì)算.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，則，那么，所以，即，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，那么，所以，即，因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由，令

得，即,令，得，又，所以，令，則，即，令得，令得，由和可得，所以函數(shù)的周期為8，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，由，令，可得，由，令，可得，由，令，可得，所以，由，令，可得，所以，由，令，可得，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為8，且，所以又因?yàn)榈闹芷跒?，所以，故數(shù)列是以4為周期的數(shù)列,所以，因?yàn)?則.故選:B.9．BD【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以事件與不互斥，A錯(cuò)誤B正確；因?yàn)椋?所以，又，所以，所以事件與相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤D正確.故選：BD.10．ACD【分析】先根據(jù)折疊前后的幾何關(guān)系證出平面，利用等體積法結(jié)合三棱錐體積公式計(jì)算體積；再將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，根據(jù)外接球的性質(zhì)計(jì)算表面積；利用等體積法，先計(jì)算的面積，再用體積公式計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，在正方形中，，，折疊后，，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故選項(xiàng)A正確，由選項(xiàng)A，知平面，所以為三棱錐的高，已知正方形邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，則，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由于，所以三棱錐的外接球就是以為棱的長(zhǎng)方體的外接球,所以，則，因此外接球的表面積，故選項(xiàng)C正確.設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為,由選項(xiàng)B可知，在中，根據(jù)余弦定理，則，所以，因此，即，解得，故選項(xiàng)D正確.故答案選:ACD11．ACD【分析】本題A主要考查雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系；B考查過雙曲線上的一點(diǎn)的直線與漸近線的關(guān)系；C利用點(diǎn)到直線的距離求解即可；D根據(jù)直線與雙曲線聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，利用中點(diǎn)坐標(biāo)驗(yàn)證即可。【詳解】A,因?yàn)殡p曲線的離心率公式：,所以越大，則雙曲線的離心率越大，故A正確；B，過點(diǎn)與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線應(yīng)該有三條，一條是過點(diǎn)的切線，另兩條是與漸近線平行的直線，故B錯(cuò)誤；C，設(shè)為雙曲線上一點(diǎn),代入方程得,去分母得，又因?yàn)闈u近線為,所以點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是,所以距離之積,顯然是定值，故C正確；D，設(shè),所以過點(diǎn)的切線方程是,聯(lián)立切線與漸近線方程可得交點(diǎn),所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)=,故D正確;故選：ACD12．120【分析】利用插空法進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】總共有8股股道，要停放4列火車，那么剩下的空股道有股.這4股空股道排好后，會(huì)形成個(gè)可以插入火車的“空隙”（包括兩端）.首先，從5個(gè)空隙中選4個(gè)，有種選法，然后，將4列不同的火車在這4個(gè)位置上進(jìn)行全排列，有種排法.總的方法數(shù)是選位置的方法數(shù)乘以排列的方法數(shù)，即：種.故答案為：120.13．9【分析】由題意得直線過圓心，可得，再使用1的代換，即可求得的最小值.【詳解】易得圓心，半徑，由題意得直線過圓心，則有，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值是9，故答案為：9.14．【分析】將原不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，得到在R上單調(diào)遞增，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.【詳解】左右兩邊同時(shí)加，并將移項(xiàng)得，整理得，設(shè)，，故在R上單調(diào)遞增，則原不等式可化為，所以，整理得，令，，設(shè)，，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，對(duì)方程，，故存在實(shí)數(shù)使成立，所以，即.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理先求出，再由正弦定理計(jì)算出的值即可；（2）由題意可得到的距離等于到的距離，則有為的角平分線，此時(shí)，以此即可求得的值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，所以，又由正弦定理得

，則；（2）在中，為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)到，的距離分別為.則，所以，則為的角平分線，所以，即，解得，故的值為.16．(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）操作3次后箱中黑色小球剩余0個(gè)意味著三次均摸到黑球，據(jù)此即可計(jì)算求解；（2）求出的所有取值及其相應(yīng)概率、結(jié)合均值公式即可1求解；（3）若第一次摸到紅球，再操作4次取走全部黑球，那么說明后面4次操作中摸到3次黑球1次紅球，與（2）類似，討論紅球是在第幾次摸到，結(jié)合條件概率公式即可.【詳解】（1）設(shè)操作3次后箱中黑色小球剩余0個(gè)的概率為，由題意知.（2）由題意可知，的所有取值為0，1，2，3則，，，，所以的分布列為:0123所以.（3）記事件為1次取到紅色小球，事件為4次恰好完成置換，由題意得，則第1次取到取到紅色小球，則再操作4次，須將箱中黑色小球全部置換為紅色小球，①若第二次也取出紅色小球，則第三次、第四次、第五次均須取出黑色小球，其概率為，②若第二次取出黑色小球，則第三次取出紅色小球，第四次和第五次均須取出黑色小球，其概率為，③若第二次取出黑色小球，則第三次取出黑色小球，第四次取出紅色小球，第五次取出黑色小球，其概率為，綜上所述，，所以，即在第1次取到紅色小球的條件下，再操作4次恰好完成置換的概率為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件先證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)圖1邊之間的關(guān)系結(jié)合翻折，可得平面，則有，即可證四邊形為矩形.（2）為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)檩S，軸，作垂直于平面且垂足點(diǎn)的軸，設(shè)二面角為，則可以表示，進(jìn)而可求的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式，結(jié)合增減性，即可求得點(diǎn)到平面距離的最大值.【詳解】（1）因?yàn)樵趫D②中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，即且，則四邊形為平行四邊形，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以在圖①中有，折疊后在圖②中且面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，則，綜上可知四邊形為矩形.（2）因?yàn)?，則以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)檩S，軸，作垂直于平面且垂足點(diǎn)的軸，設(shè)二面角為，由題意得，，，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面距離即，(因?yàn)?令，因?yàn)?，則令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，綜上可知，點(diǎn)到平面距離的最大值為.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后分別求出，即可得到切線的切點(diǎn)和斜率，并使用點(diǎn)斜式求得切線方程；（2）令求出在上的增減性后即可求得最大值；（3）設(shè)，則不等式為，設(shè)，多次求導(dǎo)后確定在內(nèi)有零點(diǎn)，從而確定的最小值為0，即可得證.【詳解】（1）由題意得，，，故切線方程