2025年大學(xué)數(shù)學(xué)（線性代數(shù)）下學(xué)期期末測(cè)試卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例B.\(A\)中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合D.\(A\)中至少有一行（列）的元素全為02.已知向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)，則向量組的秩為（）A.0B.1C.2D.33.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則\(\vertA^\vert\)等于（）A.\(\vertA\vert\)B.\(\vertA\vert^{n-1}\)C.\(\vertA\vert^n\)D.\(n\vertA\vert\)4.若\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)具有的特征值為（）A.0或1B.0C.1D.任意實(shí)數(shù)5.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(Ax=0\)僅有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)僅有零解6.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.\(\vertA\vert=\pm1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的列向量組是單位正交向量組D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)9.已知向量\(\alpha=(1,-1,1)^T\)，則與\(\alpha\)正交的單位向量為（）A.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T\)B.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^T\)C.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T\)D.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)^T\)10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，若\(B=P^{-1}AP\)，則（）A.\(A\)與\(B\)相似B.\(A\)與\(B\)合同C.\(A\)與\(B\)等價(jià)D.以上都不對(duì)二、多項(xiàng)選擇題（總共5題，每題4分，每題給出的五個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)，少選、選錯(cuò)均不得分）(1)設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列命題正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的特征值都不為0B.若\(A\)不可逆，則\(A\)的特征值都為0C.\(A\)的特征向量非零D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值E.\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)(2)已知向量組\(\alpha_1=(1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,0,1)^T\)，\(\alpha_3=(0,1,1)^T\)，則（）A.向量組線性無關(guān)B.向量組線性相關(guān)C.向量組的秩為3D.向量組可由單位向量組線性表示E.向量組中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)(3)設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^2=E\)，則（）A.\(A\)可逆B.\(A\)的特征值為\(\pm1\)C.\(A\)的秩為\(n\)D.\(A\)的行列式為\(\pm1\)E.\(A\)是對(duì)稱矩陣(4)關(guān)于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列說法正確的是（）A.正定二次型B.負(fù)定二次型C.其矩陣的秩為3D.其矩陣的特征值都大于0E.其標(biāo)準(zhǔn)形為\(y_1^2+y_2^2+y_3^2\)(5)設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(r(A)+r(B)\leqn\)C.若\(A\)可逆，則\(B=0\)D.若\(A\)不可逆，則\(B=0\)E.\(A\)的列向量組線性相關(guān)或\(B\)的行向量組線性相關(guān)三、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)______。2.向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)的一個(gè)極大線性無關(guān)組為______。3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=3\)，則\(\vert2A\vert=\)______。4.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3\)正定，則\(a\)的取值范圍是______。5.已知\(A\)是\(3\)階方陣，其特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(\vertA\vert=\)______。四、簡(jiǎn)答題（總共2題，每題10分）1.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩，并求\(A\)的一個(gè)極大線性無關(guān)組。2.求向量組\(\alpha_1=(1,1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,-1,1,-1)^T\)，\(\alpha_3=(1,2,1,2)^T\)，\(\alpha_4=(1,-2,1,-2)^T\)的秩，并判斷向量組的線性相關(guān)性。五、證明題（總共1題，每題10分）設(shè)\(A\)是\(n\)階正交矩陣，證明\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也是正交矩陣。答案：一、選擇題1.C2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.A9.D10.A二、多項(xiàng)選擇題(1)ACDE(2)ADE(3)ABD(4)CD(5)BCE三、填空題1.\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)2.\(\alpha_1,\alpha_2\)（答案不唯一）3.\(2^n\times3\)4.\(-\frac{2}{\sqrt{5}}\lta\lt\frac{2}{\sqrt{5}}\)5.6四、簡(jiǎn)答題1.對(duì)矩陣\(A\)進(jìn)行初等行變換：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\3&6&9\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3-3R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(r(A)=1\)。極大線性無關(guān)組為\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)（答案不唯一）。2.構(gòu)造矩陣\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&2&-2\\1&1&1&2\\1&-1&2&-2\end{pmatrix}\)對(duì)\(A\)進(jìn)行初等行變換：\(\xrightarrow{R_2-R_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\1&…&…&…\\1&…&…&…\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3-R_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\0&0&0&1\\0&-2&-1&-3\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_4-R_2}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(r(A)=3\)，向量組線性相關(guān)。五、證明題因?yàn)閈(A\)是正交矩陣，所以\(A^TA=E\)，