第一章三角形的證明及其應用1三角形內角和定理第4課時

多邊形的外角和素養(yǎng)目標1.探索多邊形的外角和，進一步發(fā)展學生簡單推理的意識及能力．2.會用多邊形的內角和公式解決相關問題．重點：多邊形外角和定理的探索和應用．難點：靈活運用公式解決簡單的實際問題．導入新課如圖,小剛在公園沿著五邊形步道按逆時針方向慢跑.小剛每次從五邊形步道的一條邊轉到下一條邊時,跑步方向改變的角是哪些角?這節(jié)課我們就來探究與這個問題有關的知識.新知探究活動一:明確多邊形外角及外角和的定義問題:如圖,小剛在公園沿著五邊形步道按逆時針方向慢跑.(1)小剛每次從五邊形步道的一條邊轉到下一條邊時,跑步方向改變的角是哪些角?在圖上標出這些角.如圖,跑步方向改變的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度?說說你的理由,并與同伴進行交流.12345新知探究(2)∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=180°×5=900°.∵五邊形的內角和為(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.∴跑步方向改變的角的總和是360°.新知探究如圖,延長邊CB至點D.像∠ABD這樣,在多邊形的頂點處,多邊形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角,就是多邊形的外角.每個頂點只取一個外角,這個外角與相鄰的內角是什么關系?互為鄰補角,和為180°.新知探究活動:請在你自己畫的四邊形、五邊形上,每個頂點畫出一個外角并進行標注.同桌互相檢查:是否每個頂點只畫了一個外角?外角與內角是否相鄰?新知探究四邊形、五邊形各有幾個外角?n邊形有幾個外角?四邊形有4個外角,五邊形有5個外角,n邊形有n個外角.你能否給外角下一個定義?多邊形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線所組成的角，叫作這個多邊形的外角.如圖，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分別是五邊形ABCDE的外角.你知道n邊形有幾個外角嗎?如圖，∠6也是五邊形ABCDE的外角,所以n邊形有2n個外角.6在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫作這個多邊形的外角和.如圖，五邊形ABCDE的外角和為∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.新知探究活動二:探究三角形、四邊形的外角和（操作猜想）問題:三角形和四邊形的外角和分別是多少?活動:以小組為單位探究三角形、四邊形的外角和.選擇度量法和剪拼法.三角形、四邊形的外角和均為360°.新知探究三角形、四邊形的外角和均為360°,那么五邊形、六邊形、八邊形呢?會不會所有多邊形的外角和都是360°?活動:以小組為單位進行探究,分析五邊形、六邊形、八邊形的外角和.五邊形、六邊形、八邊形的外角和也都是360°.新知探究活動三:證明三角形、四邊形的外角和（邏輯證明）問題:你能證明三角形、四邊形的外角和分別是360°嗎?三角形的內角和是180°,且每個外角與內角互為鄰補角(和為180°),能不能用這兩個知識證明三角形的外角和是360°?新知探究如圖,設△ABC的三個內角∠A,∠B,∠C的對應外角分別為∠1,∠2,∠3,則∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C.求和得∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠A+∠B+∠C)=540°-180°=360°.新知探究你能否模仿三角形的外角和證明過程,證明四邊形的外角和?如圖,設四邊形ABCD的四個內角∠A,∠B,∠C,∠D的對應外角分別為∠1,∠2,∠3,∠4,則∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C,∠4=180°-∠D.求和得∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-(∠A+∠B+∠C+∠D)=720°-360°=360°.新知探究五邊形、六邊形、八邊形的外角和,你能證明嗎?這種證明方法的關鍵是什么?將外角和轉化為n個鄰補角的總和減去內角和的形式,用已知的內角和公式推導未知的外角和,這是轉化思想的應用.新知探究活動四:推廣到n邊形的外角和，總結核心結論問題:n邊形的外角和是多少?三角形、四邊形、五邊形、六邊形、八邊形的外角和都是360°,那么n邊形(n≥3)的外角和呢?是不是也是360°?請大家類比前面的證明方法,嘗試推導.猜想：n邊形的外角和都是360°.理由：∵n邊形的每個內角與它相鄰的外角是互補的角，它們的和是180°，∴n邊形的內角和+n邊形的外角和=n·180°，又∵n邊形的內角和為(n-2)×180°，∴n邊形的外角和為n·180°-(n-2)·180°=360°．定理多邊形的外角和等于360°.注意：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關系.新知探究問題:n邊形的外角和是多少?多邊形的外角和定理:多邊形的外角和等于360°.無論n是3,4,5,還是100,n邊形的外角和恒為360°,這與多邊形的內角和(隨n的增大而增大)完全不同.例如,九邊形的外角和是360°,十邊形的外角和也是360°.新知探究辨析以下說法或結論:①多邊形的外角和是所有外角的和.()正解:每個頂點只取一個外角,不是所有外角.②多邊形的邊數(shù)越多,外角和越大.()正解:多邊形的外角和恒為360°,與邊數(shù)無關.××例1一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形?解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根據(jù)題意，得(n-2)·180°=3×360°.解得n=8.所以，這個多邊形是八邊形.新知探究

活動五:運用新知，例題講解研究多邊形的內角和與外角和的過程中，采用了哪些方法?

思考·交流轉化方法，即將一個多邊形轉化為多個三角形，由三角形的內角和求多邊形的內角和.多邊形的外角與和它相鄰的內角構成平角，由平角和與內角和求出外角和.跟蹤練習

正六邊形一個外角的度數(shù)為（

B

）A.30°B.60°C.120°D.150°[變式]若正n邊形的一個外角的度數(shù)是36°，則n＝

?.B10

CA.4

B.5

C.6

D.7

課堂練習2.教材例題變式

[2025遂寧中考]已知一個凸多邊形的內角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為(

)AA.10

B.11

C.12

D.13

3.教材習題變式

若一個多邊形的邊數(shù)增加1，則這個多邊形的內角和與外角和增加的度數(shù)之和是(

)A

DA.56米

B.64米

C.80米

D.72米

5.

已知一個多邊形的每個內角都比相鄰的外角大120°，求這

個多邊形的邊數(shù).解：由題意，知這個多邊形的每個內角均相等.設這個多邊形的每個外角的度數(shù)為x，則每個內角的度數(shù)為x＋120°.根據(jù)題意，得x＋x＋120°＝180