第一章三角形的證明及其應(yīng)用1三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)三角形內(nèi)角和定理的推論學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解掌握三角形的外角的概念，掌握外角的兩個(gè)定理．2．綜合運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及外角的兩個(gè)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．▲重點(diǎn)三角形外角的兩個(gè)定理．▲難點(diǎn)靈活運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)、定理解決問題．導(dǎo)入新課問題:在這些三角形結(jié)構(gòu)中,除了我們之前學(xué)過的內(nèi)角,你還能發(fā)現(xiàn)哪些特殊的角?比如,屋頂鋼架中,三角形的一條邊延長后與另一條邊形成的角,它和三角形的內(nèi)角有什么關(guān)系呢?這樣的角是三角形的外角,本節(jié)課我們就來探討與三角形的外角相關(guān)的內(nèi)容.新知探究環(huán)節(jié)一:認(rèn)識三角形的外角問題:什么是三角形的外角呢?三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線所組成的角,叫作三角形的外角.如圖,就是△ABC的一個(gè)外角.外角的一條邊是該內(nèi)角的一邊外角的另一條邊是該內(nèi)角另一邊的反向延長線外角的頂點(diǎn)是該內(nèi)角的頂點(diǎn)新知探究你能在圖中畫出△ABC的其他外角嗎?一個(gè)三角形有多少個(gè)外角?一個(gè)三角形有6個(gè)外角.新知探究如圖,延長AC到點(diǎn)E,∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角?∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角?∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系?∠BCE是△ABC的一個(gè)外角;∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角;∠ACD與∠BCE是對頂角,相等.新知探究在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角?每個(gè)頂點(diǎn)處的外角有什么關(guān)系?在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處相對應(yīng)的外角都有2個(gè),且這2個(gè)角為對頂角,相等.新知探究三角形的外角應(yīng)具備的條件:①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn);②角的一邊是三角形的一邊;③另一邊是三角形中一邊的延長線.跟蹤練習(xí)

如圖，△ACD的外角是（

C

）A.

∠EADB.

∠BACC.

∠ACBD.

∠CAEC新知探究環(huán)節(jié)二:探究三角形內(nèi)角和定理的推論問題:如圖,∠1與△ABC的內(nèi)角有什么關(guān)系?∠1=∠2+∠3你能證明你的結(jié)論嗎?∠1和哪個(gè)角組成平角?這個(gè)角在三角形中是什么角?三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是多少?新知探究已知:∠1是△ABC的一個(gè)外角,且∠1與∠4是鄰補(bǔ)角.求證:∠1=∠2+∠3.證明:∵∠1與∠4是鄰補(bǔ)角,∴∠1+∠4=180°.又∵在△ABC中,∠4+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理),∴∠1=∠2+∠3.推論1——三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.跟蹤練習(xí)

如圖，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，則∠ACD＝（

B

）A.110°B.100°C.55°D.45°B新知探究推論1——三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.由這個(gè)結(jié)論,你們還能推出∠1與∠2,∠1與∠3的大小關(guān)系嗎?∵∠1=∠2+∠3,∴∠1>∠2,∠1>∠3.推論2——三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.跟蹤練習(xí)

如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是（

B

）A.

∠A＞∠1＞∠2B.

∠2＞∠1＞∠AC.

∠A＞∠2＞∠1D.

∠2＞∠A＞∠1B新知探究環(huán)節(jié)三:三角形內(nèi)角和定理推論的應(yīng)用例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求證：AD

//

BC。例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求證：AD

//

BC。BAEDC證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠B=∠C，∴∠C=∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAC。∴∠DAC=∠C。∴AD

//

BC。還有其他證法嗎？例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求證：AD//

BC。BAEDC證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠B=∠C，∴∠B=∠EAC?！逜D平分∠EAC，∴∠DAE=∠EAC?！唷螪AE=∠B?！郃D

//

BC。例2已知：如圖，P是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC。求證：∠BPC>∠A。D證明：如圖，延長BP，交AC于點(diǎn)D?！摺螧PC是△PDC的一個(gè)外角（外角的定義），∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角）。∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角（外角的定義），∴∠PDC＞∠A（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角）?！唷螧PC＞∠A。還有其他證法嗎？有.證明：如圖，連接AP，并延長AP交BC于點(diǎn)D，∵∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，∴∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，即∠BPC>∠BAC.BACPD例2

已知：如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.求證：∠BPC>∠A.角度模型飛鏢型：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD8字型：∠A+∠B=∠C+∠D1.如圖，下列關(guān)于外角的說法正確的是(

)D

（1）頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；（2）一條邊是三角形內(nèi)角的一邊；（3）另一條邊是該內(nèi)角另一邊的反向延長線。課堂練習(xí)

D

B

A

C

6.

如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分

∠ABC交AC于點(diǎn)D，E為線段BD上的任一點(diǎn)，連接CE.

（1）求∠BDC的度數(shù)；

（2）求證：∠BEC＞∠A.

解：（2）證明：因?yàn)椤螧DC為△ABD的外角，所以∠BDC＞∠A.

同理可得，∠BEC＞∠BDC，所以∠BEC＞∠A.

6.

如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分

∠ABC交AC于點(diǎn)D，E為線段BD上的任一點(diǎn)，連接CE.

7.閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題。