重難點(diǎn)10：簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿(mǎn)分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：近三年天津卷以5分小題（選擇/填空，8-9題）為主，搭配解答題輔助計(jì)算；核心考柱/錐/球及組合體的表面積與體積，體積更高頻，難度基礎(chǔ)-中檔，突出公式應(yīng)用+割補(bǔ)/等體積轉(zhuǎn)化。三年共性規(guī)律：高頻模型：棱柱/棱錐/圓柱/圓錐/球+組合體；核心方法：公式法、割補(bǔ)法、等體積法；常與線(xiàn)面垂直/面面垂直聯(lián)動(dòng)求高或底面積.預(yù)測(cè)2026年：命題形式：5分小題（選擇/填空，8-9題），或解答題第1問(wèn)（5-6分）；載體為柱/錐+組合體，穿插球的切接。考查側(cè)重：基礎(chǔ)型：規(guī)則體公式直接應(yīng)用（保分題）。中檔型：組合體割補(bǔ)+線(xiàn)面垂直求高，需等體積轉(zhuǎn)化與運(yùn)算精準(zhǔn)。新情景：結(jié)合實(shí)際建模（容器/建筑）、動(dòng)態(tài)最值（如體積/表面積最值）、球的外接/內(nèi)切，強(qiáng)化直觀(guān)想象與臨界驗(yàn)證。難度與陷阱：難度基礎(chǔ)-中檔；陷阱在組合體銜接面重復(fù)計(jì)算、高/斜高混淆、球切接中半徑算錯(cuò)、等體積換底漏驗(yàn)證。考向1：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱(chēng)底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高1．（2025·天津和平·三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由△△，可得，分別表示出圓柱的側(cè)面積和圓錐側(cè)面積，即可得出答案．【詳解】由題意可知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形，則圓錐的高，如圖，由△△，可得，則，，圓柱側(cè)面積，圓錐側(cè)面積，則．故選：C．2．（2025·天津紅橋·二模）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為體積分別為，若.【答案】【分析】由題意分別求出，，由此求出，即可求出.【詳解】因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，所以甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相同，設(shè)為，設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)分別為，高分別為所以甲、乙兩個(gè)圓錐的圓心角之和為：，所以，由，所以，即，又，所以，即，所以，甲圓錐的高，乙圓錐的高，，所以故答案為：.3．（2025·天津紅橋·二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來(lái)，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，結(jié)合題意面積比得到，再計(jì)算二者的體積比即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積是，半球的面積，由題意可得，解得，所以圓錐的體積為，半球的體積為，所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為，故選：B.4．（2025·天津?yàn)I海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時(shí)并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問(wèn)題，用杠桿法解決體積問(wèn)題.我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，利用球和圓柱的表面積、體積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面圓半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的表面積，體積，球的表面積，體積，所以圓柱的表面積與球的表面積之比，圓柱體積與球體積之比，故選：C5．（2025·天津南開(kāi)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面直徑都等于2，一個(gè)圓柱內(nèi)接于這個(gè)圓錐，即圓柱的上底面是圓錐的一個(gè)截面，下底面在圓錐的底面內(nèi)，則圓柱側(cè)面積的最大值為(

)A． B． C． D．3【答案】A【分析】作出圖象，根據(jù)幾何關(guān)系用圓柱底面半徑表示出其側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求其最大值．【詳解】如圖，，，，則，設(shè)，，則，，則，∴圓柱側(cè)面積為：，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：A．考向2：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積1、常見(jiàn)的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2、求幾何體體積時(shí)需注意的問(wèn)題柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．1．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半個(gè)圓環(huán)（如圖所示），記圓臺(tái)的上、下底面面積分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】記圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，半圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為，由于側(cè)面展開(kāi)圖是半個(gè)圓環(huán)則，，再結(jié)合面積為化簡(jiǎn)得到，則．【詳解】記圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，半圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為，則，即，同理可得，由題可得，即則．故選：B.2．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）亭是我國(guó)古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場(chǎng)所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴.重檐圓亭（圖1）是常見(jiàn)的一類(lèi)亭，其頂層部分可以看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)的組合體.已知某重檐圓亭圓臺(tái)部分的直觀(guān)圖如圖2所示，在其軸截面中，，，點(diǎn)到的距離為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為

A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的長(zhǎng)度，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式進(jìn)行求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)，作，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，所以的長(zhǎng)度為，因?yàn)椋?，所以，?/p>

，，.故選：D.3．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，圓臺(tái)為高為，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式和圓的面積公式，列出方程，求得母線(xiàn)長(zhǎng)為，得到，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，圓臺(tái)為高為，則圓臺(tái)的上、下底面圓的面積分別為，側(cè)面積為，所以，可得，則，所以圓臺(tái)的體積為.故選：B.4．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)為2，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇環(huán)，則圓臺(tái)上下底面圓周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)內(nèi)外圓半徑的關(guān)系得到一個(gè)等式，再利用圓臺(tái)上下底面圓周長(zhǎng)與扇環(huán)內(nèi)外圓周長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而求出圓臺(tái)上下底面圓周長(zhǎng)之差.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，（）則圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為，（），則，，∴，圓臺(tái)上下底面圓周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值為.故選：A.5．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的母線(xiàn)與下底面所成角的正弦值為，則此圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線(xiàn)都相切的球）的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，根據(jù)圓臺(tái)的內(nèi)切球的性質(zhì)以及線(xiàn)面角可得，且母線(xiàn)長(zhǎng)為，以及內(nèi)切球的半徑，再結(jié)合圓臺(tái)和球的面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點(diǎn)，可知，，由題意可知：母線(xiàn)與底面所成角為，則，可得，即，，可得，可知內(nèi)切球的半徑，可得，，所以.故選：D.考向3：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積①圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)，那么這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．（2）圓柱的表面積：．②圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由此可得它的側(cè)面積是．（2）圓錐的表面積：S圓錐表．③圓臺(tái)的表面積（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線(xiàn)長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的面積為，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=．（2）圓臺(tái)的表面積：．1．（2025·天津和平·三模）已知某圓柱的軸截面為正方形，則此圓柱的表面積與此圓柱外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出圓柱的底面半徑，求解圓柱的高，球的半徑，然后求解表面積的比．【詳解】解：圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颍O(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，則球的半徑，所以圓柱的表面積為：；球的表面積為，則圓柱的表面積與球的表面積之比為．故選：A．2．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球（圓柱各面與球面均相切），若圓柱的側(cè)面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱底面半徑為r，則內(nèi)切球的半徑也是r，圓柱的高為2r，利用圓柱的側(cè)面積為可得到r=1，從而求出球的體積即可.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為r，則內(nèi)切球的半徑也是r，圓柱的高為2r，所以圓柱的側(cè)面積為，所以，所以球的體積為，故選：B.3．（2025·天津河西·二模）已知正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，其體積為，若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為該棱錐的高的中點(diǎn)，則該圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱錐的體積可求出圓柱的高，根據(jù)圓柱底面圓過(guò)棱錐底面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)可求圓柱底面圓半徑，利用表面積公式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)檎睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，其體積為，底面積為所以棱錐高,即圓柱的高為2，因?yàn)閳A柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以正方形的對(duì)角線(xiàn)為圓的直徑，即所以圓柱的表面積為故選：C4．（2025·天津·二模）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，求出側(cè)面積和表面積得解.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則母線(xiàn)長(zhǎng)為，，，.故選：B.5．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面面積是（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)的弧長(zhǎng)與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，求得底面半徑，進(jìn)而即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式＝π，解得r＝，所以該圓錐的底面面積為π×()2＝3π．故選：C．考向4：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積1）公式法：直接代入公式求解．（2）等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．（3）補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐等．（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．1．（2025·天津·二模）如圖，在正四棱錐中，記其體積為V，且，，，過(guò)M，N，P的平面將四棱錐切出一個(gè)多面體，記其體積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得棱上點(diǎn)的位置與線(xiàn)段比，延長(zhǎng)構(gòu)建三棱錐，根據(jù)三角形等積變換以及棱錐體積公式，可得答案.【詳解】如圖，分別延長(zhǎng)NM，BA交于點(diǎn)E，分別延長(zhǎng)NP，BC交于點(diǎn)F，連接EF，在平面SBC內(nèi)，作交SC于G，則平面平面，故點(diǎn)Q，R在線(xiàn)段EF上．則，又，所以．同理，，則，，記點(diǎn)N到平面ABCD的距離為d（N，ABCD），點(diǎn)S到平面ABCD的距離為d（S，ABCD），易得，所以．同理，，所以．即．故選：C．2．（2025·天津南開(kāi)·二模）如圖所示，體積為的半圓柱的軸截面為平面是圓柱底面的直徑，為底面的圓心，為一條母線(xiàn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且和的弧長(zhǎng)為．則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)到面的距離，利用三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題：，又弧長(zhǎng)為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，取，則E到面距離為，又，所以三棱錐的體積為，故選：C.3．（2024·天津北辰·三模）中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家能夠獨(dú)立開(kāi)展載人航天活動(dòng).從神話(huà)“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)戶(hù)飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋?huà)“仕女飛天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類(lèi)似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合軸截面分析可知，，再利用圓柱以及圓臺(tái)的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，取軸截面，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，可知：∥∥，且，可得，即，所以該容器中液體的體積為.故選：A.4．（2025·天津·一模）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話(huà)的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線(xiàn)和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明等高處的水平截面截兩個(gè)幾何體的截面的面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，計(jì)算即可.【詳解】設(shè)截面與底面的距離為，在帳篷中的截面為，設(shè)底面中心為，截面中心為，則，，所以，所以截面為的面積為.設(shè)截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長(zhǎng)為，高為2，，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長(zhǎng)為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即.故選：D.5．（2025·天津·二模）天津包子是一道古老的傳統(tǒng)面食小吃，是經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的大眾化食品，在中國(guó)北方，在全國(guó)，乃至世界許多國(guó)家都享有極高的聲譽(yù).某天津包子鋪商家為了將天津包子銷(xiāo)往全國(guó)，學(xué)習(xí)了“小罐茶”的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，決定走少而精的售賣(mài)方式，爭(zhēng)取讓天津包子走上高端路線(xiàn)，定制了如圖所示由底面圓半徑為的圓柱體和球缺（球的一部分）組成的單獨(dú)包裝盒，球缺的體積（為球缺所在球的半徑，為球缺的高）.若，球心與圓柱下底面圓心重合，則包裝盒的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓柱的高，可得球半徑，根據(jù)球缺的體積公式以及圓柱的體積公式即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)圓柱的高為，，則，即，解得，故圓柱高為，故包裝盒的體積為，故選：B.考向5：柱體、錐體、臺(tái)體的體積①柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．綜上，柱體的體積公式為V=Sh．②錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．綜上，錐體的體積公式為．③臺(tái)體的體積公式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是．綜上，臺(tái)體的體積公式為．1．（2024·天津河西·三模）在三棱柱中，為的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)割補(bǔ)法及棱臺(tái)、棱柱的體積公式即可求解.【詳解】由題可知，，，四點(diǎn)共面.在三棱柱中，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.∵為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).延長(zhǎng)至點(diǎn)使，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，，，得到三棱柱.延長(zhǎng)，.在三棱柱中，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，相交于點(diǎn)，∴多面體為三棱臺(tái).設(shè)三棱柱的高為，上下底面面積均為，體積為，則.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴.根據(jù)棱臺(tái)的體積公式可知，，∴.故選：D2．（2025·天津·二模）已知在三棱錐中，，，則三棱錐的體積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】把三棱錐看作長(zhǎng)方體切割成的幾何體，利用體積差可求答案.【詳解】由題意可得三棱錐可看作由長(zhǎng)方體截取得到的，如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，解得.長(zhǎng)方體的體積為，切去的四個(gè)小棱錐體積相等，均為，所以三棱錐的體積為2.故選：B3．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體體積為V，，，則四面體體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求出，利用面積公式求出的面積，進(jìn)而求出四面體體積，即可得解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則，以，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)?，，所以，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為；又，所以，所以的面積為，所以四面體體積為，即四面體體積為.故選：D4．（2025·天津·二模）在四面體ABCD中，點(diǎn)M，N在邊AC上，且，點(diǎn)S，T在邊BD上，且，記四面體ABCD的體積為V，MSTN的體積為，則的值為（

）A．6 B．5 C．10 D．不是定值【答案】A【分析】根據(jù)四面體體積公式進(jìn)行換底面轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】，，，，，所以，故選：A.5．（2025·天津·一模）《九章算術(shù)》中記載了幾何體“芻甍”，即“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”譯為：底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱．現(xiàn)有一芻甍如圖所示，底面為矩形，且為等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)M為棱上靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，平面將幾何體分成體積為的左、右兩部分，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將芻甍補(bǔ)成如圖所示的三棱柱，首先證明三棱柱是直三棱柱，然后根據(jù)體積的轉(zhuǎn)換即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以可將芻甍補(bǔ)成如圖所示的三棱柱，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以三棱柱是直三棱柱，不妨設(shè)的面積為，三棱錐的體積為，從而.故選：D.考向6：球的表面積和體積①球的表面積（1）球面不能展開(kāi)成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．②球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．1．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，若一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，此球的體積是，則.【答案】2【分析】正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長(zhǎng)，即可得到內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而結(jié)合球的體積公式列方程求解即可.【詳解】依題意，正方體內(nèi)切球的直徑即為正方體的棱長(zhǎng)，則內(nèi)切球的半徑為，所以，解得.故答案為：2.2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體PABC中，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且，，，則該四面體的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可求出體積.【詳解】連接，因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，，則，又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，則，則，則該四面體的外接球球心為，半徑為，體積為.故選：C3．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為上底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，的軌跡把該正四棱柱截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，由題意易得平面平面，從而可得，進(jìn)而可得體積較小的部分為三棱錐，進(jìn)而可求得其外接球的體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接由題意可得，又，所以，所以平面即為平面，又，平面，平面，所以平面，易得，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又為上底面?nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，所以，由圖易知的軌跡把該正四棱柱截成兩部分中體積較小的部分為三棱錐，又，所以三棱錐的外接球的半徑，較小部分的外接球的體積為.故選：D.4．（2025·天津河北·二模）正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】若正八面體的棱長(zhǎng)為2，根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征易得外接球半徑，應(yīng)用等體積法求得內(nèi)切球半徑，最后由面積比為即可得.【詳解】若正八面體的棱長(zhǎng)為2，令其外接球、內(nèi)切球半徑分別為，且，由各側(cè)面的面積，且構(gòu)成八面體的兩個(gè)正四棱錐的高為，則正八面體的體積，所以，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：C5．（2025·天津·二模）圖①是底面邊長(zhǎng)為的正三棱柱，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)上下底面的中心，將圖①中三棱柱的上底面繞直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得上底面繞直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的六面體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積求出棱柱的高，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，進(jìn)而求出表面積即可.【詳解】初始幾何體為底面邊長(zhǎng)為的正三棱柱，設(shè)高為H，上底面繞直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的六面體，其外接球球心必在旋轉(zhuǎn)軸上，正三棱柱底面正三角形的外接圓半徑，設(shè)球心到任一底面的距離為d，則球半徑滿(mǎn)足：由于幾何體對(duì)稱(chēng)，球心在正中間，故，如圖，以下底面ABC的重心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以，長(zhǎng)度，所以數(shù)量積為;，由夾角，所以，球心在中間，高度，半徑,所以表面積,故選；C（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，.(1)證明：與平面PAD；(2)求平面PBC與平面PAD夾角的余弦值；(3)若Q為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）求證，再利用線(xiàn)面平行的判定定理求證；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，求出兩個(gè)平面的法向量，再求其夾角的余弦值即可；（3）利用可求.【詳解】（1）因，，，則，又，四點(diǎn)共面，則，因平面，平面，則平面.（2）如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，易知為平面PAD的一個(gè)法向量，則，所以平面PBC與平面PAD夾角的余弦值為；（3），因Q為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，則.2．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.將沿對(duì)角線(xiàn)折起，記折起后點(diǎn)的位置為且使平面平面.

(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面所成夾角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得線(xiàn)面垂直，利用三棱錐的體積公式，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，在直角梯形中，易知，，，所以三棱錐的體積.（2）取的中點(diǎn)為，連接，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則，，，，取，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得.3．（2025·天津河西·二模）在正四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，當(dāng)該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時(shí)，則該正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)外接球，根據(jù)幾何關(guān)系建立方程求解半徑；對(duì)內(nèi)切球，先求出側(cè)面三角形面積進(jìn)而得到四棱錐表面積，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，最后得到的表達(dá)式，通過(guò)換元法結(jié)合基本不等式求其最小值及對(duì)應(yīng)的值，最后利用錐體體積公式求解即可.【詳解】設(shè)正四棱錐的高為，設(shè)，連接，則平面，設(shè)該正四棱錐的外接球球心為，則在直線(xiàn)上，取的中點(diǎn)，連接、，對(duì)外接球，解得：，對(duì)內(nèi)切球：，故四棱錐表面積，由體積法：，所以，令，則，進(jìn)而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí).因此，該正四棱錐的體積為.故選：B.4．（2025·天津·二模）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②三棱錐的體積為定值；③存在一點(diǎn)，使；④若，則面積的最大值為，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】對(duì)于①，連接，由為等邊三角形判定；對(duì)于②，利用等體積，計(jì)算為定值即可；對(duì)于③，將進(jìn)行平移到過(guò)點(diǎn)，使之具有公共頂點(diǎn)，根據(jù)立體圖像判斷，無(wú)論如何也不可能滿(mǎn)足；對(duì)于④，連接，證明平面，所以在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)位置時(shí)，最大，此時(shí)面積最大.【詳解】對(duì)于①，連接，由正方體的性質(zhì)知為等邊三角形，由于為底面的中心，故為中點(diǎn)，故，故①正確；對(duì)于②，無(wú)論點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的任何位置，三棱錐的高始終為正方體的邊長(zhǎng)，故體積為，因，故三棱錐的體積為定值，故②正確；對(duì)于③，進(jìn)行平移到過(guò)點(diǎn)，使之具有公共頂點(diǎn)，根據(jù)立體圖象判斷，平面，即無(wú)論如何也不可能滿(mǎn)足平行或重合于，所以不可能平行于，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，取的中點(diǎn)，連接，在中，，在中，，又，則，所以，又，，面，面，所以面，又面，所以，因，平面，平面，所以平面，又，則平面，因平面，則平面平面，即在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，在中，，則當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)位置時(shí)，最大，此時(shí)面積最大為，所以④正確；故選：C5．（2025·天津·一模）已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的半徑，再由正弦定理求出，設(shè)球的半徑為，所以，最后由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)的半徑為，則，解得，又，所以為等邊三角形，則，所以，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的表面積.故選：C6．（2025·天津河?xùn)|·二模）已知正方體的邊長(zhǎng)為，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為，則的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用正方體的外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)結(jié)合球體的表面積與體積公式計(jì)算即可.【詳解】易知正方體的外接球半徑為其體對(duì)角線(xiàn)的一半，即，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，即，由球體的表面積公式及體積公式可知：.故選：A7．（2025·天津和平·二模）已知正方體的體積為，則四棱錐與四棱錐重疊部分的體積是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】易知四棱錐與四棱錐重疊部分為一個(gè)三棱柱加上一個(gè)四棱錐，作出圖形，結(jié)合棱柱和棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，

四棱錐與四棱錐重疊部分為五面體，又該正方體的體積為，即，解得，則，所以，得，又該五面體由一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，如圖，

故該五面體的體積為.故選：D8．（2025·天津·一模）已知多面體，為邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，，，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)證得根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理求出矩形的面積，再利用三棱錐的體積公式即可得出的答案.【詳解】在矩形中，有，因?yàn)槠矫?，所以平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以在中，，，則，又因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，易知，因?yàn)樗?，則，因?yàn)?，則，在中，，則矩形的面積為.因?yàn)槠矫妫云矫?，所以多面體的體積為：.故選：A.9．（2025·天津和平·一模）已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四面體的最小正方體的體積為，正四面體的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，由等體積法求出，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，即可求出，設(shè)正四面體的外接球的半徑，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的表面積為，由題設(shè)底面的外接圓半徑，則所以正四面體的高為，其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，解得：，所以，解得：，將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，正四面體的最小正方體的邊長(zhǎng)為，如下圖，即，所以，體積為，設(shè)正四面體的外接球半徑為，則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以，所以外接球的體積為，.故選：A.10．（2025·天津南開(kāi)·一模）如圖，在平行六面體中，是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積與平行六面體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知，先證明面，再由及棱錐和棱柱的體積公式，即可得.【詳解】由題設(shè)及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征易知，面，面，所以面，則上任意一點(diǎn)到面的距離為定值，又，則，由的底面面積是平行六面體底面面積的一半，且高相等，所以.故選：D1