頁（共23頁）第一章：緒論1.1圖像分割的熵方法背景數(shù)字圖像處理技術在各個領域都有廣泛的運用。在計算機科學不斷發(fā)展的今天，圖像處理和分析逐漸形成了自己的科學體系，不斷有新的圖像處理方法在各個領域里涌現(xiàn)，并且引起各方面人士的廣泛關注[1]。圖像分割是圖像識別和計算機視覺等數(shù)字圖像處理應用中相當關鍵的第一步。分割指的是將一副數(shù)字圖像細分為其組成的區(qū)域或?qū)ο?，其精細度決定了計算機化的分析是否能夠成功，沒有正確的分割就不可能有正確的識別。但是，進行分割只有數(shù)字圖像中像素的亮度信息和顏色信息作為分割依據(jù)，在計算機自動處理圖像分割時，將會遇到各種困難[2]。例如，光照不均勻、噪聲的影響、圖像中存在不清晰的部分，以及陰影等，常常發(fā)生分割錯誤，因此圖像分割是需要進一步研究的技術[3]。在數(shù)字圖像處理長達60余年的發(fā)展過程中不斷有各種圖像分割方法出現(xiàn)，如：(1)基于直方圖形狀，(2)基于聚類，(3)基于熵，(4)基于對象屬性，(5)空間分析，(6)局部方法[4]。其中閾值分割是最常用的一類方法，其原理簡單，容易實現(xiàn)，對閾值的選則直接影響分割的合理性和最終計算機處理效果，所以又衍生了很多種對閾值分割的方法[5]。從20世紀80年代開始，利用香農(nóng)熵的較好的有效性、魯棒性和合理性來進行閾值選擇的圖像分割方法開始受到研究者的關注。在圖像的熵方法中，不斷有研究者提出各種改進的算法[4]。1.2熵方法的發(fā)展現(xiàn)狀圖像分割的熵方法分為五類：(1)基于直方圖形狀的熵方法，(2)基于熵測度的聚類方法，(3)基于對象屬性熵方法，(4)基于熵的空間分析方法，(5)局部熵方法，進一步概括為三種：一維熵方法：基于全局信息；二維(高維)熵方法：基于局部信息；交叉熵方法[6]。從Pun首次考慮使用信息熵來進行圖像分割閾值的選擇，隨后Kapur等人提出了最大香農(nóng)信息熵閾值選擇法[7]，接著Abutaleb和Brink在一維的基礎上將灰度圖提升為二維直方圖，實現(xiàn)了二維直方圖的最大熵閾值法[8]。但因為二維閾值的算法運算耗時長，后來又提出了快速遞歸二維熵算法。但引入了近似，可能會使分割個結果不夠準確[9]。綜上所述，現(xiàn)有方法只是單一從算法上進行遞推運算來減少運算量，對圖像的抗噪聲能力還有所不足，而本文通過建立鄰域的模板來提升抗噪能力，通過量化二維直方圖來進一步減小數(shù)據(jù)的運算量，從而改進二維最大熵法。1.3本文主要工作內(nèi)容本文第二章討論熵方法的概念，推導了一維、二維的最大熵閾值分割法，并討論了適用范圍和不足之處，通過推導過程和對不足的研究，決定對二維灰度直方圖的最大熵算法進行改進。第三章將通過三個方面具體對二維最大熵法進行改進：（1）改進鄰域模板,使用改進的中值4-角域模板代替均值8-鄰域模板來建立二維灰度直方圖，在兼顧均值模板對高斯噪聲的抵抗性的同時，加入的中值模板對椒鹽噪聲也有不錯的處理效果；（2）量化二維直方圖，首先驗證了適合的量化不會破壞直方圖的結構，保證分割的準確性，其次推導了量化后的閾值與原閾值的關系，通過m=5的步長對二維灰度直方圖進行量化，在保持原直方圖細節(jié)的同時盡可能的減小運算量；（3）進行遞推運算，通過遞推公式計算二維灰度直方圖的圖像熵，減少在圖像熵的計算中重復的運算過程，將復雜度為O(L4)的運算過程降O(通過以上三個方面，最終實現(xiàn)對最大熵的圖像分割算法的改進。第四章通過與第二章一維、二維的最大熵法同分割3幅圖像，比價之間的抗噪能力，分割效果，運算速率，最終得出結果：本文的改進算法相比之前的算法在性能和適用性上有不錯的提升。

第二章：圖像最大熵分割法2.1熵方法的概念對于一個有n個狀態(tài)的系統(tǒng)的熵來說，其信息熵定義為[10-11]：H（1）其中pi是第i個狀態(tài)發(fā)生的概率，且i=1n?pi=1,0?pi?1，事件的不確定性越大，Δ（2）明顯看出其測度的數(shù)學期望即為其信息熵，即H=E（3）但若概率為0時式（2）、式（3）均無定義，于是將信息增益表達為[12]Δ（4）于是給出指數(shù)熵的定義H=E(（5）式（5）與式（3）是等價的，而且前者在概率閉區(qū)間為連續(xù)的，圖1給出的2狀態(tài)系統(tǒng)的香農(nóng)熵和指數(shù)熵與事件概率的關系圖中可以看出等價圖1 2個狀態(tài)系統(tǒng)的概率和香農(nóng)熵與指數(shù)熵分布由式（5）、式（3）以及圖1可得，熵與系統(tǒng)的概率的關系有以下4個特性[4]（1）當事件可能性極高或者極低時，信息增益的期望一定在兩個有限極限值附近（2）當所有事件的概率都相等時，熵為最大；H（6）（3）當事件發(fā)生概率為0.5時，該事件的熵為最大；（4）當概率大于或者小于0.5時，熵都在遞減；圖像分割的較為準確嚴密的定義為[13]：將圖像細分為其組成區(qū)域或?qū)ο?，而其本質(zhì)為尋找能夠?qū)⒛繕讼袼嘏c背景分割開來的最優(yōu)機制，熵方法進行圖像分割就是選擇一個或多個恰當?shù)拈撝担瑢D片分割為兩個或多個合集，而這些合集對應的像素的概率又分別構成多個事件，這些事件的信息增益的數(shù)學期望就是熵。在接下來討論的最大熵，就是當熵取到最大值后，根據(jù)式（6）可得，圖像的多個合集的概率最接近，此時獲得最優(yōu)化的圖像分割閾值。圖像分割的熵方法本質(zhì),是借助熵的優(yōu)化評價的能力以及對事物信息量的數(shù)理異同性測度能力,構造不同的熵函數(shù)，以來確定最優(yōu)度量或最優(yōu)控制，實現(xiàn)圖像分割的最優(yōu)閾值確定[4]。2.2最大香農(nóng)信息熵閾值法最大香農(nóng)熵閾值法也就是一維最大熵方法，是基于一維直方圖的一種高效經(jīng)典的圖像分割方法，其中有一維泊松分布假設法，一維兩元統(tǒng)計法和一維多元統(tǒng)計法。2.2.1一維熵閾值法原理在一副灰度圖中，每個像素點的灰度為0到255，當統(tǒng)計完一幅圖的所有灰度以及每個灰度的像素點數(shù)后，我們就得到了一副如圖2所示的一維直方圖。圖2 Lena以及其一維灰度直方圖其中橫坐標，縱坐標分別為灰度值和像素數(shù)量，由此我們可以得到pi=Ni/N，其中Ni為第設t為閾值，則有g其中gx,y為輸出圖像在坐標（x，y）的灰度值，fx,y為原圖像在坐標（x，y）的灰度值。對于t，有Pt=i=02.2.2三種一維熵方法當認為感光度一致時，則圖像灰度值服從泊松分布[12]，此時我們將目標和背景看成兩個泊松分布的參數(shù)，數(shù)字圖像則由目標和背景兩個多元事件的泊松分布混合二次，設λO對應目標，λB對應背景，此時的t應滿足λB>t>λH（7）此時我們稱其為一維熵的泊松分布假設法當用下式計算圖像的后驗熵：H（8） 且以HL'(t)最大時的t作為閾值，此時將圖像中的Pt與當使用下式計算圖像的后驗熵時[14]：H（9）我們考慮兩個概率分布的情況，i=0t?p2.2.3最大香農(nóng)信息熵閾值法缺點根據(jù)實驗可得，當我們使用式（7）泊松分布進行圖像分割時，切割效果較好，但需要預先估計泊松分布的參數(shù)，這需要以先驗經(jīng)驗為條件，而且使用泊松分布必須在假設感光度一致，許多圖像都不符合，所以有較大的局限性；當我們使用式（8）時，取得的最大熵為閾值，雖然滿足熵的第二特性，但是不恰當，因為我們所取到的熵為一維直方圖的概率分割點，不一定恰好對應圖像的目標和背景的分割點，不夠合理。當我們使用式（9）時，認為目標和背景是兩個相關的獨立事件，并且對目標和背景的像素概率及其熵采取獨立計算，分割方法較為合理，符合圖像分割的本質(zhì)特征，但由于是采用一維直方圖來選擇閾值，會導致在圖像出現(xiàn)噪聲的情況下，分割效果大打折扣[4]。2.3二維直方圖的最大熵閾值法二維直方圖的最大熵閾值法簡稱為二維最大熵法。為了能夠解決一維最大熵方法的不足，Abutaleb和Brink在一維的基礎上將灰度圖提升為二維直方圖。相比于一維直方圖，二維直方圖加入了鄰域灰度，將點灰度和鄰域灰度特征相結合，可以更好地表示圖像的信息，提高圖像分割的抗噪能力。2.3.1二維最大熵法的原理二維直方圖除了需要統(tǒng)計點灰度值，還要統(tǒng)計每一個點的n*n（n一般為奇數(shù)）鄰域的平均灰度。設大小為N*N的灰度圖，其灰度取值范圍為[0,L]，在x,y坐標的像素的灰度值為fx,y，其g(x,y)=（10）其中，[n/2]取整。將圖像用灰度-鄰域平均灰度的數(shù)據(jù)對表示為[fx,y,gx,y]f（11）此時相比于一維直方圖只統(tǒng)計某一灰度的像素點數(shù)，二維直方圖需要統(tǒng)計[fx,y,gpi=1（12） 則{pij圖3 Lena以及其二維灰度直方圖圖4 二維直方圖的XOY平面分割矢量S,T將直方圖分為4塊，根據(jù)圖像的同態(tài)性：在目標或者背景的地方，像素的灰度值與鄰域平均灰度值數(shù)值差異小，在目標和背景的交界處，像素的灰度值與鄰域平均灰度值數(shù)值差異大[15]圖4 二維直方圖的XOY平面此時找出A，B區(qū)的后驗熵相加，當圖像熵最大時對應的S,T就為最佳分割閾值。A,B區(qū)的后驗概率為：P（13）則其后驗熵為：HH(B)=?（14）設：H（15）則有：H（16）則熵的判別函數(shù)為：φ（17）當φ(S,T)最大時，我們可以得到最優(yōu)的閾值S,T.2.3.2二維最大熵法的不足從對圖像適用性上來看，二維最大熵法在抗噪聲能力上明顯大于一維最大熵法，然而，廣義二維最大熵方法只是將一維優(yōu)化擴展到二維優(yōu)化，導致運算量按指數(shù)增加，其運算過程為一個四重循環(huán)，計算復雜性為OL4，耗時太長，難以實用

第三章：改進的圖像最大熵分割算法本文將從鄰域模塊的改進，二維直方圖的量化，遞推算法三部分來對二維最大熵圖像分割算法進行改進，在減小噪聲的影響，保證一定精度的同時也要將計算復雜性從OL4降至3.1改進的鄰域模板在使用二維最大熵法進行圖像分割時，構建合理的二維灰度直方圖決定了圖像分割的質(zhì)量，而在二維直方圖的構建中，通過鄰域模板建立的鄰域圖像可以有效的提升圖像分割的抗噪能力，使其優(yōu)于一維最大熵法。在以往的二維最大熵算法中，一般將鄰域n值取3，然后通過均值模板建立鄰域圖像，即均值8-鄰域模板1該模板只能有效消除高斯噪聲，但對椒鹽噪聲沒有抗噪能力，如圖5（b）所示。本文運用改進的中值4-角域模板[9]，來增加模板的適用性，并且在一定程度上減小其運算量。中值模板即使圖像進行中值濾波，是一種非線性平滑技術。它從圖像中的某個采樣窗口取n個數(shù)據(jù)進行排序，然后用排序后的中值代替待處理的數(shù)據(jù)，從而達到抑制圖像噪聲的目的[17]。而為了可以提高像素與其鄰域中值像素的差異，同時兼顧對高斯噪聲和椒鹽噪聲的抵抗性，提高分割性能，我們采用中值4-角域模板1建立鄰域圖像。圖5 不同模板處理椒鹽噪聲結果（a）加椒鹽噪聲 （b）均值8-鄰域模板 (c）中值圖5 不同模板處理椒鹽噪聲結果如圖5所示，對比圖5（b）和圖5（c）可得出該模板的優(yōu)勢，在對加了椒鹽噪聲的圖5（a）進行處理后，均值8-鄰域模板處理結果使噪聲成氣泡狀，沒有消除噪聲，效果明顯差于中值4-角域模板處理后的圖像。3.2量化二維直方圖由式（17）可知，當計算最大熵時需要對每一個灰度級的目標和背景的后驗熵都進行一次計算，因此如果能減少灰度級的數(shù)量，則可以大大簡化運算量，提升運算速率。而量化直方圖將把圖像以某一適合的量化步長進行量化，使得灰度級數(shù)減少，如原始圖像的總灰度級為L,取量化步長Δl=l/2m,就可使灰度級數(shù)目減少到設原直方圖為f(x)，灰度范圍為x∈D，量化后的直方圖為g(y),灰度范圍為y∈D'則有D=D（18）其中，y'g（19）令ε=ygε（20）由式（20）可得，原直方圖經(jīng)過尺度變換后得到量化直方圖，則原直方圖與量化直方圖結構一致。設原圖的閾值為t且用式（9）計算最大熵，量化后的直方圖閾值為t'，則從?∞到Q=（21）其目標與背景的后驗熵為[19]S=?（22）S=?（23）lnQ=ln（24）通過式（24）與式（9）對比可得t=（25）至此，只要求出量化后直方圖最大熵分割閾值即可得到原圖的分割閾值。對于灰度階數(shù)較高的圖像，該方法能明顯減少運算量，但要合理進行量化必須取合適的步長，一般情況下l/2<Δl=l/2m<l，若步長較大，會導致量化后圖像與原圖像相比相差大，使得某些峰值合并；若步長過小，則量化直方圖的方法對運算速度的改善將不明顯，一般情況下灰度級為2563.3快速遞推算法3.3.1遞推算法的推導在第二章所介紹的二維最大熵法中，對于每一個閾值對s,t，都要計算其H(A)，H(B)，計算過程為四重循環(huán)，在運算過程中十分耗時，不符合實際應用。為了進一步提高計算效率，減少重復計算，我們采用遞推算法進行計算[20]。首先通過式（14）（15）推算得出H（26）則φs,tφs,tHL（27）其中，HL為定值，此時只需計算H(A)，即HA和當我們計算φs,t+1時，需要計算HA(s,t+1)和PP（28）H（29）此時，PA與HP（30）H（31）設Pst+1=P（32）HAs,（33）此時，當n取0到時L?t0，已經(jīng)沒有重復計算了，但當s取1到L時仍然存在重復計算，此時我們需要推到PstP（34）Hs+1=H（35）此時，Pst和P（36）H（37）此時，有遞推公式：P（38）Hs+n（39）此時計算HA和PA不在有重復計算，計算復雜度從OL3.3.2計算步驟（1）統(tǒng)計量化二維灰度直方圖的灰度信息，計算和統(tǒng)計pij（2）根據(jù)公式（27）計算HL（3）根據(jù)公式（32）（33）（38）（39）計算{φ根據(jù)式（34）（35）計算根據(jù)式（34）（35）計算Pst+1PHP根據(jù)式(27)計算φφ開始結束s=1t=1s>Lt>L?PHs=s+1t=1t=t+1（4）找出最大熵max{φs,t}

第四章：實驗結果對比及分析為了驗證本文算法相比第二章的兩種分割方法有更好的抗噪性，更快的運算速度，更優(yōu)的切割性，本文選用了三幅圖片進行實驗，三幅圖的參數(shù)見表1。本文實驗使用MATLAB2018進行，在CPU為IntelCorei7-7700HQ，主頻2.8GHz，內(nèi)存為DDR4,16GB的筆記本上完成，操作系統(tǒng)為Windows10，64位。表1 實驗圖像參數(shù)測試圖像圖像參數(shù)噪聲情況尺寸灰度階數(shù)Lena.jpg高斯噪聲512×51222-255Library.jpg椒鹽噪聲667×6640-255Tower.jpg無1342×13422-249 （a）加高斯噪聲的Lena （b）一維最大熵法處理后 圖6 加高斯噪聲的Lena及處理結果（c）二維最大熵法處理后 圖6 加高斯噪聲的Lena及處理結果 從圖6可以看出，在處理加高斯噪聲的圖片時，一維最大熵法效果極差，分割出的圖像主體與背景沒有分開且噪點雜亂，二維最大熵法和改進最大熵法處理結果較好，其中改進最大熵法最好，對高斯噪聲有很好的抑制作用,分割效果明顯。 （a）加椒鹽噪聲的Library （b）一維最大熵法處理后 （c）二維最大熵法處理后 （d）改進最大熵法處理后圖7 加椒鹽噪聲的Library及處理結果從圖7可以看出，對于椒鹽噪聲一維最大熵法處理后依舊有很多噪點，證明一維最大熵法對噪聲沒有抑制能力。二維最大熵法比一維最大熵法分割效果要好些，但仍有部分噪點無法消除。改進最大熵法處理效果最好，細節(jié)還原，銳度好，且圖像噪點被抑制。 （a）原圖Tower （b）一維最大熵法處理后 （c）二維最大熵法處理后 （d）改進最大熵法處理后圖8 未加噪聲的Tower即處理結果時間對比：表2 各圖像各方法處理時間測試圖像運行時間一維最大熵二維最大熵改進最大熵Lena.jpg15.30s26.33s24.16sLibrary.jpg16.24s41.61s35.08sTower.jpg24.02s207.08s116.40s從圖8可以看出，圖片未加噪時，三種方法處理效果都較好。通過表2的時間對比可以看出，在處理小數(shù)據(jù)量的情況下，改進最大熵法比較與二維最大熵法用時接近，但當數(shù)據(jù)量增大后，改進最大熵法的運算時間明顯短于二維最大熵，且隨著數(shù)據(jù)量的增大越來越明顯，說明改進最大熵算法在處理大量數(shù)據(jù)時運行速率要大大優(yōu)于二維最大熵法。實驗證明，本文提出的改進最大熵算法在二維最大熵法的基礎上能夠保證分割質(zhì)量優(yōu)秀，同時運算速率得到提高。結論本文介紹了圖像分割的熵方法，詳細討論了一維最大熵方法，二維最大熵方法，并且分析了其中的優(yōu)劣，提出了一種改進的最大熵圖像分割法，通過改進鄰域模板建立合理二維灰度直方圖，提升抗噪能力，然后對二維灰度直方圖進行量化，通過推導驗證了量化直方圖可以合理減小數(shù)據(jù)量，最后推出快速遞推公式，使其計算最大熵時，大大提高計算速率。在最后的實驗中證明了該方法確實提升了抗噪能力，且對運算效率有極大提升，加強了算法的實用性。但由于本人能力不足，該算法在一些方面還有不足：使用的中值鄰域模板可能會造成圖像不連貫，在量化二維直方圖時是用先驗經(jīng)驗來確定m的取值，最后的最大熵尋找過程仍然有其他更好更復雜的算法可以代替。參考文獻[1]謝凱,王新生.基于灰度迭代閾值的高分辨率影像分割研究[J].湖北大學學報(自然科學版),2013,35(02):252-257.[2]呂以茜.關于熵的連續(xù)性定理的證明[J].淮陰工學院學報,2019,28(03):98-100.[3]繆小勇,周佳虹,戴穎,陸丹.計算機圖像處理在我們工作生活中的應用[J].電子世界,2015(20):189-190.[4]曹建農(nóng).圖像分割的熵方法綜述[J].模式識別與人工智能,2012,25(06):958-971.[5]SezginM,KocaeliG,SankurB.SurveyoverImageThresholdingTechniquesandQuantitativePerformanceEvaluation.JournalofElectronicImaging,2004,13(1):146-165[6]ChangC,DuY,WangJ,etal.SurveyandComparativeAnalysisofEntropyandRelativeEntropyThresholdingTechniques.Vision,ImageandSignalProcessing,2006,153(6):837-850[7]PalNR,PalSK.Areviewonimagesegmentationtechnique[J].PatternRecognitionLetters,1999,26(9):1277-1294[8]陳果,左洪福.圖像分割的二維最大熵遺傳算法[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2002(06):530-534.[9]張新明,張愛麗,鄭延斌,孫印杰,李雙.改進的最大熵閾值分割及其快速實現(xiàn)[J].計算機科學,2011,38(08):278-283.[10]ShannonCE,WeaverW.TheMathematicalTheoryofCommunication.Urbana,USA:UniversityofIllinoisPress,1949[11]ShannonCE.AMathematicalTheoryofCo