初中數(shù)學(xué)分母有理化專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，代數(shù)式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算是貫穿始終的重要內(nèi)容。其中，分母有理化作為二次根式運(yùn)算中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的考點(diǎn)。掌握好分母有理化的方法，能夠有效提升我們進(jìn)行根式運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。本文將系統(tǒng)梳理分母有理化的核心概念、基本方法，并通過(guò)精選練習(xí)題幫助同學(xué)們鞏固所學(xué)，真正做到融會(huì)貫通。一、核心概念回顧：理解分母有理化的內(nèi)涵分母有理化，顧名思義，就是將分式中分母所含的根號(hào)化去，使其分母變?yōu)橐粋€(gè)有理數(shù)（或有理式）的過(guò)程。這是因?yàn)椋谶M(jìn)行分式運(yùn)算或比較大小時(shí)，分母為有理數(shù)的形式往往更便于計(jì)算和理解。要進(jìn)行分母有理化，關(guān)鍵在于找到有理化因式。所謂有理化因式，是指兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。例如，√a(a≥0)的一個(gè)最簡(jiǎn)單的有理化因式就是它本身√a，因?yàn)椤蘟·√a=a，結(jié)果是有理數(shù)。二、分母有理化的基本方法與步驟分母有理化的方法并非一成不變，它取決于分母的具體形式。以下是幾種常見(jiàn)的類(lèi)型及其處理方法：（一）分母是單一二次根式（如√a或a√b，其中a、b為正有理數(shù)）方法：分子、分母同時(shí)乘以分母本身，利用√a·√a=a(a≥0)的性質(zhì)，將分母中的根號(hào)去掉。步驟示例：化簡(jiǎn)1/√2第一步：觀察分母，為單一二次根式√2。第二步：分子分母同乘√2，得到(1·√2)/(√2·√2)=√2/2。第三步：結(jié)果√2/2的分母為2，是有理數(shù)，化簡(jiǎn)完成。例題1：將下列各式分母有理化(1)3/√5(2)2/(3√7)解答：(1)3/√5=(3·√5)/(√5·√5)=3√5/5(2)2/(3√7)=(2·√7)/(3√7·√7)=(2√7)/(3×7)=2√7/21解題關(guān)鍵：確保分子分母同乘的是分母的最簡(jiǎn)有理化因式（此處即為分母本身），并注意化簡(jiǎn)分子分母的乘積。（二）分母是含根號(hào)的代數(shù)式加減形式（如√a±√b或a√b±c√d，其中a、b、c、d為正有理數(shù)）方法：利用平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2，分子、分母同時(shí)乘以分母的“共軛有理化因式”。對(duì)于√a+√b，其共軛有理化因式為√a-√b；對(duì)于√a-√b，其共軛有理化因式為√a+√b。步驟示例：化簡(jiǎn)1/(√3+√2)第一步：觀察分母，為√3+√2，是兩個(gè)二次根式的和。第二步：確定其共軛有理化因式為√3-√2。第三步：分子分母同乘√3-√2，得到(1·(√3-√2))/[(√3+√2)(√3-√2)]。第四步：分母利用平方差公式計(jì)算：(√3)2-(√2)2=3-2=1。分子為√3-√2。第五步：結(jié)果為(√3-√2)/1=√3-√2，分母已有理化。例題2：將下列各式分母有理化(1)1/(√5-√3)(2)√2/(√6+√2)解答：(1)1/(√5-√3)=[1·(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=(√5+√3)/[(√5)2-(√3)2]=(√5+√3)/(5-3)=(√5+√3)/2(2)√2/(√6+√2)=[√2·(√6-√2)]/[(√6+√2)(√6-√2)]=[√2·√6-√2·√2]/[(√6)2-(√2)2]=[√12-2]/(6-2)=[2√3-2]/4=[2(√3-1)]/4=(√3-1)/2解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確找到共軛有理化因式，分母運(yùn)用平方差公式時(shí)注意符號(hào)和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，分子展開(kāi)后若能化簡(jiǎn)需進(jìn)一步化簡(jiǎn)。三、分母有理化專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題【基礎(chǔ)鞏固】1.將下列各式分母有理化：(1)5/√2(2)1/(2√3)(3)√3/√6(4)-4/√72.將下列各式分母有理化：(1)2/(√7+√5)(2)3/(√6-√3)(3)1/(4-√15)(4)√3/(√5-√2)【能力提升】3.化簡(jiǎn)：(√2+√3)/(√2-√3)（提示：可將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛式，或先將分子分母顛倒后有理化再求倒數(shù)）4.已知x=1/(√5-2)，求x的值（結(jié)果分母有理化）。5.計(jì)算：1/(1+√2)+1/(√2+√3)（提示：先分別有理化，再觀察能否簡(jiǎn)便運(yùn)算）【拓展延伸】6.分母有理化：(√a+√b)/(√a-√b)(a>0,b>0,a≠b)7.若a=√3-√2，b=√3+√2，求1/a+1/b的值。四、參考答案與提示【基礎(chǔ)鞏固】1.(1)5√2/2(2)√3/6(提示：1/(2√3)=√3/(2√3·√3)=√3/(2×3)=√3/6)(3)√2/2(提示：√3/√6=√3/(√3·√2)=1/√2=√2/2或分子分母同乘√6)(4)-4√7/72.(1)√7-√5(提示：[2(√7-√5)]/[(√7)^2-(√5)^2]=2(√7-√5)/(7-5)=√7-√5)(2)√6+√3(提示：[3(√6+√3)]/(6-3)=3(√6+√3)/3=√6+√3)(3)4+√15(提示：分母(4)^2-(√15)^2=16-15=1)(4)(√15+√6)/3(提示：分子√3(√5+√2)=√15+√6，分母5-2=3)【能力提升】3.-(5+2√6)(提示：分子分母同乘(√2+√3)，分母為(√2)^2-(√3)^2=-1，分子為(√2+√3)^2=2+2√6+3=5+2√6，結(jié)果為-(5+2√6))4.√5+2(提示：x=(√5+2)/[(√5-2)(√5+2)]=(√5+2)/(5-4)=√5+2)5.√3-1(提示：1/(1+√2)=√2-1，1/(√2+√3)=√3-√2，相加得√3-1)【拓展延伸】6.(a+b+2√(ab))/(a-b)(提示：分子分母同乘(√a+√b)，分子(√a+√b)^2=a+2√(ab)+b，分母a-b)7.2√3(提示：1/a=1/(√3-√2)=√3+√2，1/b=1/(√3+√2)=√3-√2，相加得2√3)四、總結(jié)與溫馨提示分母有理化的過(guò)程，本質(zhì)上是利用分式的基本性質(zhì)，通過(guò)乘以恰當(dāng)?shù)挠欣砘蚴?，將分母中的根?hào)化去。同學(xué)們?cè)诰毩?xí)時(shí)，首先要仔細(xì)觀察分母的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確選擇有理化因式；其次，在運(yùn)算過(guò)程中要特別注意符號(hào)的正確性和公式的準(zhǔn)確應(yīng)用；最后，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)形式，確保分子分母沒(méi)有公