基于模型建構的行程問題探究：相遇問題專項學習（六年級數(shù)學）一、教學內容分析??本課內容隸屬《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中“數(shù)與代數(shù)”領域“數(shù)量關系”主題，是小學階段運用算術方法解決實際問題的典型與高階內容。從知識圖譜看，它上承“速度、時間、路程”三量關系，下啟初中用方程、函數(shù)分析動態(tài)問題，是算術思維向代數(shù)思維過渡的關鍵橋梁。其認知核心在于引導學生將復雜的動態(tài)情境抽象為“線段圖”這一數(shù)學模型，并在此模型基礎上進行邏輯推理與運算。課標強調的“模型意識”與“推理能力”在此得到集中體現(xiàn)：學生需經歷“現(xiàn)實情境抽象為數(shù)學問題→構建幾何直觀模型（線段圖）→利用模型分析數(shù)量關系→解決問題并解釋結果”的完整過程。這不僅是解決一類問題技能的掌握，更是數(shù)學建模思想的初步萌芽和邏輯思維能力的結構化訓練。從素養(yǎng)滲透視角，本課通過探究兩個物體在運動中的時空關系，有助于學生形成用聯(lián)系的、動態(tài)的眼光分析問題的科學世界觀，并在合作解題中培養(yǎng)嚴謹求實的科學態(tài)度。??學情研判顯示，六年級學生已牢固掌握速度、時間、路程的單一關系，具備基本的畫線段圖表示數(shù)量關系的經驗，但對涉及兩個物體“相向運動”、“中途變速”等復雜情形的綜合分析能力薄弱。常見認知誤區(qū)包括：混淆“速度和”與單個速度的概念；在非同時出發(fā)或路程分段的情境中找不準對應關系；線段圖繪制不規(guī)范導致分析失誤。教學難點源于學生從靜態(tài)、單一對象分析轉向動態(tài)、多對象關系分析的思維跨度。因此，教學將設計“前測”環(huán)節(jié)，通過一道基礎相遇問題快速診斷學生建模水平的層次差異（如：能否畫圖、能否找準“路程和”）。后續(xù)教學將以此為基點，提供差異化的“腳手架”：對于基礎層學生，強化“一動一靜”到“兩動同時”的認知鋪墊與標準作圖規(guī)范；對于進階層學生，則引導其探究變式情境，挑戰(zhàn)思維定式。課堂將通過“追問鏈”、小組互評作圖、變式題即時反饋等方式，持續(xù)進行形成性評估，動態(tài)調整教學節(jié)奏與支持策略。二、教學目標??1.知識目標：學生能準確闡述相遇問題的核心數(shù)量關系“路程和=速度和×相遇時間”，并能在“同時出發(fā)、相向而行、途中相遇”的標準情境及“不同時出發(fā)”、“中途休息”等變式情境中，辨識出該關系的各種變化形式，運用算術方法正確求解未知量。??2.能力目標：學生能夠獨立、規(guī)范地繪制描述相遇問題的線段圖，并借助線段圖這一幾何直觀模型，清晰地分析復雜行程情境中的數(shù)量關系，進行有條理的邏輯推理，形成解決問題的一般性策略。??3.情感態(tài)度與價值觀目標：在小組合作探究與交流中，學生能積極參與討論，樂于分享自己的解題思路，并認真傾聽、辯證評價同伴的解法，體驗通過協(xié)作攻克思維難題的成就感，增強學習數(shù)學的信心。??4.科學（數(shù)學）思維目標：重點發(fā)展學生的模型建構思想與幾何直觀能力。通過將文字描述轉化為線段圖的多次訓練，學生能體會到用數(shù)學模型簡化現(xiàn)實問題的力量，初步形成“抽象建模求解驗證”的思維路徑。??5.評價與元認知目標：學生能依據清晰的評價標準（如線段圖的完整性、對應關系的準確性）對自我及同伴的解題過程進行評價；能在課堂小結時，反思自己從“無從下手”到“掌握方法”的學習過程，總結構建模型的關鍵步驟。三、教學重點與難點??教學重點：構建相遇問題的基本數(shù)學模型（路程和=速度和×相遇時間），并掌握通過畫線段圖來分析數(shù)量關系、解決問題的策略。其確立依據在于，此模型是解決所有相遇類問題的邏輯核心與通用工具，深刻體現(xiàn)了數(shù)學建模思想，是課標強調的“模型意識”在本學段的具體落腳點，也是小升初能力考查中高頻出現(xiàn)的核心考點，對學生后續(xù)學習分階段行程、工程問題等具有奠基性作用。??教學難點：在非標準化的變式情境（如不同時出發(fā)、一方中途停留、速度變化）中，學生能夠靈活、準確地抽象出“路程和”與“相遇時間”的對應關系，并正確繪制線段圖進行表征。難點成因在于，這些情境破壞了標準模型的“對稱性”與“同時性”，對學生分析動態(tài)過程、進行分段處理的能力要求較高，學生容易因思維不全面或線段圖繪制不當而導致關系識別錯誤。突破方向在于，通過“慢鏡頭”分解運動過程、對比標準圖與變式圖差異、強化“時間軸”意識等策略進行引導。四、教學準備清單1.教師準備1.1媒體與教具：交互式課件（含動態(tài)演示兩物體相向而行的動畫）、實物投影儀。1.2學習材料：分層學習任務單（含前測題、核心探究任務、分層鞏固練習）、標準線段圖繪制模版貼板、不同顏色磁貼（代表兩個運動物體）。2.學生準備2.1學具：直尺、鉛筆、不同顏色的彩筆。2.2預習：復習速度、時間、路程三者關系，并嘗試用自己的話解釋。3.環(huán)境布置3.1座位：四人小組合作式就坐。3.2板書：左側預留核心模型與線段圖范例區(qū)，右側作為學生作品展示與問題生成區(qū)。五、教學過程第一、導入環(huán)節(jié)1.情境創(chuàng)設與問題提出??（播放一段兩個同學從校門兩側相向步行至相遇的簡短視頻）同學們，生活中你們有沒有和好朋友約好碰面的經歷？假如已知你和小明的步行速度，以及你們兩家之間的距離，你能算出多久后能會面嗎？這其實就是數(shù)學中一個非常經典的問題——相遇問題。今天，我們就化身“行程分析師”，一起來揭開其中的奧秘。1.1喚醒舊知與路徑明晰??要解決這個會面時間問題，我們需要哪些“舊兵器”？（速度×時間=路程）沒錯。但當兩個人一起動起來時，情況就變復雜了。本節(jié)課，我們將通過“畫圖”這個強大的工具，把動態(tài)的過程“定格”下來分析，從而找到隱藏的規(guī)律。我們的探索路線是：從最簡單的情形入手建模，再挑戰(zhàn)更復雜的現(xiàn)實情境。第二、新授環(huán)節(jié)任務一：基礎情境，初建模型教師活動：??出示例1：甲、乙兩人從相距1000米的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每分鐘走60米，乙每分鐘走40米。幾分鐘后兩人相遇？??首先，不急著算。請大家想象一下這個畫面，然后用手中的彩筆和直尺，嘗試在任務單上把題目描述的情景“畫”出來。怎么用一條線段表示1000米？怎么表示兩個人“同時”、“相向而行”？我給大家一個小提示：可以用不同的點或符號代表甲和乙。（巡視，選取用箭頭表示方向、用線段表示行進路程的畫法進行展示）看，這位同學用兩個箭頭從線段兩端往中間畫，非常形象！大家同意嗎？有沒有不同思路？學生活動：??獨立思考并嘗試畫圖表示題意。小組內交流各自的畫法，討論哪種方式最清晰易懂。觀察教師展示的同伴作品，理解用帶箭頭的線段（即“線段圖”）表示運動過程和方向的方法。即時評價標準：??1.作圖規(guī)范性：能否用直線段表示總路程，并用不同顏色或標識區(qū)分兩個物體。??2.運動表征準確性：能否用從兩端指向中間的箭頭正確表示“相向而行”。??3.信息標注完整性：能否在線段圖上標出已知的距離、速度。形成知識、思維、方法清單：??★線段圖是分析行程問題的利器。它能將抽象的“相向而行”轉化為直觀的視覺圖像，是構建數(shù)學模型的第一步。教學時需強調作圖規(guī)范：先畫一條線段表示總路程，兩端標出出發(fā)點和方向。??★“相遇點”的意義。在線段圖上，兩人相遇點將總路程分割為兩部分，這兩部分路程分別由甲和乙在相同時間內走完。引導學生發(fā)現(xiàn)“時間相同”這個隱藏條件。??▲從“單獨動”到“一起動”的思維轉換?？梢栽O問：“如果只有甲走完全程要多久？只有乙呢？現(xiàn)在兩人一起走，總路程不變，但‘工作效率’（速度）發(fā)生了什么變化？”從而引出“速度和”概念。任務二：數(shù)形結合，提煉公式教師活動：??現(xiàn)在圖已經畫好了，看著圖，誰能說說“1000米”在這個運動過程中，到底是什么？（是甲走的路程加上乙走的路程）非常好！數(shù)學上，我們稱之為“路程和”。（板書：路程和）那么，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走40米，兩人“1分鐘”靠近多少米？我們一起來動動手：讓兩個磁貼代表甲和乙，在黑板線段圖上從兩端同時移動一格（代表1分鐘行程）。（學生答：100米）這100米就是他們的“速度和”。（板書：速度和）??現(xiàn)在，問題“幾分鐘后相遇”其實就是問：幾個這樣的“速度和”加起來等于總路程“1000米”？怎么列式？（1000÷(60+40)=10分鐘）誰能根據這個算式，總結出一個通用的數(shù)量關系式？學生活動：??觀察教師動態(tài)演示，理解“路程和”與“速度和”的直觀含義。根據線段圖和分析，列出算式并計算。嘗試用語言概括關系：總路程除以速度和等于相遇時間。進而抽象出：路程和=速度和×相遇時間。即時評價標準：??1.概念理解：能否準確解釋“路程和”與“速度和”在此情境中的具體意義。??2.邏輯表達：能否依據線段圖，清晰地闡述算式的每一步所對應的實際含義。??3.抽象概括：能否從具體算式中，提煉出一般化的數(shù)學模型（公式）。形成知識、思維、方法清單：??★核心模型：路程和=速度和×相遇時間(S=(v1+v2)×t)。這是解決所有相遇問題的基石。務必讓學生理解其推導過程，而非死記硬背。??★“數(shù)形結合”思想的典范。公式的得出完全依賴于線段圖的直觀支持。要強調“看圖想關系”，讓圖形思維引導代數(shù)思維。???公式的變式應用。引導學生推導出：相遇時間=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇時間。明確三者知二求一。任務三：變式探究一：不同時出發(fā)教師活動：??現(xiàn)實情況往往更復雜。變式題：甲先從A地出發(fā)去B地，每分鐘走60米。3分鐘后，乙從B地出發(fā)去A地，每分鐘走40米，兩地相距1000米。問乙出發(fā)后幾分鐘兩人相遇？??“3分鐘后乙才出發(fā)”，這個條件讓我們的線段圖該怎么調整？請大家以小組為單位，合作畫出新的線段圖。重點思考：當乙出發(fā)時，甲已經走了多遠？此時兩人之間的“路程和”還是1000米嗎？（巡視指導，關注小組能否將甲先走的3分鐘路程單獨表示出來）學生活動：??小組合作討論，重新繪制線段圖。關鍵點在于表示出甲單獨行走的3分鐘路程（60×3=180米），并認識到乙出發(fā)時，剩余的路程和為1000180=820米。在此基礎上，應用模型解決問題。即時評價標準：??1.讀題與轉化能力：能否將“不同時出發(fā)”準確轉化為線段圖中的“一段先行路程”。??2.合作有效性：小組成員是否全員參與作圖討論，能否共同糾錯。??3.模型遷移能力：能否在調整后的新“路程和”基礎上，正確應用相遇模型。形成知識、思維、方法清單：??▲“路程和”的動態(tài)性。在非同時出發(fā)的問題中，“路程和”并非一開始就是總距離，而是從“后者出發(fā)時”算起，兩人之間剩下的距離。這是突破此類難點的關鍵。???分段處理思想。復雜行程問題常需“分段看待”：先處理單獨運動階段，再處理共同運動階段。畫圖時常用“時間軸”或分段線段來清晰呈現(xiàn)。??★“相遇時間”的指向。明確問題所問的“相遇時間”是針對誰而言的。本題問“乙出發(fā)后幾分鐘”，所以計算時用的“路程和”和“速度和”都是以乙出發(fā)為起點的。任務四：變式探究二：中途停頓或折返教師活動：??挑戰(zhàn)升級！如果相遇途中有人“開小差”或走錯路呢？出示題目：A、B兩地相距480米，甲、乙同時從兩地相向而行，甲每分走50米，乙每分走30米。甲在途中遇到朋友停留了1分鐘，然后繼續(xù)前進。問從出發(fā)到相遇共用了多少分鐘？??“甲停留1分鐘”，這段時間乙在干嘛？（繼續(xù)走）那么，這1分鐘乙走的路程，對兩人的“路程和”有什么影響？請大家先獨立思考畫圖，再和同桌交換意見，看看你們的圖能否清晰展示這“丟失的1分鐘”。學生活動：??獨立思考并作圖，重點表現(xiàn)甲停留的1分鐘。通過與同桌討論，理解可以將甲停留的1分鐘視為乙單獨走了1分鐘（30米），這相當于乙“提前”消耗掉了一部分總路程。然后，剩余路程再由兩人以速度和共同走完。最后總時間需加上甲停留的1分鐘。即時評價標準：??1.動態(tài)過程分析能力：能否將“一方停頓”合理轉化為“另一方單獨行走一段”。??2.作圖創(chuàng)意與清晰度：線段圖能否創(chuàng)新性地（如用虛線、標注“?！保┍硎就ｎD時段。??3.綜合思維：能否將“分段處理”與“模型應用”有機結合，不重不漏地計算總時間。形成知識、思維、方法清單：??▲“停頓”問題的轉化策略。將一方的停頓時間，等價視為另一方單獨前進的時間，從而將不規(guī)則運動“修正”為標準的相遇模型來處理。這是一種重要的數(shù)學轉化思想。???“總時間”的組成分析。最終所求時間可能包含共同運動時間與單獨運動時間（或停頓時間）。解題后需引導學生復盤時間構成，驗證合理性。??★幾何直觀的優(yōu)越性。面對如此復雜的描述，線段圖幾乎是厘清思路的唯一有效工具。再次強調研圖習慣的必要性。第三、當堂鞏固訓練??現(xiàn)在進入我們的“練兵場”，請大家根據自身情況，至少完成A組，鼓勵挑戰(zhàn)B組，學有余力的同學可以沖擊C組。??A組（基礎應用）：??1.兩列火車從相距570千米的兩地同時相向開出。甲車每小時行110千米，乙車每小時行80千米。經過幾小時兩車相遇？??B組（綜合變式）：??2.小張和小李在環(huán)形跑道上跑步，跑道一圈400米。他們從同一地點同時反向出發(fā)，小張速度是6米/秒，小李是4米/秒。第一次相遇時，小張比小李多跑了多少米？??C組（挑戰(zhàn)拓展）：??3.甲、乙從A、B兩地出發(fā)相向而行。第一次在離A地600米處相遇。相遇后繼續(xù)前進，到達對方出發(fā)地后立即返回，第二次在離B地300米處相遇。求A、B兩地距離。??【反饋機制】學生獨立完成后，首先小組內互批A組題，重點依據“是否畫圖”、“算式依據是否清晰”進行互評。教師隨即利用投影展示具有代表性的B組題解法（包括正確和典型錯誤），引導學生聚焦“環(huán)形跑道相遇問題中‘路程和’是什么？”（一圈的長度）。對于C組題，請做出答案的學生簡要分享思路，重點揭示“第二次相遇時，兩人共走了幾個全程？”這一關鍵突破點，激發(fā)全體學生的深層思考。第四、課堂小結??旅程即將到站，我們來繪制一張屬于今天的“思維地圖”。請大家以“相遇問題”為中心，用關鍵詞和箭頭的方式，梳理我們今天學到了什么。（請幾位學生分享他們的思維導圖，教師整合板書）核心是“建?！保和ㄟ^畫線段圖這個法寶，把生活問題變成數(shù)學問題，提煉出路程和=速度和×時間這個核心模型，再用它去攻克不同時、會停頓等各種變式堡壘。??【作業(yè)布置】必做（基礎）：完成練習冊上關于標準相遇問題的3道題，要求必須配線段圖。選做（拓展）：1.尋找一個生活中的“相遇”或“合作”情境，編一道數(shù)學題并解答。2.探究：如果甲乙不是相向而行，而是同向而行，快者追慢者，那又會是什么模型？試著畫圖研究一下。六、作業(yè)設計基礎性作業(yè)（必做）：??1.鞏固概念：默寫相遇問題的核心公式，并用自己的話解釋每個量的含義。??2.標準應用：兩道標準的同時出發(fā)相向相遇應用題。要求：規(guī)范繪制線段圖，并列式解答。拓展性作業(yè)（建議大多數(shù)學生完成）：??3.情境應用（微型項目）：假設你和朋友計劃周末從各自家同時出發(fā)，前往中間的圖書館匯合。請通過地圖軟件估算兩家到圖書館的大致距離，并假設合理的步行速度，計算你們需要約在幾點同時出發(fā)，才能剛好在圖書館開門時間到達。寫出完整的計算過程。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）：??4.變式深究：自行設計一道“一方中途折返取物后再相遇”的復雜行程問題，并給出詳細解答。要求情節(jié)合理，線段圖清晰。??5.跨學科聯(lián)系：查閱資料，了解物理學中的“相對速度”概念。思考：在相遇問題中，“速度和”與“相對速度”有什么聯(lián)系？寫一份簡要的發(fā)現(xiàn)報告。七、本節(jié)知識清單及拓展??★1.相遇問題基本模型：指兩個物體從兩地同時出發(fā)，相向而行，最終在途中某點相遇的問題。其最核心、最通用的數(shù)量關系是：路程和=速度和×相遇時間。這是所有分析的出發(fā)點。??★2.線段圖建模法：解決相遇問題的首選策略。步驟：①畫一條線段表示總路程，標出兩端點（出發(fā)地）；②用箭頭從兩端向中間畫，表示相向而行；③標出已知的速度、距離；④在相遇點做標記。圖形能將復雜的動態(tài)關系靜態(tài)化、可視化。??★3.“路程和”概念：指從開始到相遇，兩個物體所行駛的路程總和。在標準同時出發(fā)問題中，路程和等于兩地的初始距離。這是模型中的“S”。??★4.“速度和”概念：指兩個物體單位時間內共同靠近的距離。即(v1+v2)。它衡量了兩人“合作”縮短距離的效率。???5.同時性理解：基本模型的前提是“同時出發(fā)”，從而保證“相遇時間”對兩者相同。若不同時，需先處理先行者單獨走的路程。???6.變式1：不同時出發(fā)的處理：先計算先行者在單獨時間內走過的路程，再從總路程中減去它，得到兩人“共同運動階段”的“路程和”。公式應用于此段路程和與速度和。???7.變式2：中途停頓的處理：將一方的停頓時間，等價轉化為另一方單獨前進的時間。即在這段時間內，總路程被單獨運動者消耗掉一部分，剩余路程再按相遇模型處理?？倳r間需加上停頓時間。??▲8.環(huán)形跑道相遇：在環(huán)形跑道上反向（相向）而行，第一次相遇時，兩人路程之和等于跑道一圈的長度。這是“路程和”概念在封閉路線上的應用。??▲9.多次相遇問題：從兩端出發(fā)的多次相遇中，第n次相遇時，兩人共走過的路程和通常是(2n1)個全程。理解這一點需要強大的空間想象和過程分析能力，通常作為拓展。???10.方程思想的滲透：對于復雜問題，設未知數(shù)（通常設時間為x），根據“甲路程+乙路程=總路程”列方程求解，是更通用的代數(shù)方法，為初中學習做鋪墊。八、教學反思??（假設課堂實況復盤）本節(jié)教學設計以“模型建構”為主線展開，從課堂反饋看，教學目標基本達成。通過前測，迅速識別出約20%的學生能直接套用公式但說不清原理，30%的學生畫圖困難。這為后續(xù)的差異化指導提供了明確靶向。導入環(huán)節(jié)的生活情境和動態(tài)演示成功激發(fā)了興趣，“化身分析師”的角色賦予讓學生代入感更強。??核心任務環(huán)節(jié)，任務一（基礎建模）中，讓學生先自由畫圖再引導優(yōu)化，比直接教授標準畫法更能暴露認知原點，生成性資源豐富。當有學生畫出“背對背”箭頭時，我意識到這是對“相向”理解不清，立即讓兩名學生上臺模擬表演，誤會瞬間消解。任務二（提煉公式）的數(shù)形結合推進順利，磁貼的動態(tài)演示是亮點，將抽象的“速度和”變得可觸摸。我追問：“如果不畫圖，只看文字，你能直接想到‘速度和’嗎？”不少學生搖頭，這恰恰證明了直觀模型對思維的支持作用。任務三、四（變式探究）是分化點。小組合作在這里發(fā)揮了關鍵作用，“兵教兵”讓理解較快的學生在講解中深化了思維，也讓困惑者得到同伴的即時幫助。我巡視時重點關注那些沉默的學生，提供“先畫甲單獨走的一段”等提示性腳手架。??對不同層次學生的剖析：基礎層學生在本課中最大的收獲是掌握了“畫圖→找路程和→用公式”的標準化流程，建立了解決此類問題的信心。他們可能在獨立應對全新變式時仍有困難，但有了可操作的方法步驟。進階層學生的思維在變式探究中得