1/53.2一般形式的柯西不等式教學(xué)目的（要求）：使學(xué)生認(rèn)識(shí)二維柯西不等式及其證明；培養(yǎng)學(xué)生用維柯西不等式的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：維柯西不等式的應(yīng)用。教學(xué)過程：溫故1、定理1：（二維形式的柯西不等式）若則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)2、變式：若則顯然當(dāng)時(shí)，3、定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)是兩個(gè)向量，則當(dāng)且僅當(dāng)中有一個(gè)是零向量或存在實(shí)數(shù)使得時(shí)，等號(hào)成立。4、定理3、（二維形式的三角形不等式）設(shè)，那么5、配湊的思想新課：推廣柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：設(shè)是兩個(gè)向量，則這里是平面向量，若為空間向量呢，構(gòu)造向量設(shè)間的夾角為，則仍有即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)2、歸納推理：維上的柯西不等式：證明：回顧前面的證法視則不等式為構(gòu)造二次函數(shù)即+當(dāng)或時(shí)不等式顯然成立當(dāng)至少有一個(gè)不等于0時(shí)，而恒成立。所以其4-4得：當(dāng)且僅當(dāng)有唯一零點(diǎn)時(shí)，以上不等式取等號(hào)。此時(shí)有唯一的實(shí)數(shù)使得若，則，不等式成立若，則綜上當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)不等式取等號(hào)。推測正確3、定理：一般形式的柯西不等式：設(shè)則即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)不等式取等號(hào)。4、思考：一般形式的三角形不等式及其證明4、柯西不等式的應(yīng)用：例1、已知，求證：證明：套用柯西不等式所以即原式得證。例2、若是不全相等的正數(shù)，證明證明：配湊柯西不等式因?yàn)槭遣蝗嗟龋圆荒艹闪?，所以即練?xí)討論：若是正數(shù)，求證：證明：例3、已知求的最小值。解：配湊柯西不等式得所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值例4、把一條長是的繩子截成三段，各圍成一個(gè)正方形，怎樣截法，才能使這三個(gè)正方形的面積最??？解：設(shè)截得的三段長分別為，則則三個(gè)正方形的面積和為：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以有最小值答：選用：例5、已知都是正實(shí)數(shù)，且求證：證明：由柯西