第=page11頁，共=sectionpages11頁北京市東城區(qū)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2},B={x∣?1<x<k}，且A?B，則實(shí)數(shù)k的值可以為(

)A.0 B.1 C.2 D.32.命題“?x∈R,sinx+cosx>0A.?x∈R,sinx+cosx≤0 B.?x∈R,sinx+3.不等式2x?1x+1<0的解集是(

)A.12,+∞ B.?1,12

C.4.設(shè)a、b、c∈R，且a<b<c，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.a+c>2b B.ab<ac C.a3<c5.下列函數(shù)中是偶函數(shù)且值域?yàn)镽的是(

)A.f(x)=x2 B.f(x)=1x C.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)P到x軸的距離為35，則cos2α的值為(

)A.725 B.?725 C.247.已知a>0,b>0，則“a+b≥2”是“ab≥1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)fx=①先向左平移a0<a<π個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)②先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移b0<b<π若兩種變換后得到的函數(shù)圖象完全重合，則以下結(jié)論正確的是(

)A.a=b B.a=2b C.2a=b D.2a?b=π9.在日常生活中，用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp=20lgpp0常見場(chǎng)景聲壓級(jí)/dB極安靜環(huán)境0～20安靜環(huán)境20～40日常輕聲環(huán)境40～60…………已知正常對(duì)話的聲壓約為2×10?2Pa，聲壓級(jí)約為60dB(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，A.當(dāng)聲壓變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r(shí)，聲壓級(jí)一定變?yōu)樵瓉淼膬杀?/p>

B.在極安靜環(huán)境里，聲壓不超過2×10?5Pa

C.在日常輕聲環(huán)境里，最大聲壓與最小聲壓的比值不超過8

D.10.已知函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)k(k>0)，使得對(duì)?x∈R都有f(x+k)=kf(x)，則這個(gè)函數(shù)可以是(

)(備注：不等式2x>x(x>0)恒成立)A.f(x)=mx+1(m>0) B.f(x)=(x?b)2(b>0)

C.f(x)=二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.已知命題p：若α,β∈(0,2π]，且cosα=?cosβ，則sinα=sinβ.能說明p為假命題的一組α與β的值為α=

，12.已知函數(shù)f(x)=x,x≤1,ax+a,x>1(a為常數(shù)).若f(x)存在最小值，則a的一個(gè)取值為

；若存在實(shí)數(shù)m，使得方程f(x)=m恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則13.關(guān)于定義域?yàn)镽的兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若f(x),g(x)均為偶函數(shù)，則f(x)+g(x)為偶函數(shù)；②若f(x),g(x)均有最大值，則f(x)g(x)有最大值；③若f(x)+g(x)為增函數(shù)，則f(x),g(x)可以不都是增函數(shù)；④若f(x)g(x)是以T為周期的函數(shù)，則f(x),g(x)均是以T為周期的函數(shù)．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題10分)已知集合A=x∣2x(1)求集合?R(2)若A∩B={x∣2≤x<4}，求A∪B．15.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=cosωx?3sinωx+b(0<ω<3)的最大值為(1)求ω,b的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．條件①：f(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為π2條件②：f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為π6注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．16.(本小題15分)已知關(guān)于x的不等式ax(1)當(dāng)a=1時(shí)，求此不等式的解集；(2)若該不等式的解集為?1,13，求(3)若該不等式對(duì)于x>3恒成立，求a的取值范圍．17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=log2a(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)若存在實(shí)數(shù)m,n(m≠n)使得f(m)=f(n)，證明：fm+n218.(本小題15分)在天文學(xué)中，變星是指亮度會(huì)隨時(shí)間變化的恒星，天文學(xué)家常用“視星等”來描述恒星的亮度.造父變星是一類“視星等”隨時(shí)間t呈周期性連續(xù)變化的變星，其“視星等”mt隨時(shí)間t的變化可近似地用函數(shù)mt=Asin2πTt+φ+B來表示，其中A為振幅，T為光變周期，B為平均“視星等”，φ為初相且觀測(cè)時(shí)間t0123456789“視星等”m4.55.04.53.53.03.54.55.04.53.5根據(jù)該天文學(xué)團(tuán)隊(duì)的記錄數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)求該造父變星的光變周期T和平均“視星等”B；(2)求t=3.5時(shí)該造父變星的“視星等”；(3)已知“視星等”數(shù)值越小，亮度越大.若變星在其一個(gè)光變周期內(nèi)“視星等”不高于3.2的時(shí)間能夠達(dá)到該光變周期的16及以上，則該天文學(xué)團(tuán)隊(duì)便將這顆變星的亮度視為“合格”，據(jù)此判斷該造父變星的亮度是否“合格”，并說明理由．19.(本小題15分)設(shè)M是由有限個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，記M為集合M中的元素個(gè)數(shù)．若存在非空集合A1,A2,?,Am,B①對(duì)?i≠j(i,j=1,2,?,m),A②對(duì)?i,j=1,2,?,m，若Ai∩B(1)若M={1,2,3,4}．(i)請(qǐng)寫出一個(gè)集合M的2維伴隨拆分；(ii)證明：集合M不存在3維伴隨拆分；(2)若集合M存在10維伴隨拆分，求M的最小值．

參考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.B

8.C

9.D

10.D

11.π6(答案不唯一)

；

7π612.0(不唯一)；0,113.①③

14.

解：(1)由于A=x∣所以?(2)因?yàn)锳∩B={x∣2≤x<4}，A=x∣x≥2，B={x∣m<x<m+3}所以m<2m+3=4，解得：m=1則B={x∣1<x<4}，則A∪B=xx15.

解：(1)∵f(x)=cosωx?∴f(x)=2cos∴f(x)=2cos∵x∈R，∴?1≤cosωx+π∴f(x)的最大值為2+b，∵f(x)的最大值為3，∴2+b=3，∴b=1，∴f(x)=2若選擇條件①，∵f(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為π2∴T2=π2∵0<ω<3，∴ω=2；若選擇條件②：∵f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為π6，∴f(∴cos∴π當(dāng)π6ω+π∵0<ω<3，∴ω=2，當(dāng)π6ω+π∵0<ω<3，∴ω?zé)o解；綜上可知，ω=2，b=1．(2)∵ω=2，b=1，∴f(x)=2cos∵?π+2kπ≤2x+π3≤2kπ(k∈Z)∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間?2π

16.

解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，不等式為x2?1>2x+2，即解得x>3或x<?1，所以此不等式的解集為(?∞,?1)∪(3,+∞)；(2)因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?1,1所以a<0，?1和13為方程a將方程化成一般式a所以?1×13=(3)因?yàn)閍x2?1所以a>2x+2又y=2x?1在(3,+∞)上單調(diào)遞減，所以所以a的取值范圍為[1,+∞)．

17.

解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在f(x)=log所以1=log2a+1所以f(x)=log(2)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增；證明如下：f(x)=log任取x1,x則f=log因?yàn)閤2因?yàn)閤1,x2∈所以x2x12+所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增；(3)因?yàn)閒(m)=f(n)，所以log所以log因?yàn)閥=log2x單調(diào)遞增，所以m+又m≠n，所以mn=1，因?yàn)閙,n>0且m≠n，所以m+n2由(2)可知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以fm+n

18.

解：(1)依題意，該造父變星的光變周期T=6；因?yàn)椤耙曅堑取眒t的最小值和最大值分別為3.0和5.0，所以平均“視星等”B=(2)由(1)知，T=6，B=4；又A=5?32=1，所以mt=sinπ3t+φ+4，所以所以當(dāng)t=3.5時(shí)，m3.5=sinπ3(3)由變星在其一個(gè)光變周期內(nèi)“視星等”不高于3.2知，mt=sin如圖，設(shè)?t1,t2∈0,+∞所以t1?t因?yàn)?0.8>?32，所以?t1所以可以判斷該造父變星的亮度是“合格”的．

19.

解：(1)(i)若m=2，則存在非空集合A1,A且滿足條件：①對(duì)A1∩A2=?,B1∩B取A1={1,2},A滿足A1∪A2={1,2,3,4}，BA1∩B1={1}，A不存在Ai∩B故一個(gè)集合M的2維伴隨拆分為A1={1,2},A(ii)假設(shè)集合M存在3維伴隨拆分，由于|M|=4，所以Ai,Bj只能取不妨設(shè)A1其中{a,b,c,d}={x,y,z,w}={1,2,3,4}．若a=x，則A1∩B若a=