江西吉安市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（測試時(shí)間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.傾斜角為135°，在y軸上的截距為﹣1的直線方程是（）A.x﹣y+1＝0 B.x﹣y﹣1＝0 C.x+y﹣1＝0 D.x+y+1＝02.圓心為且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3.二項(xiàng)式的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)是（）A.15 B.20 C.-160 D.2404.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.4 B.8 C.16 D.205.如圖，三棱錐中，，且，則（）A. B.C. D.6.從5人中選出4人分別到上海、香港、臺(tái)北、澳門四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這5人中甲、乙兩人不去上海游覽，則不同的選擇方案共有（）A.120種 B.96種 C.72種 D.48種7.已知過原點(diǎn)直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B. C.10 D.8.已知點(diǎn)為橢圓上第一象限的一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為的平分線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線PM的垂線，垂足為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積為（）A B.8 C. D.12二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，10.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.11.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線．已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列說法中正確的有（）A.的橫坐標(biāo)取值范圍是 B.不存在點(diǎn)，使得C.最小值為4 D.的面積最大值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為__________.13.直線與直線，若，則__________.14.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某社區(qū)文化節(jié)需安排4個(gè)不同節(jié)目（古箏演奏、相聲、吉他彈唱、民族舞），按表演先后順序排定4個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段表演一個(gè)節(jié)目，且節(jié)目不重復(fù)．請(qǐng)根據(jù)以下不同條件，分別計(jì)算符合要求節(jié)目安排方案總數(shù)：（1）民族舞節(jié)目不能安排在第一個(gè)表演時(shí)段；（2）古箏演奏節(jié)目與相聲節(jié)目必須相鄰.16.已知雙曲線的離心率，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且線段PF的中垂線傾斜角為，求的值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.17.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為4，且圓心位于第二象限，（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓于另一點(diǎn)，連接，，若扇形的面積為，求直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面ABCD；（2）若點(diǎn)都在半徑為的球的表面上，（i）求PD的長度；（ii）棱PB上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.已知點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作橢圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，其中點(diǎn)在軸下方，連接.（i）求兩點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）過點(diǎn)作橢圓的一條割線，交橢圓于兩點(diǎn)（是四個(gè)不同的點(diǎn)），再過點(diǎn)作一條與直線平行的直線，該直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求證：直線DG恒過定點(diǎn).江西吉安市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（測試時(shí)間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.傾斜角為135°，在y軸上的截距為﹣1的直線方程是（）A.x﹣y+1＝0 B.x﹣y﹣1＝0 C.x+y﹣1＝0 D.x+y+1＝0【答案】D【解析】【分析】先求出直線的斜率，再利用在y軸上的截距是﹣1，用斜截式寫出直線方程．【詳解】∵直線傾斜角是135°，∴直線的斜率等于﹣1，∵在y軸上的截距是﹣1，由直線方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1，即y＝﹣x﹣1，故選：D．2.圓心為且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件求得圓的半徑，進(jìn)而可求解.【詳解】由題意可得圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C3.二項(xiàng)式的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)是（）A.15 B.20 C.-160 D.240【答案】C【解析】【分析】由通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，第四項(xiàng)系數(shù)，故選：C4.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.4 B.8 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】由條件得到，設(shè)，結(jié)合橢圓的定義及勾股定理即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，又因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則且，得到，所以.故選：B5.如圖，三棱錐中，，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，再結(jié)合即可求解.【詳解】.故選：D6.從5人中選出4人分別到上海、香港、臺(tái)北、澳門四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這5人中甲、乙兩人不去上海游覽，則不同的選擇方案共有（）A.120種 B.96種 C.72種 D.48種【答案】C【解析】【分析】先確定去上海游覽的人，再確定剩下三個(gè)城市游覽的人，即可求解.【詳解】分兩步：首先從除甲乙之外的3人中選1人去上海游覽，共有種，其次從剩余4人中選3人到其他三個(gè)城市游覽，共有種，共有種，故選：C7.已知過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】由原點(diǎn)在已知圓內(nèi)部，確定當(dāng)直線時(shí)，弦長最小，進(jìn)而可求解.【詳解】由，即原點(diǎn)已知圓內(nèi)部，由于直線過原點(diǎn)，要使最小，只需直線，而，所以最小.故選：A8.已知點(diǎn)為橢圓上第一象限的一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為的平分線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線PM的垂線，垂足為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積為（）A. B.8 C. D.12【答案】C【解析】【分析】延長，交的延長線于點(diǎn)，確定為等腰三角形，進(jìn)而得到，設(shè)，再由橢圓定義求得，進(jìn)而可求解.【詳解】如圖所示，延長，交的延長線于點(diǎn)，因?yàn)镻H為的平分線，，故為等腰三角形，即為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以O(shè)H為的中位線，故，設(shè)，由橢圓定義知，，故，解得，故在中，邊上高為.故面積為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)平行得到比例關(guān)系，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，根據(jù)垂直得到向量數(shù)量積為0，進(jìn)而可求出；選項(xiàng)，利用模長公式可求出；選項(xiàng)，先求出兩向量夾角余弦，再由同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦值．【詳解】，則，可得對(duì)；B：，則，可得對(duì)；C：，所以，可得或，C錯(cuò)；D：，則，故，則對(duì)故選：ABD10.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，令，即可判斷，對(duì)于BC，由，由系數(shù)計(jì)算公式和令進(jìn)行判斷，對(duì)于D，分別令和，得到和，進(jìn)而可判斷.【詳解】對(duì)于A，取，得，A錯(cuò)；對(duì)于B,展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，B對(duì)；對(duì)于C，令，可得二項(xiàng)式，展開式中各項(xiàng)系數(shù)均為正，即，又，C錯(cuò)；對(duì)于D，取，得，取，得，聯(lián)立解得，因此，D對(duì).故選：BD11.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線．已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列說法中正確的有（）A.的橫坐標(biāo)取值范圍是 B.不存在點(diǎn)，使得C.最小值為4 D.的面積最大值為2【答案】ACD【解析】【分析】利用軌跡方程的代數(shù)關(guān)系來證明相關(guān)選項(xiàng)，對(duì)于A，利用縱坐標(biāo)放縮去求橫坐標(biāo)范圍；對(duì)于B，利用方程組消元看是否有解即可得；對(duì)于C，借助基本不等式計(jì)算即可得；對(duì)于D，利用定義求面積最大值即可得.【詳解】由，可得，即，即，整理得；對(duì)于A，由，則，故，即，解得，即的橫坐標(biāo)取值范圍是，故A對(duì)；對(duì)于B，若存在點(diǎn)，使得，則有，又，則，即，解得，所以存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C對(duì)；對(duì)于D，，則面積最大值為2，由上知存在的最大值點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為__________.【答案】2【解析】分析】利用雙曲線漸近線定義計(jì)算即可得.【詳解】依題意，則雙曲線的漸近線為，又雙曲線一條漸近線方程為，所以，故，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.13.直線與直線，若，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，列出有關(guān)的等式，即可求出實(shí)數(shù)的值，再驗(yàn)證直線的關(guān)系.【詳解】由，則，化簡得，可得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)不是直線，故舍去，所以故答案為：.14.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值；【詳解】設(shè)直線的方向向量為，由材料可知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，因?yàn)橹本€是兩平面與的交線，則有，即且，不妨取所以，.則直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某社區(qū)文化節(jié)需安排4個(gè)不同節(jié)目（古箏演奏、相聲、吉他彈唱、民族舞），按表演先后順序排定4個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段表演一個(gè)節(jié)目，且節(jié)目不重復(fù)．請(qǐng)根據(jù)以下不同條件，分別計(jì)算符合要求的節(jié)目安排方案總數(shù)：（1）民族舞節(jié)目不能安排在第一個(gè)表演時(shí)段；（2）古箏演奏節(jié)目與相聲節(jié)目必須相鄰.【答案】（1）18（2）12【解析】【分析】（1）先從古箏演奏、相聲、吉他彈唱選一個(gè)安排第一個(gè)表演，再對(duì)剩下3個(gè)全排列即可求解；（2）將古箏演奏和相聲看作一個(gè)整體，再和吉他彈唱、民族舞全排列即可求解.【小問1詳解】先安排第一個(gè)表演時(shí)段，有古箏演奏、相聲、吉他彈唱3種選擇；剩下3個(gè)時(shí)段，對(duì)剩下3個(gè)節(jié)目全排列，有種，所以總數(shù)為種；【小問2詳解】將古箏演奏和相聲看作一個(gè)“整體”，內(nèi)部有種排列方式；再把這個(gè)“整體”和吉他彈唱、民族舞進(jìn)行全排列，有種排法，所以總數(shù)為種.16.已知雙曲線的離心率，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且線段PF的中垂線傾斜角為，求的值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率得到，再將代入雙曲線方程得到，聯(lián)立求解即可；（2）法一：由直線垂直關(guān)系確定斜率，得到其直線方程，再聯(lián)立雙曲線方程求得坐標(biāo)，即可求解；法二：設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合余弦定理得，在中，再結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】∵雙曲線過點(diǎn)，代入得解得.∴雙曲線方程為【小問2詳解】解法一∵線段PF的中垂線傾斜角為，∴中垂線斜率為.∵中垂線與垂直，∴直線的斜率為.又直線過點(diǎn)，∴直線的方程為.聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，.解法二∵線段PF的中垂線傾斜角為，且中垂線與PF垂直，設(shè)中垂線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則，又，所以即直線PF的傾斜角為，與漸近線的傾斜角相等，即直線PF與漸近線平行.∴點(diǎn)在雙曲線左支上.設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線定義可得．設(shè)，則.在中，由余弦定理得：，解得，即.在中，由余弦定理得：17.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為4，且圓心位于第二象限，（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓于另一點(diǎn)，連接，，若扇形的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，再根據(jù)圓半徑及過點(diǎn)，列出相應(yīng)方程組，即可求解；（2）由扇形面積可求得圓心角，即可求出圓心到直線距離，再結(jié)合直線與圓相交的弦長公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓心，因圓心在第二象限，故，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.將代入方程，得：解得或（舍去）所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】扇形面積公式為，已知，代入得：，解得，即圓心角.所以圓心到直線的距離.①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線軸，不合題意，舍去.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，即.則，解得.所以直線的方程為或.18.如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面ABCD；（2）若點(diǎn)都在半徑為的球的表面上，（i）求PD的長度；（ii）棱PB上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）（i）（ii）棱PB上存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).【解析】【分析】（1）連接BD，過點(diǎn)作于點(diǎn)，通過勾股定理得到，進(jìn)而得到平面BDP，得到，再結(jié)合即可求證；（2）（i）以點(diǎn)為原點(diǎn)，DC，DP所在直線分別為軸，軸，在平面ABCD上作過點(diǎn)且垂直于CD的直線為軸，設(shè)，得到球心為.結(jié)合半徑列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】連接BD，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則.在Rt中，.在Rt中，..，即，且平面平面BDP，平面BDP.，又，且AD與BC相交，平面平面ABCD.平面【小問2詳解】（i）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，DC，DP所在直線分別為軸，軸，在平面ABCD上作過點(diǎn)且垂直于CD的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.為等腰梯形，且外接圓圓心為CD的中點(diǎn)，記為.根據(jù)球心的性質(zhì)可知，球心在過點(diǎn)且垂直于底面的垂線上.設(shè)，則球心為.由球的半徑，得，解得，故.從而.（ii）由（i）可知，.設(shè)，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則.故可取.設(shè)平面的一個(gè)法向