運城市2025-2026學年第一學期期末調(diào)研測試高三數(shù)學試題本試題滿分150分，考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2．答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，若，則（）A. B. C.4 D.123.如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，，點是弧的中點，則三棱錐的體積為（）A B. C. D.14已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.25.甲、乙、丙、丁、戊、己共6個班參加元旦合唱比賽，決出第1名到第6名的名次．甲、乙兩個班的學生去詢問成績，評審老師對甲班學生說：“很遺憾，你們班和乙班都不是第1名．"對乙班學生說：“你們班當然不會是最后1名，”從這兩個回答分析，6個班的名次排列可能的不同情況種數(shù)為（）A.480 B.384 C.360 D.2886.以為焦點，直線為準線的拋物線的方程為（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.已知橢圓左、右焦點分別為、，點、、在橢圓上，且滿足，，若橢圓的離心率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期是，則（）A. B.在上的最大值是C.是的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增10.如圖，在中，，BM交CN于點E，且，則（）A B.C.的最大值為 D.的最小值為11.已知函數(shù)的定義域為，定義集合，則（）A. B.若，則存在最小值C.若，則是增函數(shù) D.若，則是偶函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨機變量，且，則__________．13.已知函數(shù)，則__________．14.已知數(shù)列的前n項和為，若，則_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）設(shè)點為邊的中點，，的面積為，求，．16.如圖，三棱錐中，平面，為以B為頂角的等腰三角形，M為的中點，N為的中點，．（1）證明：點M為三棱錐的外接球球心；（2）求與平面所成角的正弦值．17.在新能源電動汽車的電池質(zhì)量考核中，“典型里程衰減”是一個重要的指標．某公司的質(zhì)檢員甲從某型號電池的A批次產(chǎn)品中隨機獲取了一個容量為8的樣本進行測試，并記錄每個樣本點在其性能衰減至初始值的80%時，汽車所行駛的總公里數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)（單位：萬公里）：24，23，26，22，24，23，26，28．（1）求樣本第40百分位數(shù)，平均數(shù)和方差；（2）若行駛的總公里數(shù)超過24萬公里，則認為該電池為優(yōu)等品．用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，現(xiàn)從A批次電池中隨機抽取3個電池進行檢測，求這3個電池中優(yōu)等品的個數(shù)不少于2個的概率；（3）該公司的質(zhì)檢員乙同時測試了該型號電池的B批次產(chǎn)品，得到的樣本平均數(shù)為24.4，方差為1．若A，B兩個批次電池質(zhì)量按照“高均值”和“低波動性”進行選擇，你認為應(yīng)選擇哪個批次的電池？請說明你的理由18.已知雙曲線的漸近線方程為，且該雙曲線過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設(shè)，，過點的直線交雙曲線于點，，直線，的斜率分別為，．（i）證明：為定值；（ii）過作軸的垂線分別交直線，于點，，證明：，，三點縱坐標成等差數(shù)列．19.已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，證明：（i）；（ii）．

運城市2025-2026學年第一學期期末調(diào)研測試高三數(shù)學試題本試題滿分150分，考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2．答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的補集和交集運算求解.【詳解】由已知得，或，所以，所以．故選：D2.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，若，則（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求出公差和公比，進而得到對應(yīng)的通項公式，將數(shù)值代入后作差即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.3.如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，，點是弧的中點，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，且，進而得，再計算體積即可.【詳解】因為是圓的直徑，點是弧的中點，所以，且，所以，因為垂直于圓所在的平面，，所以三棱錐的體積為．故選：C4.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)，得到，代入求解.【詳解】設(shè)，則，所以，即，即，解得，即，所以，故選：A5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6個班參加元旦合唱比賽，決出第1名到第6名的名次．甲、乙兩個班的學生去詢問成績，評審老師對甲班學生說：“很遺憾，你們班和乙班都不是第1名．"對乙班學生說：“你們班當然不會是最后1名，”從這兩個回答分析，6個班的名次排列可能的不同情況種數(shù)為（）A.480 B.384 C.360 D.288【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，先確定第一名的班級，再確定最后一名的班級，再確定沒有要求的班級名次即可.【詳解】分步乘法計數(shù)原理，分三步完成．第1名只能是丙、丁、戊、己這4個班，有種可能；乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有種可能；剩余4個班的名次有種可能．所以6個班的名次排列有種不同情況．故選：B6.以為焦點，直線為準線的拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義得，再整理即可得答案.【詳解】設(shè)為拋物線上任意一點，根據(jù)拋物線的定義可得，即，化簡得．所以，以為焦點，直線為準線的拋物線的方程為故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，即；設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以.8.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點、、在橢圓上，且滿足，，若橢圓的離心率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一：設(shè)、、，利用平面向量的坐標運算得出，同理得出，由此得出，令，則，即可得出的取值范圍；解法二：利用二級結(jié)論得出，推導出，，由此得出，結(jié)合可得出的取值范圍.【詳解】解法一：設(shè)、、，易知、，由可得，所以，整理得，又因為，所以，則，所以，由，可得，同理，所以，所以．因，令，則，，所以．解法二：因為，所以．又（二級結(jié)論），其中，故，所以，故，同理，所以．由，則，可得．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期是，則（）A. B.在上的最大值是C.是的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式求出的值，可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的最值可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，因為該函數(shù)的最小正周期為，故，所以，A正確；對于B選項，當時，，當時，取得最大值，B錯誤；對于C選項，當時，，此時函數(shù)取得最大值，所以是函數(shù)的對稱軸，C正確；當時，，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對.故選：ACD.10.如圖，在中，，BM交CN于點E，且，則（）A. B.C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】取CN的中點H，連接MH，易得，，從而，再逐項判斷.【詳解】如圖，取CN的中點H，連接MH，則，且，所以，且，所以，所以，即．對于A，，故A選項正確；對于B，，故B選項正確；由，可得，即，即，所以，當且僅當，即時，取得最小值為，故C選項錯誤，D選項正確．故選:ABD11.已知函數(shù)的定義域為，定義集合，則（）A. B.若，則存在最小值C.若，則是增函數(shù) D.若，則是偶函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)可判斷A；等價于，從而可判斷B；根據(jù)增函數(shù)的定義可判斷C；舉反例可判斷D.【詳解】，所以，故A選項正確；若，則，故存在最小值，故B選項正確；，且，可知，即，故是增函數(shù)，故C選項正確；對于函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖：，令，由圖知解集為，即，而，即不是偶函數(shù)，故D選項錯誤．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨機變量，且，則__________．【答案】0.3##【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性有，即可求.【詳解】因為，即，且，所以，則.故答案為：13.已知函數(shù)，則__________．【答案】##05【解析】【分析】將和分別代入，然后對進行化簡求值.【詳解】，故．故答案為：14.已知數(shù)列的前n項和為，若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)結(jié)合與的關(guān)系化簡可得，進而得到數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，進而求解即可.【詳解】當時，，變形得，故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）設(shè)點為邊的中點，，的面積為，求，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡可得，再結(jié)合，即可求得，從而可求解；（2）由題可得，兩邊同時平方后化簡可得，再結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，則，又因為，則，所以，解得.【小問2詳解】由題得，所以，所以.又因為，則①由，得，②由①②得.16.如圖，三棱錐中，平面，為以B為頂角的等腰三角形，M為的中點，N為的中點，．（1）證明：點M為三棱錐的外接球球心；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及線面垂直的性質(zhì)確定、均為直角三角形，即可證；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標系，標出相關(guān)點坐標，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又，所以．因為為以B為頂角的等腰三角形，所以，所以，所以，又M為PC的中點，所以在中，，同理，在中，所以，則點M為三棱錐的外接球球心；【小問2詳解】如圖，以A為原點，過點A且垂直于平面PAC的直線為x軸，AC，AP所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系，則，所以，所以．設(shè)平面PBC一個法向量為，則，取，解得，則，所以，故AN與平面PBC所成角的正弦值為.17.在新能源電動汽車的電池質(zhì)量考核中，“典型里程衰減”是一個重要的指標．某公司的質(zhì)檢員甲從某型號電池的A批次產(chǎn)品中隨機獲取了一個容量為8的樣本進行測試，并記錄每個樣本點在其性能衰減至初始值的80%時，汽車所行駛的總公里數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)（單位：萬公里）：24，23，26，22，24，23，26，28．（1）求樣本的第40百分位數(shù)，平均數(shù)和方差；（2）若行駛的總公里數(shù)超過24萬公里，則認為該電池為優(yōu)等品．用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，現(xiàn)從A批次電池中隨機抽取3個電池進行檢測，求這3個電池中優(yōu)等品的個數(shù)不少于2個的概率；（3）該公司的質(zhì)檢員乙同時測試了該型號電池的B批次產(chǎn)品，得到的樣本平均數(shù)為24.4，方差為1．若A，B兩個批次電池質(zhì)量按照“高均值”和“低波動性”進行選擇，你認為應(yīng)選擇哪個批次的電池？請說明你的理由【答案】（1）24，24.5，3.5（2）（3）B批次，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)，平均數(shù)和方差的定義求解即可；（2）先得到從樣本中隨機抽取1個電池，該電池為優(yōu)等品的概率為，可估計從A批次電池中隨機抽取1個電池，該電池為優(yōu)等品的概率為，進而求解即可；（3）求出平均值和方差降低的百分比，即可進行選擇.【小問1詳解】把樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：22，23，23，24，24，26，26，28，因為，所以樣本的第40百分位數(shù)取第4個數(shù)據(jù)，為24．樣本的平均數(shù)為，方差為．【小問2詳解】樣本數(shù)據(jù)中超過24的有3個，故從樣本中隨機抽取1個電池，該電池為優(yōu)等品的概率為，用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，所以從A批次電池中隨機抽取1個電池，該電池為優(yōu)等品概率為，故所求概率為．【小問3詳解】雖然B批次產(chǎn)品的平均值比A批次降低了，但B批次產(chǎn)品的方差比A批次降低了，說明B批次電池的質(zhì)量更好，所以應(yīng)選擇B批次的電池．18.已知雙曲線的漸近線方程為，且該雙曲線過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設(shè)，，過點的直線交雙曲線于點，，直線，的斜率分別為，．（i）證明：為定值；（ii）過作軸的垂線分別交直線，于點，，證明：，，三點縱坐標成等差數(shù)列．【答案】（1）（2）（i）證明見解析（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線系方程，代入點坐標求解即可.（2）（i）設(shè)出直線方程與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和