第第頁2026年高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬卷（考試時間：180分鐘）一、填空題1．在中，的最小值為.2．已知，則．3．函數(shù)的值域是．4．求．5．已知，則該方程所有實(shí)根個數(shù)與所有實(shí)根乘積的比值為.6．的所有極值點(diǎn)依次為的，則．7．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，若的面積不超過3，則滿足條件的整點(diǎn)M個數(shù)為．8．已知數(shù)列滿足，則最接近的整數(shù)為.二、解答題9．設(shè)，滿足．(1)證明：若，則當(dāng)時，．(2)若存在滿足，證明．

10．如圖，是的外接圓，是弧（不含）上一點(diǎn)，為弧的中點(diǎn).為線段上一點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，過作的平行線交弧于點(diǎn).已知上的點(diǎn)滿足被平分.證明：.

11．設(shè)的定義域?yàn)?，且對，，及，?1)（），，及，證明：.(2)設(shè)，證明：.一、填空題1．在中，的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式計(jì)算結(jié)合換元法計(jì)算得出最小值.【詳解】由余弦定理及均值不等式，，所以.于是由正弦定理，原式.令，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故原式的最小值為.故答案為：3.2．已知，則．【答案】，【分析】利用和差化積公式化簡求解即可，注意集合的互異性.【詳解】∵∴由和差化積公式得：∴∴∴或當(dāng)時，或，，此時，不滿足集合的互異性，故舍去，當(dāng)時，，，∴，，滿足題意∴，故答案為：，.3．函數(shù)的值域是．【答案】【分析】將函數(shù)變形為，則表示拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)和x軸的距離之和，由幾何意義即可得到答案．【詳解】將變形可得，設(shè)，則的軌跡方程為，設(shè)，則表示拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A和x軸的距離之和，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，交拋物線于點(diǎn)，故用所以.故答案為：.4．求．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)加法的幾何意義求解.【詳解】注意到，而我們易得，所以．故答案為：．5．已知，則該方程所有實(shí)根個數(shù)與所有實(shí)根乘積的比值為.【答案】12【分析】采用三角換元，令，代入題干中的式子解得或或，即可求出答案.【詳解】令.則，

即，即，由于，所以或或或.解得或或或（舍）.因而其全部解為或或.由題意知，所求值為：故答案為：12.6．的所有極值點(diǎn)依次為的，則．【答案】【分析】先證明的所有極值點(diǎn)恰為其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后研究在上的零點(diǎn)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】由于，而當(dāng)時，所以的極值點(diǎn)都不小于.同時，由于當(dāng)時，有，即.假設(shè)，則，得.但，矛盾，所以，故.這表明，的全體極值點(diǎn)就是的全體零點(diǎn).由于題目所求的是，而在有限區(qū)間上只有有限個零點(diǎn)，故我們可以只考慮在上的零點(diǎn).此時，若，則由，知，從而由，知.而對有，，其符號總是恒定的，所以在上單調(diào).結(jié)合，，知.這表明，當(dāng)時，的零點(diǎn)均落入某個，且在每個上恰有一個零點(diǎn).設(shè)上的零點(diǎn)為，則.而，，故.而，故.同理有.所以.這就得到，所以.故答案為：.7．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，若的面積不超過3，則滿足條件的整點(diǎn)M個數(shù)為．【答案】60【分析】設(shè)，由題意可得直線OA的方程為，表示出的面積，設(shè)，，則代入化簡討論即可.【詳解】設(shè)，直線OA的方程為，即，，設(shè)，則，，代入并化簡得，當(dāng)時，三點(diǎn)不能組成三角形，舍去；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；當(dāng)時，，，有5個整點(diǎn)；根據(jù)對稱性，當(dāng)時，也分別有5個整點(diǎn)．∴共有60個整點(diǎn)．故答案為：60【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出的面積，由的面積不超過3，列不等式討論，考查分類討論的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.8．已知數(shù)列滿足，則最接近的整數(shù)為.【答案】4【分析】令，將原遞推化簡為可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.進(jìn)而得到，再根據(jù)的范圍確定的范圍即可【詳解】令，則且，原遞推即為，整理后即為，由得，即，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以.所以，另一方面，，所以，綜上所述，，所以與之最接近的整數(shù)為4.故答案為：4二、解答題9．設(shè)，滿足．(1)證明：若，則當(dāng)時，．(2)若存在滿足，證明．【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）構(gòu)造，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，再構(gòu)造，，得到，從而證明出結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到結(jié)論.【詳解】（1）令，則，由于，，故，即，又，，，故，由于在上單調(diào)遞減，故，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，設(shè)，，則，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，所以在上單調(diào)遞減，由于，，故，即，故，即；（2）存在滿足，即在上有根，由（1）可得與等號成立的條件均為故若存在滿足，則有.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)證明不等式或比較大小，是高考?？碱}目，需要將不等式變形為同種結(jié)構(gòu)或常見的不等式，如或，再構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行求解.10．如圖，是的外接圓，是?。ú缓┥弦稽c(diǎn)，為弧的中點(diǎn).為線段上一點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，過作的平行線交弧于點(diǎn).已知上的點(diǎn)滿足被平分.證明：.【答案】證明見解析【詳解】設(shè)是弧的中點(diǎn)，，分別與交于點(diǎn)，.由知，，，共圓.由知，，，共圓，即，，，，五點(diǎn)共圓.注意，同理可知與相似.因此，即.由平分可知：因此.即是的平分線，結(jié)合可知是的垂直平分線，故.11．設(shè)的定義域?yàn)椋覍?，，及，?1)（），，及，證明：.(2)設(shè)，證明：.【答案】(1)證明過程見解析.(2)證明過程見解析.【分析】（1）結(jié)合題目條件，用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）令，先根據(jù)得出，；再根據(jù)題目條件得出整理可得；同理得出；最后根據(jù)不等式的傳遞性即可得證.【詳解】（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：由題意可知：對，，及，有，故當(dāng)時，不等式成立.假設(shè)不等式對，時成立，即（），