試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁肇慶市2026屆高中畢業(yè)班第一學期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，則（

）A．0 B． C．2 D．2．已知集合，則集合的子集的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．323．已知雙曲線的離心率為2，則其漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．從分別標有數(shù)字，，，，的5張卡片中隨機一次性抽取2張，則抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為非負數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．已知直線與圓交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，點到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知圓臺的上、下底面的面積分別為和，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．8．在三棱錐中，，平面與平面夾角的余弦值為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知隨機變量，則（

）A．B．越大，隨機變量的方差越大C．隨機變量的分布越集中，的值越小D．的取值在內(nèi)是小概率事件10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有且僅有6個實數(shù)根，則這6個實數(shù)根的和為11．已知拋物線的焦點為為坐標原點，過點的直線交拋物線于兩點，分別過兩點作準線的垂線，垂足為是的中點，則（

）A．的最小值為4 B．若，則點的橫坐標為C． D．若，則直線的斜率為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式的常數(shù)項為．13．已知，分別為等差數(shù)列，的前項和，若，則．14．已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．16．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求角的值．(2)若的面積為，求線段長度的最小值．17．已知橢圓：的焦距為，點在上．(1)求的方程．(2)直線與交于兩點．（i）若線段的中點為，求直線的方程；（ii）在（i）的條件下，是橢圓上任意一點，求面積的最大值．18．如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，．(1)設(shè)平面與平面的交線為，證明：．(2)證明：．(3)當四棱錐的體積最大時，四棱錐是否存在內(nèi)切球，若存在，求內(nèi)切球的半徑，若不存在，請說明理由．19．學校社團準備了編號1到的個盲盒，不同的編號對應(yīng)不同的獎品（編號越大，獎品越好）．規(guī)則如下：參與者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一個盲盒，抽到的編號最小的盲盒對應(yīng)的獎品即為最終獎品，設(shè)獲得的獎品對應(yīng)的盲盒編號為．(1)當，時，求最終拿到編號1的獎品的概率和拿到編號2的獎品的概率．(2)若．①求最終拿到編號不小于的獎品的概率；②用表示出期望．(3)當時，證明：期望．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】首先化簡得到，再求即可.【詳解】因為，則，所以．故選：C2．B【分析】求出集合，利用集合的子集個數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以．因為是整數(shù)，所以，故集合共有個子集．故選：B3．D【分析】根據(jù)離心率求出，進而可得漸近線方程.【詳解】由題意知，，即，因為，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：D4．C【分析】計算抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為負數(shù)的概率，再計算抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為非負數(shù)的概率即可.【詳解】從5張卡片中抽取2張，共有種可能，抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為負數(shù)，即一正一負，共種可能，所以抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為負數(shù)的概率，則抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為非負數(shù)的概率．故選：C.5．D【分析】方法一：由三角形面積公式可得當時，的面積達到最大，進而可得圓心到直線的距離，即可得解；方法二：利用弦心距公式求出弦長，得出面積的表達式，得出最大值，從而得出答案；方法三：利用點到直線的距離公式和弦長公式可以求出的面積是關(guān)于的一個式子，得出最大值，從而得出答案.【詳解】方法一：因為，所以當，即時，的面積最大，此時是等腰直角三角形，點到直線的距離為．方法二：設(shè)點到直線的距離為，則，因為與圓相交，且不經(jīng)過點，所以，所以當時，取最大值，即取最大值，此時，即點到直線的距離為．方法三：設(shè)點到直線的距離為．則，聯(lián)立化簡，得，則，因為，所以，當時，取最大值，即取最大值，此時．故選：D6．C【分析】設(shè)圓臺的母線為，高為，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式求出母線，從而求出，最后由圓臺的體積公式計算可得.【詳解】依題意，記圓臺的上、下底面半徑分別為，則解得設(shè)圓臺的母線長為，則，解得，所以圓臺的高，所以圓臺的體積．故選：C7．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可求解.【詳解】因為，且，所以是奇函數(shù)，排除選項B；當時，，排除選項C；因為，所以，排除選項D．故選：A8．B【分析】根據(jù)二面角的大小求出的值，證明成立，則三棱錐為正方體的一個角，據(jù)此求出外接球的半徑便可得到表面積．【詳解】取的中點，連接，因為，所以，所以就是平面與平面的夾角，設(shè)，則，則，即，解得，所以，即，同理，，將三棱錐放置在如圖的正方體中，由正方體的外接球的直徑為正方體的對角線長知，三棱錐外接球的直徑，所以三棱錐外接球的表面積．故選：B．9．ACD【分析】應(yīng)用正態(tài)分布性質(zhì)及對稱性判斷各個選項即可．【詳解】對于A，因為隨機變量，所以，所以，故A正確；對于B，，而非方差，故B錯誤；對于C，隨機變量的分布越集中，說明數(shù)據(jù)的波動越小，方差越小，而，則的值越小，故C正確；對于D，根據(jù)原則，故D正確．故選：ACD．10．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可求解函數(shù)的解析式，即可求解AB，由函數(shù)圖象的平移即可求解C，令求解即可.【詳解】由題圖可知，函數(shù)的最大值為3，即，，，，，因為的圖象過點，，，解得，由題圖可知，的最小正周期滿足，即，解得，，，故A正確；，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到新函數(shù)，故C錯誤；方法一：當時，即，，或，即或，的6個根分別為，，與，，，6個根的和為，故D正確．方法二：由題意知，，對稱軸方程為，方程在上的6個實數(shù)根是關(guān)于對稱軸對稱的，設(shè)這6個根從小到大依次為，，，，，，，，第一條對稱軸為直線，，，這6個根的和為故D正確．故選：ABD.11．ACD【分析】設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理依次判斷選項即可.【詳解】設(shè)，直線的方程為，則，聯(lián)立則，所以，所以，當時，有最小值，最小值為4，故A正確；當時，，所以，故B錯誤；因為，所以，，所以，故C正確；由知，，所以，則，所以，因為，所以，故D正確．故選:ACD12．135【分析】求出展開式的通項，再令未知數(shù)的指數(shù)等于零，即可得解.【詳解】展開式的通項為，令，解得，故二項展開式的常數(shù)項為．故答案為：13513．##0.5【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，．故答案為：14．【分析】先將不等式變形構(gòu)造得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值.【詳解】因為且，所以，即，令，易知恒成立，則單調(diào)遞增．因為，所以，則，即，設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，所以，則的取值范圍為．故答案為：15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項相消即可求出.【詳解】（1）因為所以令，可得，解得.當時，，則，即，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，即，所以.因為，所以，即，所以.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換計算可得，可求；（2）由三角形面積公式可求得，利用向量數(shù)量積的運算律可求得，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，所以，所以，即，即.因為，所以，所以.（2）由（1）得，因為的面積為，即，所以.因為，所以，所以．當且僅當，即時，等號成立，所以線段長度的最小值為.17．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）方法一：由橢圓的定義以及即可求解；方法二：將點代入橢圓方程以及求解即可.（2）（i）設(shè)，，求解線段的中點，利用點差法求解即可.（ii）方法一：直線與橢圓方程聯(lián)立，通過參數(shù)方程求解點到直線的距離，求解即可.方法二：直線與橢圓方程聯(lián)立，再由直線平行，點到直線的距離的最大值就是平行線間的距離，求解即可.【詳解】（1）方法一：由題意知，，即，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，則．因為，所以，解得，又因為，所以.所以橢圓的方程為.方法二：由題意知，，即，因為點在橢圓上，所以，又因為，所以，所以，即，化簡得或（舍去），所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，，因為線段的中點為，所以，，因為，兩點在橢圓上，所以所以，所以，所以，所以直線的方程為.（ii）方法一：直線的方程為，聯(lián)立化簡得，.所以.設(shè)，則點到直線的距離其中，當時，取最大值，此時，所以面積的最大值為.方法二：直線的方程為，設(shè)與直線平行，且與橢圓相切的直線的方程為，聯(lián)立化簡得，，解得，當時，直線與直線的距離更大，此時，切點就是橢圓上到直線距離最大的點，點到直線的距離的最大值就是平行線間的距離，聯(lián)立化簡得，則，所以，，所以面積的最大值為18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由平面平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證明即可.（2）分別取，的中點，，連接，，，由線面垂直的判定定理證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得，再由是的中點求證即可.（3）當平面時，此時四棱錐的體積最大，方法一：由線面垂直證明平面平面，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，即可得，由勾股定理可求，由四棱錐體積求解內(nèi)切球半徑，再由內(nèi)切球半徑求解即可；方法二：以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，由內(nèi)切球的性質(zhì)，求解點到平面，平面，平面，平面的距離即可求證.【詳解】（1）證明：因為底面是矩形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面平面，平面，所以.（2）證明：如圖1，分別取，的中點，，連接，，.因為，是的中點，所以，又因為底面是矩形，分別是的中點，所以，因為，所以，，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為是的中點，所以.（3）假設(shè)四棱錐存在內(nèi)切球，設(shè)點到平面的距離為，則，當平面時，取最大值，此時四棱錐的體積最大，方法一：因為平面，所以平面平面，因為平面平面，，所以平面，即，所以，則易知，，，所以內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球球心為中點為，因為到平面與平面距離相等，所以由對稱性可知，點在平面上，又因為點到平面與平面距離相等，且二面角的大小為，所以點在上，如圖2所示，因為，所以，解得，因為兩個的值不同，所以不存在內(nèi)切球.方法二：因為平面，平面，所以平面平面，因為，平面平面，所以平面，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則，，，，，平面的一個法向量為，則，，，設(shè)平面的法向量為，因為，所以，化簡得令，設(shè)內(nèi)切球球心，易知，．同理可求，平面法向量為，平面法向量為，因為，所以，令，則，則，平面法向量為，，所以，令，所以，所以點到平面的距離，點到平面的距離，易知點到平面的距離，點到平面的距離，點到平面的距離，由，解得，由，解得，由，解得，則，所以，矛盾，所以這樣的內(nèi)切球不存在.19．(1)，(2)①，；②答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算即可.（2）根據(jù)對立事件、互斥事件等概率計算公式及數(shù)學期望計算公式計算即可