新版人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案（完整版）教學(xué)設(shè)計(jì)含教學(xué)反思第十九章二次根式單元備課第19單元本單元所需課時(shí)數(shù)6課時(shí)目標(biāo)1.了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念.2.了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算.教材分析在學(xué)習(xí)平方根和整式的基礎(chǔ)上，本章進(jìn)一步研究二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算，目的是以二次根式這一類典型的“式”為載體，進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)字、符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的方法，體會(huì)通過(guò)符號(hào)運(yùn)算所得結(jié)果的一般性，進(jìn)而培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力，同時(shí)為后面勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容是二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算.主要包括三節(jié)：第19.1節(jié)“二次根式及其性質(zhì)”主要介紹二次根式的概念和性質(zhì)；第19.2節(jié)“二次根式的乘法與除法”主要研究二次根式的乘除運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn)；第19.3節(jié)“二次根式的加法與減法”研究二次根式的加減運(yùn)算法則，并在學(xué)習(xí)加、減、乘、除運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.教學(xué)目標(biāo)1.理解二次根式的概念，理解并掌握二次根式有意義的條件．2.理解二次根式的兩個(gè)性質(zhì)(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)，會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和化簡(jiǎn)．3.理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算．4.利用逆向思維，得出eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．5.理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)，并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．6.利用逆向思維，得出eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．7.會(huì)進(jìn)行二次根式的加減法運(yùn)算．8.掌握混合運(yùn)算的法則，合理使用運(yùn)算律，能熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算．課時(shí)分配19.1二次根式及其性質(zhì)2課時(shí)19.2二次根式的乘法與除法2課時(shí)19.3二次根式的加法與減法2課時(shí)教與學(xué)建議1.注意代數(shù)學(xué)的整體性.2.加強(qiáng)歸納法，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.3.加強(qiáng)運(yùn)算技能訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力.19.1二次根式及其性質(zhì)第1課時(shí)二次根式的概念課題二次根式的概念課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第2-3頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由．2.能用二次根式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系．3.通過(guò)對(duì)二次根式的概念的探究，提高數(shù)學(xué)探究和歸納能力．4.經(jīng)歷觀察、歸納、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和趣味性．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：從算術(shù)平方根的意義出發(fā)理解二次根式的概念．教學(xué)難點(diǎn)：確定二次根式中字母的取值范圍.教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題【問(wèn)題1】用帶根號(hào)的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？(1)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為________m；(2)一個(gè)大正方形的面積是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形與另一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的面積之和，則大正方形的邊長(zhǎng)為______；(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)與開始落下的高度h(單位：m)滿足關(guān)系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，則t＝________．師生活動(dòng)：學(xué)生思考并完成上述問(wèn)題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從數(shù)的算術(shù)平方根到用含有字母的式子表示算術(shù)平方根的抽象.教師追問(wèn)：第（1）（2）題中得到eq\r(65)，a2+1的依據(jù)是什么？這兩個(gè)式子有什么區(qū)別和聯(lián)系？師生活動(dòng)：由學(xué)生回答.依據(jù)是算術(shù)平方根的定義.區(qū)別是eq\r(65)分別表示具體數(shù)65的算術(shù)平方根，a2+1是字母a2+12.抽象概括，形成概念【問(wèn)題2】（1）觀察上面得到的式子eq\r(65)，a2+1，eq\r(\f(h,5))，它們有什么共同特征？(2)你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，同學(xué)生一道分析，體會(huì)這些式子的特征，從而引出二次根式的定義.并板書：它們表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根.一般地，我們把形如（a≥0）形式的式子稱為二次根式，其中“”稱為二次根號(hào).二次根式也是代數(shù)式.教師追問(wèn)1：4，0的算術(shù)平方根分別是什么？-4有沒(méi)有算術(shù)平方根？教師追問(wèn)2：被開方數(shù)需要滿足什么條件？為什么要滿足這樣的條件？教師追問(wèn)3：當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，eq\r(x2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？eq\r(x3)呢？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)無(wú)平方根，所以被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，x2都為非負(fù)數(shù)，eq\r(x2)都有意義．x≥0時(shí)，x3為非負(fù)數(shù)，eq\r(x3)有意義．【問(wèn)題3】請(qǐng)同學(xué)們比較eq\r(a)與0的大小.師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考.學(xué)生的第一反應(yīng)可能是eq\r(a)>0，部分學(xué)生能得出eq\r(a)≥0這一正確結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)概念，分a＞0和a=0兩種情況進(jìn)行討論.歸納出eq\r(a)的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)a≥0，a的算術(shù)平方根eq\r(a)≥0.3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1二次根式的概念【例1】下列各式中，一定是二次根式的有_______.分析：判斷二次根式應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：（1）有二次根號(hào)“”；（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).因而在所給出四個(gè)式子中，只有②③中的式子同時(shí)符合兩個(gè)要求，故應(yīng)填②③.考點(diǎn)2二次根式有意義的條件【例2】當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，eq\r(x－2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由x－2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時(shí)，eq\r(x－2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．【變式】求下列二次根式中字母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取何值有意義：⑴；⑵；⑶；⑷.【例3】若eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)＋1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿足的條件是()A.x≥eq\f(1,2)B．x≤eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)D．x≠eq\f(1,2)答案：C師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成作答，教師對(duì)二次根式被開方數(shù)大于等于零再次進(jìn)行強(qiáng)調(diào)．4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）下列式子：eq\r(5)，，eq\r(a2)，eq\r(－7)，eq\r(\f(1,2))，其中屬于二次根式的有()A.2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)答案：C（2）已知eq\r(a)是二次根式，則a的值可以是()A.－2B．－1C．2D．－8答案：C（3）一個(gè)用電器的電阻為R，消耗的電功率為P，它兩端的電壓為U，其關(guān)系式為P=，則U可以表示成()A.U=B.U=C.U=D.U=答案：C（4）使式子eq\f(1,\r(x－2))有意義的x的取值范圍是．答案：x＞2（5）當(dāng)a=5時(shí)，2a?13的值是答案：3（6）已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝+-5，求x2+2xy+y2的值．解：根據(jù)二次根式的定義，得3－x≥0，x－3≥0，所以x＝3，y＝-5.則x2-2xy+y2=（x+y）2＝4.5.課堂小結(jié)，自我完善（1）二次根式的概念：一般地，我們把形如（a≥0）形式的式子稱為二次根式.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0.（3）二次根式的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)a≥0，a的算術(shù)平方根eq\r(a)≥0.6.布置作業(yè)教材P3練習(xí)1-3，P5習(xí)題19.1第1，3，5，6，7，10題板書設(shè)計(jì)二次根式的概念1.二次根式的概念：例題2.二次根式有意義的條件：練習(xí)教學(xué)反思1.通過(guò)將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對(duì)比，隨后從學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識(shí)進(jìn)行探究，師生互動(dòng).體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位.2.注意知識(shí)之間的銜接，在溫故知新的過(guò)程中引導(dǎo)出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對(duì)新知的理解.19.1二次根式第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)課題二次根式的性質(zhì)課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第3-4頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.理解二次根式的兩個(gè)性質(zhì)(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)；2.會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和化簡(jiǎn)；3.通過(guò)對(duì)eq\r(a2)的化簡(jiǎn)，了解分類討論的思想；4.利用乘方與開方互為逆運(yùn)算推導(dǎo)結(jié)論(eq\r(a))2＝a(a≥0)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的兩個(gè)性質(zhì)：(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝a(a≥0).教學(xué)難點(diǎn)：二次根式性質(zhì)的運(yùn)用與二次根式的化簡(jiǎn).教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.回顧舊知，情境導(dǎo)入【回顧1】eq\r(5)，eq\r(a)有意義嗎？為什么？【回顧2】eq\r(5)表示的意義是什么？eq\r(a)表示的意義是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回憶并回答，回顧二次根式的概念.【情境導(dǎo)入】如圖是一幅正方形中式壁畫，面積為a，求它的邊長(zhǎng)，并用所求得的邊長(zhǎng)表示出面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考，正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(a)，用邊長(zhǎng)表示正方形的面積為（eq\r(a)）2，又面積為a，∴（eq\r(a)）2=a.教師追問(wèn):這個(gè)式子是不是對(duì)所有的二次根式都成立呢？2.活動(dòng)探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：(eq\r(4))2＝________；(eq\r(2))2＝________；(eq\r(\f(1,3)))2＝________；(eq\r(0))2＝________．教師追問(wèn)：觀察上面幾個(gè)式子有什么共同點(diǎn)？能夠用含字母的式子歸納出來(lái)嗎？師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生口答結(jié)果，組織學(xué)生小組討論思考，教師再予以評(píng)價(jià)與補(bǔ)充，最后一起歸納出二次根式的性質(zhì)1.歸納：一般地，eq\x(（\r(a)）2＝a（a≥0）)【問(wèn)題2】填空：eq\r(22)＝________；eq\r(0.012)＝________；eq\r(（\f(2,3)）2)＝________；eq\r(02)＝________．教師追問(wèn)1：請(qǐng)學(xué)生計(jì)算出上面各式的答案，類比性質(zhì)1的探究過(guò)程，嘗試用字母a寫出你的猜想．教師追問(wèn)2：eq\r(（－4）2)＝________；eq\r(（－\f(1,7)）2)＝________．教師追問(wèn)3：a的取值范圍有什么要求？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生類比思考，得出二次根式的性質(zhì)2.總結(jié)：當(dāng)a≥0時(shí)，eq\r(a2)＝a；當(dāng)a<0時(shí)，eq\r(a2)＝－a.根據(jù)絕對(duì)值的意義可知：當(dāng)a≥0時(shí)，|a|＝a；當(dāng)a<0時(shí)，|a|＝－a.由此可知：eq\r(a2)＝|a|.由于eq\r(a)(a≥0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，根據(jù)平方根的意義，eq\r(a)的平方等于a，因此我們就得到一個(gè)結(jié)論：eq\r(a2)＝a(a≥0)3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1二次根式的性質(zhì)：(eq\r(a))2＝a(a≥0)例2計(jì)算：(1)(eq\r(1.5))2；(2)(2eq\r(5))2.解：(1)原式＝1.5.(2)原式＝20.考點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)：eq\r(a2)＝a(a≥0)例3化簡(jiǎn)：(1)eq\r(16)；(2)eq\r(（－5）2).解：(1)原式＝4.(2)原式＝5.師生活動(dòng)：教師對(duì)二次根式的兩條性質(zhì)之間的區(qū)別作出強(qiáng)調(diào)．(eq\r(a))2eq\r(a2)意義不同表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根從運(yùn)算順序看先開方，后平方先平方，后開方從取值范圍看a≥0a取任何實(shí)數(shù)從運(yùn)算結(jié)果看a|a|4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）下列式子中，計(jì)算正確的是()A.eq\r(－5)＝－eq\r(5)B．－eq\r(3.6)＝－0.6C.eq\r(（－13）2)＝13D．(－eq\r(6))2＝36答案：C（2）若eq\r(（x－3）2)＝3－x，則x的取值范圍是．答案：x≤3.（3）計(jì)算：①；②.答案：①3；②18.（4）說(shuō)出下列各式的值：①；②；③；④.答案：①0.3；②；③-π；④.（5）若實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡(jiǎn)：eq\r(a2)－|b－c|．答案：－a＋b－c.師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解，并讓學(xué)生說(shuō)出運(yùn)用的是哪條性質(zhì)．5.課堂小結(jié)，自我完善（1）二次根式的性質(zhì)：(eq\r(a))2＝a(a≥0)；（2）二次根式的性質(zhì)：eq\r(a2)＝a(a≥0)；（3）代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子.6.布置作業(yè)教材P5習(xí)題19.1第2，4，9題.板書設(shè)計(jì)二次根式的性質(zhì)1.二次根式的性質(zhì)：(eq\r(a))2＝a(a≥0)2.二次根式的性質(zhì)：eq\r(a2)＝a(a≥0)3.代數(shù)式教學(xué)反思1.注意前后知識(shí)的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過(guò)程中導(dǎo)入本節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.2.在總結(jié)二次根式的性質(zhì)過(guò)程中，由學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析的過(guò)程，讓學(xué)生在交流中體會(huì)成功.3.教師在課堂教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，本節(jié)課，對(duì)學(xué)生探索求知作出了引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生自由發(fā)言，但小組間的合作不夠融洽，今后的教學(xué)中應(yīng)多培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)，這樣有助于他們以后的學(xué)習(xí)和生活．19.2二次根式的乘法與除法第1課時(shí)二次根式的乘法課題二次根式的乘法課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第6-7頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算．2.利用逆向思維，得出eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．3.經(jīng)歷二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的形成過(guò)程．4.通過(guò)合作探究，激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)合作交流能力．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：能利用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式．教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課【課堂引入】計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝________，eq\r(4×9)＝________．(2)eq\r(16)×eq\r(25)＝________，eq\r(16×25)＝________．(3)eq\r(25)×eq\r(36)＝________，eq\r(25×36)＝________．師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，并小組討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)式子有什么規(guī)律．學(xué)生計(jì)算、觀察、分小組討論，體會(huì)結(jié)果的特點(diǎn).2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】參考上面的結(jié)果，用“>”“<”或“＝”填空，并用計(jì)算器加以驗(yàn)證．教師追問(wèn)：你能找出二次根式乘法運(yùn)算的規(guī)律了嗎？嘗試寫出含字母的二次根式等式？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后再小組內(nèi)交流想法，最后全班分享，教師幫助完善和補(bǔ)充，得出法則．結(jié)論：一般地，二次根式的乘法法則是eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).【問(wèn)題2】把eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)反過(guò)來(lái)，仍然成立嗎？學(xué)生分組討論，師生共同總結(jié)，得出積的算術(shù)平方根的性質(zhì)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0).教師追問(wèn)1：a，b的取值有什么特點(diǎn)？教師追問(wèn)2：為什么要滿足這樣的關(guān)系？教師追問(wèn)3：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式的乘法法則在用法上有什么區(qū)別和聯(lián)系？總結(jié)：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)．注意：(1)公式中的非負(fù)數(shù)的條件；(2)在被開方數(shù)相乘時(shí)，就應(yīng)該考慮因式分解(或因數(shù)分解)；(3)eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)可推廣為：eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)＝eq\r(abc)(a≥0，b≥0，c≥0).3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1利用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算【例1】計(jì)算：（1）eq\r(3)×eq\r(5)；（2）eq\r(\f(1,3))×eq\r(27).解：（1）原式＝eq\r(15).（2）原式＝3.考點(diǎn)2積的算術(shù)平方根的性質(zhì)【例2】化簡(jiǎn)：（1）eq\r(16×81)；（2）eq\r(4a2b3).解：（1）原式＝36.（2）原式＝2|ab|eq\r(b).考點(diǎn)3二次根式的乘法運(yùn)算【例3】計(jì)算：(1)eq\r(14)×eq\r(7)；(2)3eq\r(5)×2eq\r(10)；(3)eq\r(3x)·eq\r(\f(1,3)xy).解：(1)原式＝7eq\r(2).(2)原式＝30eq\r(2).(3)原式＝xeq\r(y).師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥、巡視，指定不同學(xué)生到黑板做題，對(duì)有困難的同學(xué)適時(shí)給予指導(dǎo)，完成后師生共同評(píng)析．通過(guò)例2的學(xué)習(xí)，告訴學(xué)生在化簡(jiǎn)時(shí)，一般先將被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解或因式分解，再將能開得盡方的因數(shù)或因式開出來(lái).通過(guò)例3的學(xué)習(xí)，提醒學(xué)生注意，在被開方數(shù)相乘的時(shí)候可先考慮因數(shù)分解或因式分解.4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）下列各等式成立的是()A.4eq\r(5)×2eq\r(5)＝8eq\r(5)B．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(5)C.4eq\r(3)×3eq\r(2)＝7eq\r(5)D．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(6)答案：D（2）計(jì)算：①eq\r(2)×eq\r(5)；②eq\r(3)×eq\r(12)；③2eq\r(xy)·eq\r(\f(1,x)).解：①原式＝eq\r(10).②原式＝6.③原式＝2eq\r(y).（3）化簡(jiǎn)：①eq\r(49)×eq\r(121)；②eq\f(1,5)eq\r(125)；③eq\r(4y)；④eq\r(2xy2)·eq\r(8xy).解：①原式＝77.②原式＝.③原式＝2eq\r(y).④原式＝4xy.（4）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是eq\r(10)cm和2eq\r(2)cm，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為cm2.答案：4eq\r(5)師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，教師巡視，對(duì)學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)予以指正，幫助學(xué)生加深理解，對(duì)優(yōu)秀者應(yīng)予以表?yè)P(yáng)鼓舞，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè).5.課堂小結(jié)，自我完善（1）二次根式的乘法法則：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；推廣：eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)＝eq\r(abc)(a≥0，b≥0，c≥0).（2）積的算術(shù)平方根：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0).6.布置作業(yè)教材P7練習(xí)第1，2題；教材P10習(xí)題16.2第1題.板書設(shè)計(jì)二次根式的乘法1.二次根式的乘法法則2.積的算術(shù)平方根教學(xué)反思1.新課導(dǎo)入時(shí)教師要注重學(xué)生自主探索能力的培養(yǎng).在指導(dǎo)教學(xué)過(guò)程中，激發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)探究;提問(wèn)有序、有提示、有鼓勵(lì)、有啟發(fā)，問(wèn)在有疑之處.2.二次根式的乘法是建立在二次根式的基礎(chǔ)上的，所以在學(xué)習(xí)中側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生利用與乘法相類似的方法去學(xué)習(xí)，從而降低學(xué)習(xí)的難度，提高學(xué)習(xí)的效率.3.整個(gè)教學(xué)過(guò)程始終要把學(xué)生擺在第一位，真正把課堂交給學(xué)生，讓他們變成學(xué)習(xí)的主體.給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為-個(gè)再探索、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.19.2二次根式的乘除第2課時(shí)二次根式的除法課題二次根式的除法課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第8-10頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)，并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．2.利用逆向思維，得出eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．3.掌握用從特殊到一般的方法，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．4.通過(guò)合作探究，激發(fā)求知欲，了解類比思想．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：能利用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式．教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課【課堂引入】師:同學(xué)們還記得二次根式的乘法法則嗎?生:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).師:我們是怎樣得到二次根式的乘法法則的?生:從特殊的幾個(gè)算式中歸納出來(lái)的.師:接下來(lái)，我們用類似的方法來(lái)研究二次根式的除法.2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)eq\f(\r(4),\r(9))＝________，eq\r(\f(4,9))＝________；(2)eq\f(\r(16),\r(25))＝________，eq\r(\f(16,25))＝________；(3)eq\f(\r(36),\r(49))＝________，eq\r(\f(36,49))＝________．師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，總結(jié)規(guī)律．教師追問(wèn)1：參考上面的結(jié)果，用“>”“<”或“＝”填空，并用計(jì)算器加以驗(yàn)證．教師追問(wèn)2：你找出二次根式除法運(yùn)算的規(guī)律了嗎？師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生總結(jié)上述規(guī)律，類比二次根式的乘法法則，嘗試寫出二次根式除法法則的關(guān)系式.結(jié)論：一般地，二次根式的除法法則是eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0).【應(yīng)用舉例】例4計(jì)算：(1)eq\f(\r(24),\r(3))；(2)eq\r(\f(3,2))÷eq\r(\f(1,18)).解：(1)原式＝eq\r(8)＝eq\r(4×2)＝2eq\r(2).(2)原式＝eq\r(\f(3,2)×18)＝eq\r(27)＝3eq\r(3).【問(wèn)題2】把eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)反過(guò)來(lái)，仍然成立嗎？學(xué)生分組討論，師生共同總結(jié)，得出商的算術(shù)平方根的性質(zhì)eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0).教師追問(wèn)1：你能理解這個(gè)二次根式除法的逆運(yùn)算嗎？教師追問(wèn)2：類比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，你能說(shuō)說(shuō)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)有什么作用嗎？師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生獨(dú)立思考后，再請(qǐng)同學(xué)分享想法，全班共同點(diǎn)評(píng)．總結(jié)：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)．注意：(1)當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，雖然eq\r(\f(a,b))有意義，但是eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(－a),\r(－b))，而不等于eq\f(\r(a),\r(b)).(2)如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，再做計(jì)算．【應(yīng)用舉例】例5化簡(jiǎn)：(1)eq\r(\f(3,100))；(2)y3x2.解：(1)原式＝eq\f(\r(3),\r(100))＝eq\f(\r(3),10).(2)原式＝y(tǒng)3x2＝y(tǒng)師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師提示解題過(guò)程中考慮如何逆用二次根式的除法法則，體會(huì)逆用法則的意義．3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知例6設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S，相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a，b.已知S=eq\r(10)，b=eq\r(3)，求a.解：因?yàn)镾＝ab，所以a＝eq\f(S,b)＝103=103=10×33×3＝3032＝303師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成為主，有困難的可以小組討論，同學(xué)互助完成，教師再檢查點(diǎn)評(píng)．【問(wèn)題3】觀察上面各小題的最后結(jié)果，總結(jié)二次根式的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該成為什么樣的形式才不用繼續(xù)化簡(jiǎn)?師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，共同總結(jié).最簡(jiǎn)二次根式的特征:(1)被開方數(shù)中不含分母;(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化簡(jiǎn)，使其中的二次根式為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式．例7計(jì)算：(1)eq\f(\r(3),\r(5))；(2)eq\f(3\r(2),\r(27))；(3)eq\f(\r(8),\r(2a)).解：(1)原式＝eq\r(\f(3,5))＝eq\r(\f(3×5,5×5))＝eq\r(\f(15,52))＝eq\f(\r(15),\r(52))＝eq\f(\r(15),5).(2)原式＝eq\f(3\r(2),\r(32)×\r(3))＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(2)×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(6),3).(3)原式＝eq\f(\r(8)·\r(2a),\r(2a)·\r(2a))＝eq\f(4\r(a),2a)＝eq\f(2\r(a),a).師生活動(dòng)：學(xué)生板書演示，小組評(píng)價(jià)，教師補(bǔ)充引導(dǎo)注意事項(xiàng)．4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.eq\r(10)B．eq\r(8)C．eq\r(6)D．eq\r(5)答案：B（2）計(jì)算：①eq\f(\r(0.76),\r(0.19))；②eq\f(\r(12ab),\r(3a)).答案：①2；②2eq\r(b)．（3）化簡(jiǎn)：①eq\r(1\f(15,49))；②eq\r(\f(25a4,9b2))(b>0).答案：①eq\f(8,7)；②eq\f(5a2,3b).（3）若二次根式eq\r(3a＋5)是最簡(jiǎn)二次根式，求正整數(shù)a的最小值．答案：2.（4）計(jì)算：①eq\r(27)÷eq\r(18)×eq\r(2)；②eq\r(\f(1,2))÷(－eq\r(12))×3eq\r(24).答案：①eq\r(3)；②－3.師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解．5.課堂小結(jié)，自我完善師生共同回顧：（1）=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）及其應(yīng)用；（2）最簡(jiǎn)二次根式的意義.6.布置作業(yè)教材P10練習(xí)第1，2，3題；教材P10習(xí)題19.2第2，4題.板書設(shè)計(jì)二次根式的除法1.二次根式的除法法則2.商的算術(shù)平方根3.最簡(jiǎn)二次根式教學(xué)反思1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘積，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣.2.二次根式除法的學(xué)習(xí)過(guò)程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分析的過(guò)程，讓學(xué)生大膽猜測(cè)，使學(xué)生在交流中體會(huì)成功.19.3二次根式的加法與減法第1課時(shí)二次根式的加減課題二次根式的加減課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第13-14頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)合并被開方數(shù)相同的二次根式，會(huì)進(jìn)行二次根式的加減法運(yùn)算．2.會(huì)二次根式的加減，能通過(guò)加減法運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題．3.通過(guò)整式的加減運(yùn)算與二次根式的加減運(yùn)算比較，體會(huì)類比思想．4.經(jīng)歷探究二次根式加減法法則的過(guò)程，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，體驗(yàn)成功的快樂(lè)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的加減運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：正確合并被開方數(shù)相同的二次根式，二次根式加減法的實(shí)際應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題【問(wèn)題1】你能類比合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)3eq\r(2)+eq\r(2)嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶合并同類項(xiàng)的方法，并說(shuō)明算理（分配律）.3eq\r(2)+eq\r(2)=（3+1）eq\r(2)=4eq\r(2).教師追問(wèn)1：這里的兩個(gè)二次根式有什么共同特征？你能得到這樣的兩個(gè)二次根式加減的方法嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析，得出共同特征是二次根式的被開方數(shù)相同.這樣的二次根式加減，與合并同類項(xiàng)類似，可以利用分配律對(duì)它們進(jìn)行合并.教師追問(wèn)2：由3eq\r(2)+eq\r(2)的運(yùn)算過(guò)程，你能想到怎樣計(jì)算27＋12了嗎？師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成解答，再全班交流.2.合作探究，形成知識(shí)【問(wèn)題2】如何計(jì)算27＋12？27＋12=33+23=（3+2）3=53師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得到“先化簡(jiǎn)，再合并”的運(yùn)算步驟：一般地，二次根式加減時(shí)，先將二次根式化簡(jiǎn)，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．注意：(1)合并就是把二次根式根號(hào)外的因式或因數(shù)加起來(lái)，包含前面的符號(hào)，被開方數(shù)和根指數(shù)不變；(2)當(dāng)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須將其化成假分?jǐn)?shù)；(3)化簡(jiǎn)后，被開方數(shù)不相同的根式不能合并．3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1二次根式的加減運(yùn)算【例1】計(jì)算：eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(9a)＋eq\r(25a)；(3)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48).解：(1)原式＝4eq\r(5)－3eq\r(5)＝eq\r(5).原式＝3eq\r(a)＋5eq\r(a)＝8eq\r(a).(3)原式＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＋12eq\r(3)＝14eq\r(3).【例2】計(jì)算：(1)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋2(eq\r(3)－eq\r(5))；（2）12（3?2）-34解：(1)原式＝2eq\r(3)＋2eq\r(5)＋2eq\r(3)－2eq\r(5)＝4eq\r(3)．(1)原式＝123?12師生活動(dòng)：學(xué)生板書演示，小組評(píng)價(jià)，教師巡視提示，關(guān)注學(xué)生能否正確化簡(jiǎn)，并再次強(qiáng)調(diào)哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【例3】現(xiàn)有一塊長(zhǎng)7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？師生活動(dòng)：出示問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，分析題意．教師追問(wèn)1：兩個(gè)正方形木塊的邊長(zhǎng)分別是多少？教師追問(wèn)2：能截出兩塊正方形木板的條件是什么？能用數(shù)學(xué)式子表示這個(gè)條件嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析出“長(zhǎng)夠、寬也夠”的條件，并把條件表示為數(shù)學(xué)式子：eq\r(8)＋eq\r(18)≤7.5，eq\r(8)≤5，eq\r(18)≤5.從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷eq\r(8)＋eq\r(18)與7.5的大小關(guān)系.解：大正方形木板的邊長(zhǎng)為eq\r(18)dm，因?yàn)閑q\r(18)<5，所以這塊木板夠?qū)?兩個(gè)正方形木板的邊長(zhǎng)的和為(eq\r(8)+eq\r(18)）dm，而eq\r(8)+eq\r(18)=2eq\r(2)+3eq\r(2)=（2+3）eq\r(2)=5eq\r(2).由eq\r(2)<1.5可知5eq\r(2)<7.5，即兩個(gè)正方形木板的邊長(zhǎng)的和小于這塊木板的長(zhǎng)，所以這塊木板夠長(zhǎng).因此，可以用這塊木板按要求截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板。師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，學(xué)生可能會(huì)想到直接取近似值.教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析其中存在的問(wèn)題（例如，兩次取近似值影響精確度），并尋求解決問(wèn)題的方法，即先化簡(jiǎn)再求近似值，從而出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù).4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）下列根式中可以與eq\r(5)合并的是()A.eq\r(10)B．eq\r(20)C．eq\r(15)D．eq\r(25)答案：B（2）下列計(jì)算正確的是()A.5eq\r(3)－4eq\r(3)＝1B．eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C.eq\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)答案：C（3）三角形的三邊長(zhǎng)分別為eq\r(20)cm，eq\r(40)cm，eq\r(45)cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為cm.答案：5eq\r(5)＋2eq\r(10)（4）計(jì)算：①-；②.答案：①.②.（5）計(jì)算：①5eq\r(8)－2eq\r(27)＋eq\r(18)；②2eq\r(18)－eq\r(50)＋eq\f(1,3)eq\r(45).答案：①13eq\r(2)－6eq\r(3).②eq\r(2)＋eq\r(5).師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解．5.課堂小結(jié)，自我完善回答下面的問(wèn)題，說(shuō)說(shuō)你對(duì)二次根式加減運(yùn)算的認(rèn)識(shí)：（1）二次根式加減運(yùn)算的一般步驟是什么？每一個(gè)步驟的依據(jù)是什么？（2）在二次根式的加減中，有哪些地方容易出現(xiàn)錯(cuò)誤？怎樣避免？6.布置作業(yè)教材P14練習(xí)第1.2，3題；教材P16習(xí)題19.3第1，2，4題.板書設(shè)計(jì)二次根式的加減1.被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式2.二次根式的加減教學(xué)反思1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.由學(xué)生主動(dòng)參與，經(jīng)過(guò)思考、討論、分析的過(guò)程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則.2.在授課過(guò)程中，要以學(xué)生為主體，進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．在例題的選擇上可由簡(jiǎn)到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于學(xué)生掌握知識(shí)．在得到定義、法則的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、思考、探究的過(guò)程，體會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)的成功與快樂(lè)．19.3二次根式的加法與減法第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算課題二次根式的混合運(yùn)算課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第15頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.掌握混合運(yùn)算的法則，明確三級(jí)運(yùn)算的順序，合理使用運(yùn)算律，能熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算．2.熟練掌握含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用．3.通過(guò)獨(dú)立思考與小組討論，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體會(huì)類比思想．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：混合運(yùn)算的法則、三級(jí)運(yùn)算的順序及運(yùn)算律的合理使用．教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用因式分解、約分等技巧，使計(jì)算簡(jiǎn)便．教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課如果梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2cm，4cm，高為cm，那么它的面積是多少?下面的計(jì)算正確嗎？師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，傾聽學(xué)生的交流，指導(dǎo)學(xué)生探究，從而列出正確的式子.2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知針對(duì)上面的問(wèn)題，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生列出算式：(2+4)×.【問(wèn)題1】怎樣計(jì)算(2+4)×?教師追問(wèn)：你能聯(lián)想到我們以前學(xué)過(guò)的整式運(yùn)算中的哪一種運(yùn)算？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，交流合作，探求方法．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過(guò)的整式乘法中的分配律，類比單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式嘗試計(jì)算，并全班交流，得出結(jié)論.總結(jié):有理數(shù)乘法的運(yùn)算律同樣適用于二次根式的混合運(yùn)算.【問(wèn)題2】你能根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法計(jì)算下面的式子嗎？(eq\r(3)－2eq\r(2))(2eq\r(3)－eq\r(2)).教師追問(wèn)：你能說(shuō)出整式的乘法公式嗎？你能根據(jù)公式計(jì)算下列式子嗎？①(eq\r(3)－2eq\r(2))(eq\r(3)＋2eq\r(2))；②(eq\r(3)－2eq\r(2))2.師生活動(dòng)：學(xué)生分小組進(jìn)行交流討論，教師巡視指導(dǎo)，注意提醒學(xué)生2eq\r(2)平方時(shí)，要把外面的2和eq\r(2)都平方．最后請(qǐng)學(xué)生類比有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，說(shuō)出二次根式混合運(yùn)算的順序．歸納：(1)先乘方，再乘除，最后加減；有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的；(2)在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用．3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1二次根式的混合運(yùn)算【例4】計(jì)算：(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2).解：(1)原式＝4eq\r(3)＋3eq\r(2).(2)原式＝2－eq\f(3,2)eq\r(3).考點(diǎn)2乘法公式在二次根式混合運(yùn)算中的應(yīng)用【例5】計(jì)算：(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3)).解：(1)原式＝－13－2eq\r(2).(2)原式＝2.師生活動(dòng)：學(xué)生板書演示，小組評(píng)價(jià)，教師巡視提示，關(guān)注關(guān)注學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的運(yùn)用是否正確，并再次強(qiáng)調(diào)哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）計(jì)算eq\r(2)(eq\r(3)－eq\r(12))的結(jié)果為()A.eq\r(6)B．－eq\r(6)C．eq\r(6)－6D．6－eq\r(6)答案：B（2）（天津中考）計(jì)算(+)(-)的結(jié)果等于.

答案：3（3）計(jì)算：(eq\r(2)＋eq\r(3))2－eq\r(24)＝．答案：5（4）計(jì)算：①eq\r(12)÷eq\r(3)－eq\r(6)×2eq\r(3)；②eq\r(48)÷(－eq\r(3))－eq\r(\f(1,2))×eq\r(12)＋eq\r(24).答案：①2－6eq\r(2).②eq\r(6)－4.（5）已知x=2-，求(7+4)x2+(2+)x+的值.答案:2+師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解．5.課堂小結(jié)，自我完善（1）二次根式的四則運(yùn)算：先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．（2）運(yùn)用乘法公式和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算：在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用．6.布置作業(yè)教材P15練習(xí)第1，2題；教材P16復(fù)習(xí)題16.3第3，5，7，10題.板書設(shè)計(jì)二次根式的混合運(yùn)算1.二次根式混合運(yùn)算的順序2.乘法公式在二次根式混合運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)反思情境導(dǎo)入，小組討論，利用以前的知識(shí)探究新知識(shí)，體會(huì)二次根式的運(yùn)算與整式的整式運(yùn)算的聯(lián)系，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)把握.教學(xué)中要以練習(xí)為主，讓學(xué)生在實(shí)例中理解，并及時(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)和應(yīng)用新知.同時(shí)加強(qiáng)師生交流，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.第二十章勾股定理單元備課第20單元本單元所需課時(shí)數(shù)5課時(shí)課程要求探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.教材分析本章所研究的勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的.它是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)解直角三角形奠定基礎(chǔ)，在生產(chǎn)生活中用途很廣．主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容是勾股定理及其逆定理.主要包括兩節(jié)：第20.1節(jié)“勾股定理及其應(yīng)用”主要內(nèi)容是對(duì)勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；第20.2節(jié)“勾股定理的逆定理”通過(guò)探索、證明得到了勾股定理的逆定理，并進(jìn)行應(yīng)用.教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過(guò)程，知道這兩個(gè)定理的聯(lián)系和區(qū)別，能用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.初步認(rèn)識(shí)勾股定理及其逆定理的重要意義，會(huì)用這兩個(gè)定理解決一些幾何問(wèn)題.3.通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理成就的介紹，培養(yǎng)民族自豪感;通過(guò)對(duì)勾股定理的探索和交流，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.課時(shí)分配20.1勾股定理3課時(shí)20.2勾股定理的逆定理2課時(shí)教與學(xué)建議1.重視提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.2.圍繞證明勾股定理培養(yǎng)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.3.通過(guò)介紹我國(guó)古代研究勾股定理的成就培養(yǎng)民族自豪感.20.1勾股定理及其應(yīng)用第1課時(shí)勾股定理課題勾股定理課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第22-26頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.2.能用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理.教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的探究和證明.教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄創(chuàng)設(shè)情境，引入新課國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2002年在北京召開了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).如圖所示是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案.（1）你見過(guò)這個(gè)圖案嗎?（2）它由哪些我們學(xué)習(xí)過(guò)的基本圖形組成？（3）這個(gè)圖案有什么特別的含義？師生活動(dòng)：教師出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的直角三角形、正方形等，并說(shuō)明直角三角形全等的關(guān)系，指出這個(gè)圖案是由我國(guó)漢代的趙爽用來(lái)證明勾股定理的“趙爽弦圖”加工而來(lái)的，展現(xiàn)了我國(guó)古代對(duì)勾股定理的研究成果，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家.相傳在2500多年前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.(1)現(xiàn)在請(qǐng)你也觀察一下地面的圖案(右圖)，你能找出圖中正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系嗎?(2)正方形A，B，C所圍成的等腰直角三角形的三邊之間有什么特殊關(guān)系?師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖片，分組交流討論.學(xué)生通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)或者用割補(bǔ)的方法可以得到正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.教師引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出:等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.總結(jié)：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【問(wèn)題2】等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有類似的結(jié)論呢？師生活動(dòng)：教師出示右圖，進(jìn)行追問(wèn).教師追問(wèn)1：圖中每個(gè)小方格的面積均為1，請(qǐng)你分別計(jì)算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積．A的面積B的面積C的面積4913A′的面積B′的面積C′的面積92534教師追問(wèn)2：正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？正方形A′，B′，C′的面積之間有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立觀察并計(jì)算各圖中正方形的面積并完成填表．教師參與小組活動(dòng)，指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流．針對(duì)不同認(rèn)知水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法得出大正方形C的面積．學(xué)生分組交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補(bǔ)出四個(gè)全等的直角三角形而得到一個(gè)大正方形，通過(guò)圖形面積的和差，得到正方形C的面積．或者將正方形C分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，求得正方形C的面積．學(xué)生利用表格有條理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，歸納得到：A的面積＋B的面積＝C的面積．A′的面積＋B′的面積＝C′的面積．教師追問(wèn)3：正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？師生活動(dòng)：在上一活動(dòng)“探究等腰直角三角形三邊關(guān)系”的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比遷移，得到：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【問(wèn)題3】通過(guò)前面的探究活動(dòng)，猜一猜，直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：師生共同討論、交流、逐步完善，得到命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.【問(wèn)題4】以上這些直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值.一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c（右圖），剛剛提出的猜想還正確嗎？如何驗(yàn)證？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，用a，b表示c的面積.如圖1，用“割”的方法可得c2=ab×4+(a-b)2；如圖2，用“補(bǔ)”的方法可得c2=(b+a)2-ab×4.經(jīng)過(guò)整理都可以得到a2＋b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.【問(wèn)題5】歷史上所有的文明古國(guó)對(duì)勾股定理都有研究，下面我們看看歷史上我國(guó)的數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的研究，并通過(guò)小組合作完成課本拼圖法證明勾股定理.師生活動(dòng)：教師展示圖形，并介紹:這個(gè)圖案是3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為趙爽弦圖.趙爽根據(jù)此圖指出:四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間的部分是一個(gè)小正方形(黃實(shí)).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形.教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究.3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，則c＝；(2)已知c＝25，b＝15，則a＝；(3)已知c＝19，a＝13，則b＝；(結(jié)果保留根號(hào))(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，則b＝．答案：5208eq\r(3)12【例2】圖中所有的四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，求圖中最大正方形的面積.答案：584考點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證【例3】你能利用如圖所示的圖形來(lái)證明勾股定理嗎？不妨試試看，并與同伴交流.解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），所以a2+b2＝c2.故直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.考點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間距離【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)和(0，3)，則這兩點(diǎn)之間的距離是.答案：4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知5.課堂小結(jié)，自我完善(1)勾股定理;(2)勾股定理的證明方法.6.布置作業(yè)教材P25練習(xí)第1，2,3題；教材P30習(xí)題20.1第1，7，13,14題.板書設(shè)計(jì)勾股定理1.勾股定理2.勾股定理的驗(yàn)證教學(xué)反思整節(jié)課以“問(wèn)題情境—分析探究—得出猜想—實(shí)踐驗(yàn)證—總結(jié)升華”為主線，使學(xué)生親身體驗(yàn)勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程，努力做到由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒?yàn)課堂轉(zhuǎn)變..本節(jié)課教學(xué)應(yīng)把學(xué)生的探索活動(dòng)放在首位，一方面要求學(xué)生在教師引導(dǎo)下自主探索，合作交流；另一方面要求學(xué)生對(duì)探究過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法有一定的領(lǐng)悟和認(rèn)識(shí)，從而教給學(xué)生探求知識(shí)的方法，教會(huì)學(xué)生獲取知識(shí)的本領(lǐng).20.1勾股定理及其應(yīng)用第2課時(shí)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用課題勾股定理的實(shí)際應(yīng)用課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第26頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．2.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形模型，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用到生活中去．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用．教學(xué)過(guò)程復(fù)備欄1.回顧舊知，引入新課【問(wèn)題1】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理的內(nèi)容是什么？【問(wèn)題2】公式a2+b2=c2的變形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.則(1)c＝eq\r(a2＋b2)；(2)a＝eq\r(c2－b2)；(3)b＝eq\r(c2－a2)．師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題，學(xué)生搶答，教師補(bǔ)充、完善，指出在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，可應(yīng)用勾股定理求解.2.思考探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么？教師追問(wèn)1：木板橫著能否通過(guò)？教師追問(wèn)2：木板豎著能否通過(guò)？教師追問(wèn)3：在長(zhǎng)方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一條線段最長(zhǎng)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際的角度去考慮，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過(guò)，只能試試斜著能否通過(guò).門框?qū)蔷€AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過(guò)：(1)木板的寬是2.2m，大于1m，所以橫著不能通過(guò)；(2)木板的寬是2.2m，大于2m，所以豎著不能通過(guò)；(3)AC＞BC＞AB.小組討論、交流、補(bǔ)充、展示.注意過(guò)程要書寫規(guī)范：解：連接AC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝eq\r(5)≈2.24.因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過(guò)．總結(jié):木板進(jìn)門問(wèn)題的解決需要綜合考慮木板的長(zhǎng)、寬和門的長(zhǎng)、寬、對(duì)角線.【問(wèn)題2】如圖，一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析，利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即求BD的長(zhǎng)，而BD=OD-OB，從而需要根據(jù)勾股定理先計(jì)算OD，OB的長(zhǎng)度.解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，所以O(shè)B==1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，所以O(shè)D=≈1.77，所以BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.總結(jié)：梯子靠在豎直的墻上，構(gòu)成直角三角形，當(dāng)梯子移動(dòng)的時(shí)候又構(gòu)成另一個(gè)直角三角形，利用勾股定理可以直接求線段長(zhǎng)度.3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1直接利用勾股定理求邊長(zhǎng)【例1】如圖，由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前的高度是 ()A.8mB.10mC.16mD.18m答案：C【例2】長(zhǎng)方體盒內(nèi)長(zhǎng)、寬、高分別為3cm，2.4cm和1.8cm，盒內(nèi)可放的棍子最長(zhǎng)為cm.

答案：考點(diǎn)2利用勾股定理建立方程解決實(shí)際問(wèn)題【例3】有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿長(zhǎng)與門高.解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為(x+1)尺.根據(jù)勾股定理可得x2+42=(x+1)2，即x2+16=x2+2x+1，解得x=7.5.x+1=8.5.故門高為7.5尺，竹竿長(zhǎng)為8.5尺.4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）小劉將一架長(zhǎng)2.5米的木梯斜靠在一面豎直的墻上，木梯的頂端與地面的距離為2.4米，則梯腳與墻腳的距離應(yīng)為 ()A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米解析：由題意知，木梯、地面、墻剛好形成一個(gè)直角三角形，木梯為斜邊，利用勾股定理求解即可.梯腳與墻腳的距離為=0.7(米).故選A.（2）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的距離AB＝2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)(BC＝1.2米)，感應(yīng)門自動(dòng)打開，則AD＝米．答案：1.5（3）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題:“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問(wèn)戶高、廣各幾何.”其意思為今有一門，高比寬多6尺8寸，門對(duì)角線距離恰好為1丈.問(wèn)門高、寬各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)，如圖.設(shè)門高AB為x尺.根據(jù)題意，可列方程為.

答案：(x-6.8)2+x2=1025.課堂小結(jié)，自我完善運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一幾何模型，教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，談?wù)勀愕氖斋@與體會(huì).6.布置作業(yè)教材P27練習(xí)第1，2,3題；教材P30-32習(xí)題20.1第2,5,9,10,題.板書設(shè)計(jì)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1.木板進(jìn)門問(wèn)題2.梯子問(wèn)題教學(xué)反思在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題可以用勾股定理解決，而解決這類問(wèn)題都需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.就本課時(shí)而言，關(guān)鍵是要通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)完成.在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意教學(xué)生如何構(gòu)造直角三角形，找出已知的兩個(gè)量，并讓學(xué)生動(dòng)手畫出圖形，教師再給予適時(shí)點(diǎn)撥.此外，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生所用語(yǔ)句的規(guī)范性，盡量讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述.20.1勾股定理及其應(yīng)用第3課時(shí)利用勾股定理作圖、計(jì)算課題利用勾股定理作圖、計(jì)算課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第28-29頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.了解利用勾股定理證明HL定理．2.會(huì)運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)一步感受數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3.會(huì)運(yùn)用勾股定理解決帶有一定綜合性的幾何圖形問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行作圖與計(jì)算．教學(xué)難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在較復(fù)雜的圖形中利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示，，，，…的點(diǎn)嗎？現(xiàn)在我們利用勾股定理來(lái)探究一下這個(gè)問(wèn)題.2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知【問(wèn)題1】在八年級(jí)上冊(cè)中我們?cè)?jīng)通過(guò)畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，師生共同畫圖，寫出已知、求證、證明.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注畫圖的過(guò)程，思考哪些元素相等.已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求證：△ABC≌△A'B'C'.分析：要證明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，難以找到銳角對(duì)應(yīng)相等，只能找第三邊相等，發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)勾股定理得到BC=AB2-AC2，B'C'=證明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根據(jù)勾股定理，得BC=AB2-A又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).【問(wèn)題2】怎樣在數(shù)軸上畫出表示13的點(diǎn)?師生活動(dòng)：教師幫助學(xué)生逐步分析.教師追問(wèn)1：你能畫出長(zhǎng)度為2的線段嗎?怎樣畫？3呢?5呢?師生活動(dòng)：教材第28頁(yè)的圖20.1-11，學(xué)生們獨(dú)立動(dòng)手畫圖，先按照?qǐng)D20.1-11的方法畫出長(zhǎng)為2，3，4，5，…的線段，按照同樣的方法在數(shù)軸上畫出表示13的點(diǎn).教師追問(wèn)2：繼續(xù)思考有沒(méi)有其他方法呢?師生活動(dòng)：教師幫助學(xué)生分析，將13寫成兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，則a=2，b=3，所以長(zhǎng)為13的線段是直角邊長(zhǎng)分別為2，3的直角三角形的斜邊.教師追問(wèn)3：在數(shù)軸上怎樣作出這個(gè)三角形呢？師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，并在數(shù)軸上畫出表示13的點(diǎn).教師根據(jù)巡視情況指導(dǎo)步驟如下:(1)如圖，在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA=3;(2)過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2;(3)連接OB，以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為表示13的點(diǎn).總結(jié):在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)時(shí)，將在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段問(wèn)題.第一步，利用勾股定理拆分出兩條線段長(zhǎng)的平方和等于所畫線段(斜邊)長(zhǎng)的平方，注意一般拆分的兩條線段的長(zhǎng)是正整數(shù)；第二步，以數(shù)軸原點(diǎn)為直角三角形斜邊的頂點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；第三步，以數(shù)軸原點(diǎn)為圓心，以斜邊長(zhǎng)為半徑畫弧，即可在數(shù)軸上找到表示該無(wú)理數(shù)的點(diǎn).3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1利用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)【例1】在數(shù)軸上畫出表示eq\r(17)的點(diǎn)(不寫作法，但要保留畫圖痕跡).解：如圖所示，點(diǎn)A即為所求．考點(diǎn)2勾股定理與網(wǎng)格【例2】如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，A，B都在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則ED的長(zhǎng)為 .答案：5考點(diǎn)3勾股定理與圖形的計(jì)算【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足為D，CD＝8.求AC的長(zhǎng)．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝6.設(shè)AC＝AB＝x，則AD＝x－6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝eq\f(25,3).∴AC＝eq\f(25,3).考點(diǎn)4利用勾股定理最短路徑問(wèn)題【例4】如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，它的長(zhǎng)是12dm，寬是4dm，高是3dm.(1)請(qǐng)問(wèn)：長(zhǎng)為12.5dm的鐵棒能放進(jìn)去嗎？(2)如果有一只螞蟻要想從D處爬到C處，求爬行的最短路程．解：(1)連接BD，∵AD＝12dm，AB＝4dm，∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(160＋32)＝13(dm).∵13dm>12.5dm，∴長(zhǎng)為12.5dm的鐵棒能放進(jìn)去．(2)如圖1所示，CD＝eq\r(（12＋4）2＋32)＝eq\r(265)(dm).如圖2所示，CD＝eq\r(（3＋4）2＋122)＝eq\r(193)(dm).如圖3所示，CD＝eq\r(（12＋3）2＋42)＝eq\r(241)(dm).∵eq\r(265)>eq\r(241)>eq\r(193)，∴爬行的最短路程是eq\r(193)dm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖3))4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知（1）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是()A.eq\r(5)＋1B．eq\r(5)－1C．－eq\r(5)＋1D．－eq\r(5)－1答案：B（2）在數(shù)軸上作出表示-的點(diǎn).解：∵＝=，∴是以3，1為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng).如下圖：（3）在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)．答案：eq\f(29,5)cm.（4）如圖，有一個(gè)圓柱，高為15cm，底面半徑為8πcm，在點(diǎn)A的一只螞蟻想吃到點(diǎn)B的食物，求爬行的最短路程答案：17cm.5.課堂小結(jié)，自我完善教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2.怎樣數(shù)軸上表示一個(gè)無(wú)理數(shù)？6.布置作業(yè)教材P29練習(xí)1-3；教材P30習(xí)題20.1第3，4，6，8，11，12題.板書設(shè)計(jì)利用勾股定理作圖、計(jì)算1.利用勾股定理證明HL定理2.在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)教學(xué)反思授課過(guò)程中應(yīng)找到各個(gè)環(huán)節(jié)之間的銜接點(diǎn)，使之過(guò)渡自然流暢.在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生接觸的新題型較多，大多有一定難度，應(yīng)精選典型題目，同時(shí)有效發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果.20.2勾股定理的逆定理及其應(yīng)用課題勾股定理的逆定理及其應(yīng)用課型新授課教學(xué)內(nèi)容教材第34-37頁(yè)的內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)勾股定理的逆定理的探索，經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過(guò)程．2.會(huì)用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用．3.會(huì)認(rèn)識(shí)并判別勾股數(shù)．4.利用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明．教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課【問(wèn)題1】前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，你能說(shuō)出它的題設(shè)和結(jié)論嗎?師生活動(dòng):師生共同回憶勾股定理，請(qǐng)同學(xué)指出其題設(shè)和結(jié)論，并揭示勾股定理是從形的特殊性得出邊之間的數(shù)量關(guān)系.教師追問(wèn):我們知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則有a2+b2=c2.反過(guò)來(lái)，若一個(gè)三角形的三邊具有a2+b2=c2的數(shù)量關(guān)系，能否確定這個(gè)三角形是直角三角形呢?今天我們一起來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.【問(wèn)題2】古埃及人畫直角的方法：把一根長(zhǎng)繩子打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距、4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形.你認(rèn)為這個(gè)三角形是直角三角形嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生利用準(zhǔn)備好的繩子，以小組為單位動(dòng)手操作，觀察，作出合理的推斷．教師深入小組當(dāng)中，幫助并指導(dǎo)學(xué)生討論．2.發(fā)現(xiàn)探究，學(xué)習(xí)新知【實(shí)驗(yàn)操作】(1)畫一畫:下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)(單位:cm）畫出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10.（2）量一量:用量角器測(cè)量上述各三角形的最大角的度數(shù).（3）想一想:請(qǐng)判斷這些三角形的形狀，并提出猜想.師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生按要求畫出三角形，并計(jì)算三邊的數(shù)量關(guān)系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接著度量三角形最大角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)最大角為90°.在此基礎(chǔ)上用《幾何畫板》軟件展示具有a2+b2=c2的三條線段(長(zhǎng)度可變，數(shù)量關(guān)系不變)，并以這三條線段為邊作三角形，通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)在最大角都為90，并提出猜想，得到命題2:如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【問(wèn)題3】命題1和命題2有怎樣的聯(lián)系？教師追問(wèn)：如何證明命題2？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立畫出圖形，寫出已知、求證，教師通過(guò)多媒體資源（或板書）顯示圖形、已知及求證.已知:如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2.求證:△ABC是直角三角形.【問(wèn)題4】要證明△ABC是直角三角形，只要證明∠C=90°.由命題的已知條件，能直接證明嗎?教師追問(wèn):對(duì)于△ABC，我們難以直接證明它是一個(gè)直角三角形，怎么辦?師生活動(dòng):教師啟發(fā)，如果能證明△ABC與一個(gè)以a，b為直角邊長(zhǎng)的Rt△A'BC'全等，那么就證明了△ABC是直角三角形.為此，我們可以先構(gòu)造Rt△A'B'C'.如圖，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．歸納：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.這個(gè)定理稱為勾股定理的逆定理．3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點(diǎn)1利用勾股定理的逆定理判斷三角形是不是直角三角形【例1】判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因?yàn)?52＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，這個(gè)三角形是直角三角形．(2)因?yàn)?32＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，這個(gè)三角形不是直角三角形．師生活動(dòng)：學(xué)生說(shuō)出問(wèn)題(1)的判斷思路，教師板書詳細(xì)解答過(guò)程，部分學(xué)生板演問(wèn)題(2).教師糾正學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，最后介紹勾股數(shù)的概念.在活動(dòng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注:(1)學(xué)生的解題過(guò)程是否規(guī)范.(2)是不是用兩條較小邊長(zhǎng)的平方和與較大邊長(zhǎng)的平方進(jìn)行比較.(3)是否理解了勾股數(shù)的概念，即勾股數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件:①以三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形;②三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù).考點(diǎn)2勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用【例2】如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？解：根據(jù)題意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，