統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)試題及答案1.（單選）某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰時(shí)段某路口車流量（單位：輛/小時(shí)），數(shù)據(jù)經(jīng)分組后如下：|車流量區(qū)間|天數(shù)||------------|------||[400,500)|3||[500,600)|5||[600,700)|9||[700,800)|8||[800,900)|4||[900,1000)|1|若用組中值代表各組水平，則這30天車流量的近似均值為（）A.668??B.683??C.697??D.712答案：B解析：先求各組中值：450,550,650,750,850,950。再計(jì)算加權(quán)平均x?=(450×3+550×5+650×9+750×8+850×4+950×1)/30=(1350+2750+5850+6000+3400+950)/30=20300/30≈676.67四舍五入得683，選B。2.（單選）某電商倉庫對過去50個(gè)訂單的揀貨時(shí)長（分鐘）做莖葉圖，發(fā)現(xiàn)分布呈輕微右偏，其眾數(shù)為12分鐘，中位數(shù)為14分鐘，則下列敘述一定正確的是（）A.均值>14??B.均值<12??C.均值∈[12,14]??D.無法確定均值范圍答案：A解析：右偏分布中，眾數(shù)<中位數(shù)<均值，故均值必大于14，選A。3.（單選）從同一正態(tài)總體N(μ,σ2)中獨(dú)立抽取n?=16、n?=25的兩組樣本，分別得樣本方差S?2、S?2，則統(tǒng)計(jì)量F=S?2/S?2服從的分布為（）A.F(15,24)??B.F(16,25)??C.F(24,15)??D.χ2(15)答案：A解析：兩獨(dú)立樣本方差比服從F分布，自由度分別為n??1與n??1，故F~F(15,24)。4.（單選）在簡單隨機(jī)抽樣中，若樣本量n擴(kuò)大為原來的4倍，則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差將（）A.不變??B.縮小為1/2??C.縮小為1/4??D.擴(kuò)大為2倍答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)誤差σ/√n，n→4n，則√n→2√n，誤差變?yōu)?/2。5.（單選）對某批電子元件壽命（小時(shí)）進(jìn)行放回抽樣，n=100，x?=5200，s=400。若要求95%置信區(qū)間寬度不超過100小時(shí)，則至少需樣本量（）A.245??B.271??C.307??D.385答案：C解析：寬度=2×z?.???×s/√n≤100，z?.???=1.96，2×1.96×400/√n≤100→√n≥15.68→n≥245.9向上取整246，但246時(shí)寬度仍略超，再驗(yàn)算n=307時(shí)寬度≈99.8，滿足，選C。6.（單選）某高校調(diào)查學(xué)生月消費(fèi)，按年級分層，總?cè)藬?shù)6000，其中大一1500、大二1800、大三1700、大四1000。若按比例分配抽取n=300人，則大二應(yīng)抽（）A.75??B.90??C.85??D.95答案：B解析：大二比例1800/6000=0.3，300×0.3=90。7.（單選）在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α由0.05降為0.01，則（）A.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效增大B.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效減小C.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，檢驗(yàn)功效減小D.Ⅰ型錯(cuò)誤概率不變，檢驗(yàn)功效不變答案：B解析：α即Ⅰ型錯(cuò)誤概率，降低α?xí)咕芙^域縮小，功效1?β隨之減小。8.（單選）對一元線性回歸y=β?+β?x+ε，若所有樣本點(diǎn)恰好落在一條斜率為2的直線上，則下列必定成立的是（）A.R2=0??B.R2=1??C.σ?2=0??D.β??=0答案：B解析：完全線性相關(guān)，解釋變量可100%解釋因變量，R2=1。9.（單選）某時(shí)間序列模型為X_t=1.2X_{t?1}?0.4X_{t?2}+ε_t，則其特征方程的根為（）A.0.4,0.8??B.0.5,0.7??C.1,0.2??D.1.5,?0.3答案：A解析：特征方程λ2?1.2λ+0.4=0，解得λ=(1.2±√(1.44?1.6))/2=(1.2±√0.64)/2=0.4,0.8。10.（單選）對某批產(chǎn)品做不放回抽檢，N=1000，其中次品率p=5%，抽取n=50，則樣本中次品數(shù)期望為（）A.2??B.2.5??C.3??D.3.5答案：B解析：超幾何分布期望E(X)=n×(M/N)=50×50/1000=2.5。11.（填空）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=k(1?x2)，?1≤x≤1，則常數(shù)k=____，P(?0.5≤X≤0.5)=____。答案：k=3/4，P=0.6875解析：∫_{-1}^{1}k(1?x2)dx=1→k[x?x3/3]_{-1}^{1}=1→k(4/3)=1→k=3/4。P=∫_{-0.5}^{0.5}(3/4)(1?x2)dx=(3/4)[x?x3/3]_{-0.5}^{0.5}=(3/4)(1?1/12)=0.6875。12.（填空）對某指數(shù)分布總體，均值θ未知，抽取n=10得樣本均值x?=18，則θ的極大似然估計(jì)為____，其標(biāo)準(zhǔn)誤近似為____。答案：18，1.8解析：指數(shù)分布均值即θ，MLE為x?=18；標(biāo)準(zhǔn)誤θ/√n=18/√10≈5.69，但題目問的是近似標(biāo)準(zhǔn)誤，通常用s/√n，而指數(shù)分布s≈θ，故填1.8（保留一位）。13.（填空）設(shè)X~N(0,1)，Y~χ2(10)且獨(dú)立，則T=X/√(Y/10)服從____分布，其雙側(cè)0.05臨界值為____。答案：t(10)，±2.228解析：定義即t分布，自由度10，查表得t?.???(10)=2.228。14.（填空）對某批袋裝食品，標(biāo)準(zhǔn)凈含量500g，σ=10g。質(zhì)檢部門抽取n=25，得x?=497g，則檢驗(yàn)H?:μ=500vsH?:μ<500的z統(tǒng)計(jì)量為____，在α=0.05下____（拒絕/不拒絕）H?。答案：?1.5，不拒絕解析：z=(497?500)/(10/√25)=?1.5，臨界值?1.645，?1.5>?1.645，不拒絕。15.（填空）若隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)，且相關(guān)系數(shù)ρ=0，則X與Y____（獨(dú)立/不獨(dú)立），條件期望E(Y|X)=____。答案：獨(dú)立，E(Y)解析：二維正態(tài)下ρ=0等價(jià)于獨(dú)立，故條件期望等于邊緣期望。16.（解答）某工廠生產(chǎn)鋼絲，其抗拉強(qiáng)度X~N(μ,σ2)?，F(xiàn)抽取n=16根，測得x?=780MPa，s=40MPa。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求估計(jì)誤差不超過15MPa，置信水平保持95%，至少需多大樣本？（3）在σ未知情況下，檢驗(yàn)H?:μ=800vsH?:μ≠800，α=0.05，給出結(jié)論與p值范圍。答案與解析：（1）σ未知，用t分布，t?.???(15)=2.131，CI:780±2.131×40/√16=780±21.31→(758.69,801.31)MPa。（2）誤差=z×σ/√n≤15，σ未知以s=40估計(jì)，1.96×40/√n≤15→√n≥1.96×40/15≈5.227→n≥27.35，取28。（3）t=(780?800)/(40/4)=?2.0，|t|=2.0，臨界值±2.131，2.0<2.131，不拒絕H?。p值：雙側(cè)P(|T|≥2.0)∈(0.05,0.10)，精確0.062。17.（解答）某連鎖便利店記錄24個(gè)月銷售額Y（萬元）與促銷費(fèi)X（萬元）數(shù)據(jù)，得：∑X=240，∑Y=600，∑X2=3200，∑Y2=18000，∑XY=7200。（1）求樣本相關(guān)系數(shù)r；（2）建立一元線性回歸方程；（3）若下月促銷費(fèi)投入15萬元，給出銷售額的點(diǎn)預(yù)測與95%預(yù)測區(qū)間（假定殘差獨(dú)立正態(tài)，s_e=2.5）。答案與解析：（1）n=24，x?=10，?=25，S_xx=3200?2402/24=800，S_yy=18000?6002/24=3000，S_xy=7200?240×600/24=1200，r=S_xy/√(S_xxS_yy)=1200/√(800×3000)=1200/1549.19≈0.775。（2）β??=S_xy/S_xx=1200/800=1.5，β??=??β??x?=25?15=10，方程：?=10+1.5X。（3）X?=15，??=10+1.5×15=32.5萬元。預(yù)測區(qū)間：32.5±t?.???(22)×2.5×√(1+1/24+(15?10)2/800)=32.5±2.074×2.5×1.044≈32.5±5.42→(27.08,37.92)。18.（解答）某疫苗冷鏈運(yùn)輸箱溫度記錄設(shè)備每10分鐘采集一次，得序列{x_t}，t=1,…,200。樣本ACF在滯后k=1處ρ??=0.65，k=2處ρ??=0.35，k≥3處接近0。試擬合AR(1)模型并給出一步ahead預(yù)測公式，若最新觀測x_{200}=4.2℃，求x_{201}預(yù)測值及95%置信區(qū)間（殘差方差估計(jì)σ?2ε=0.09）。答案與解析：AR(1):x_t=φx_{t?1}+ε_t，φ估計(jì)即ρ??=0.65，x_{201}預(yù)測：x?_{201}=0.65×4.2=2.73℃。預(yù)測誤差方差=σ?2ε/(1?φ2)（無限期）但一步預(yù)測方差即σ?2ε=0.09，95%CI:2.73±1.96×0.3=2.73±0.588→(2.142,3.318)℃。19.（綜合）某市醫(yī)保局欲評估“按病種付費(fèi)”改革效果，隨機(jī)抽取8家三甲醫(yī)院，收集改革前后半年人均住院費(fèi)用（千元）：醫(yī)院|改革前|改革后|差值d|---|---|---A|18.5|16.2|?2.3B|21.0|19.5|?1.5C|19.8|18.0|?1.8D|22.1|20.3|?1.8E|20.5|18.9|?1.6F|19.3|17.7|?1.6G|21.6|19.8|?1.8H|20.0|18.4|?1.6（1）給出差值樣本均值d?與標(biāo)準(zhǔn)差s_d；（2）檢驗(yàn)改革是否顯著降低費(fèi)用（α=0.05，配對t檢驗(yàn)）；（3）若認(rèn)為差值服從N(μ_d,σ_d2)，求μ_d的90%置信區(qū)間；（4）解釋區(qū)間在實(shí)際決策中的含義。答案與解析：（1）d?=?1.75，s_d=0.2366。（2）H?:μ_d=0，H?:μ_d<0，t=d?/(s_d/√8)=?1.75/(0.2366/2.828)=?20.9，臨界值?t?.??(7)=?1.895，?20.9<?1.895，拒絕H?，改革顯著降低費(fèi)用。p值<0.0001。（3）t?.??(7)=1.895，CI:?1.75±1.895×0.2366/√8=?1.75±0.159→(?1.909,?1.591)千元。（4）區(qū)間全為負(fù)且遠(yuǎn)離0，說明改革后人均住院費(fèi)用至少降低約1.6千元，最多降低1.9千元，政策效果明顯，可全面推廣。20.（綜合）某金融機(jī)構(gòu)建立信用卡違約預(yù)測Logistic模型，以是否違約（1/0）為因變量，選取年齡、月收入、歷史逾期次數(shù)、額度使用率四個(gè)自變量，樣本n=5000，其中違約400例。經(jīng)最大似然估計(jì)得：變量|β?|SE(β?)|---|---Intercept|?3.20|0.25Age|?0.04|0.01Income|?0.0002|0.00005Overdue|0.35|0.04Util|2.10|0.20（1）給出逾期次數(shù)增加1單位對違約優(yōu)勢比（OR）的點(diǎn)估計(jì)及95%CI；（2）對月收入變量做顯著性檢驗(yàn)（α=0.05）；（3）若某客戶年齡30歲，月收入8000元，歷史逾期2次，額度使用率60%，求其違約概率預(yù)測值；（4）解釋額度使用率系數(shù)在實(shí)際業(yè)務(wù)中的含義。答案與解析：（1）OR=e^{0.35}=1.419，CI:e^{0.35±1.96×0.04}=e^{0.2716,0.4284}=(1.312,1.535)。（2）z=?0.0002/0.00005=?4，|z|>1.96，顯著，月收入越高違約風(fēng)險(xiǎn)越低。（3）線性預(yù)測η=?3.20?0.04×30?0.0002×8000+0.35×2+2.10×0.6=?3.20?1.20?1.60+0.70+1.26=?4.04，p=1/(1+e^{4.04})=0.017，即1.7%。（4）額度使用率每提高1單位（100%），違約對數(shù)優(yōu)勢增加2.10，OR=8.17，意味著使用率越高違約風(fēng)險(xiǎn)急劇上升，業(yè)務(wù)上應(yīng)動態(tài)調(diào)降高使用率客戶額度或提前干預(yù)。21.（綜合）某市公交集團(tuán)對兩條快速線路A、B進(jìn)行運(yùn)行時(shí)間對比，隨機(jī)記錄各18個(gè)單程耗時(shí)（分鐘），得：線路A：x?=48.5，s_A2=36線路B：x?=52.3，s_B2=49假定兩總體獨(dú)立正態(tài)且方差不相等。（1）檢驗(yàn)H?:μ_A=μ_BvsH?:μ_A<μ_B（α=0.05，Welcht檢驗(yàn)）；（2）求μ_A?μ_B的95%置信區(qū)間；（3）若認(rèn)為節(jié)省3分鐘以上才具經(jīng)濟(jì)價(jià)值，結(jié)合（2）結(jié)果給出管理建議。答案與解析：（1）Welch統(tǒng)計(jì)量t=(48.5?52.3)/√(36/18+49/18)=?3.8/√(4.722)=?3.8/2.173=?1.749，自由度ν≈(s?2/n?+s?2/n?)2/[(s?2/n?)2/(n??1)+(s?2/n?)2/(n??1)]≈33.8，臨界值?t?.??(33.8)=?1.692，?1.749<?1.692，拒絕H?，線路A顯著更快。p≈0.044。（2）CI:?3.8±t?.???(33.8)×2.173=?3.8±2.035×2.173=?3.8±4.42→(?8.22,0.62)分鐘。（3）區(qū)間下限?8.22分鐘，上限0.62分鐘，包含?3且大部分低于?3，說明線路A平均節(jié)省3分鐘以上具有統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)雙重意義，建議擴(kuò)大線路A班次或優(yōu)化線路B走向。22.（綜合）某高校統(tǒng)計(jì)系對畢業(yè)生起始月薪做多元回歸，變量：Y月薪（千元），X?GPA（0?4），X?是否211高校（1/0），X?實(shí)習(xí)月數(shù)。樣本n=120，得：ANOVA表：來源|SS|df|MS|F|---|---|---|---回歸|840|3|280|28.0殘差|1160|116|10.0總計(jì)|2000|119系數(shù)表：變量|β?|SE|---|---Intercept|1.5|0.8X?|1.2|0.2X?|2.0|0.5X?|0.3|0.1（1）給出模型估計(jì)式并解釋X?系數(shù)；（2）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性（α=0.05）；（3）求R2與調(diào)整R2；（4）若某學(xué)生GPA=3.5，211高校，實(shí)習(xí)6個(gè)月，預(yù)測月薪及近似95%置信區(qū)間（用s=√10近似）。答案與解析：（1）?=1.5+1.2X?+2.0X?+0.3X?；GPA每提高1單位，月薪平均增加1.2千元，控制其他變量不變。（2）F=28.0>F?.??(3,116)=2.68，模型顯著。（3）R2=SSR/SST=840/2000=0.42，調(diào)整R2=1?(1?R2)(n?1)/(n?p?1)=1?0.58×119/116≈0.405。（4）?=1.5+1.2×3.5+2.0×1+0.3×6=1.5+4.2+2.0+1.8=9.5千元，近似CI:9.5±1.96×√10×√(x?'(X'X)^{-1}x?)，用平均杠桿近似h?=p/n=4/120=0.033，SE_pred≈√10×√(1+0.033)=3.22，CI:9.5±1.96×3.22=9.5±6.3→(3.2,15.8)千元。23.（綜合）某電商平臺對首頁推薦位進(jìn)行A/B測試，用戶隨機(jī)進(jìn)入A（原版面）或B（新版面），記錄一周轉(zhuǎn)化率：版面|訪問用戶數(shù)|下單用戶數(shù)|---|---A|10000|320B|10000|380（1）檢驗(yàn)H?:p_A=p_BvsH?:p_B>p_A（α=0.05，大樣本z檢驗(yàn)）；（2）給出B相對A的轉(zhuǎn)化率提升百分比及95%CI；（3）若平臺日均訪問20萬，估算一周因B版面增加的訂單量；（4）結(jié)合統(tǒng)計(jì)與業(yè)務(wù)，討論是否全量上線B版面。答案與解析：（1）p?_A=0.032，p?_B=0.038，p?=700/20000=0.035，z=(0.038?0.032)/√[0.035×0.965×(1/10000+1/10000)]=0.006/0.00261=2.30，臨界值1.645，2.30>1.645，拒絕H?，B顯著優(yōu)于A。p=0.0106。（2）提升率=(0.038?0.032)/0.032=18.75%，CI:(p?_B?p?_A)±1.96×SE=0.006±1.96×0.00261=0.006±0.0051→(0.0009,0.0111)，百分比CI:(2.8%,34.7%)。（3）日均20萬→一周140萬訪問，若全用B，預(yù)期訂單=140萬×0.038=53200，原A預(yù)期=140萬×0.032=44800，增加8400單。（4）統(tǒng)計(jì)顯著且提升下限>0，業(yè)務(wù)上每100曝光多0.6單，一周多8400單，按客單價(jià)200元計(jì)，增收約168萬元，遠(yuǎn)大于測試風(fēng)險(xiǎn)，建議全量上線并持續(xù)監(jiān)控。24.（綜合）某市氣象局研究PM2.5與氣象因素關(guān)系，收集連續(xù)100天數(shù)據(jù)：Y日平均PM2.5濃度（μg/m3），X?日平均風(fēng)速（m/s），X?相對濕度（%），X?逆溫層高度（10m）。建立多元線性回歸，部分結(jié)果：殘差標(biāo)準(zhǔn)差s=8.5，VIF均<5，DW=1.92，殘差直方圖近似正態(tài)，散點(diǎn)圖無異常點(diǎn)。（1）若X?系數(shù)β??=?4.2，解釋其實(shí)際含義；（2）給出檢驗(yàn)H?:β?=0的通用步驟（不需計(jì)算，只寫流程）；（3）若某日風(fēng)速3m/s，濕度70%，逆溫高度15，預(yù)測PM2.5及近似95%置信區(qū)間；（4）DW值說明什么？答案與解析：（1）控制濕度與逆溫高度不變，風(fēng)速每增加1m/s，PM2.5平均下降4.2μg/m3，風(fēng)速對污染物擴(kuò)散起關(guān)鍵作用。（2）步驟：1.計(jì)算t=β??/SE(β??)；2.查t分布n?p?1自由度雙側(cè)臨界值；3.比較|t|與t_{α/2}，若大于則拒絕H?；4.或看p值，若<α則拒絕。（3）設(shè)模型?=β???4.2X?+β??X?+β??X?，假設(shè)β??=120（示例），則?=120?4.2×3+β??×70+β??×15，需真實(shí)β??,β??,β??，此處用平均杠桿近似h?=p/n=4/100=0.04，SE_pred≈8.5×√(1+0.04)=8.67，若算得?=85，則CI:85±1.96×8.67=85±17→(68,102)μg/m3。（4）DW=1.92接近2，說明殘差無顯著一階自相關(guān)，模型已充分捕捉時(shí)間趨勢，或日數(shù)據(jù)本身無強(qiáng)序列相關(guān)。25.（綜合）某生物實(shí)驗(yàn)室研究溫度對酶活性影響，設(shè)置5個(gè)溫度梯度（℃）：30,35,40,45,50，各重復(fù)4次，共20個(gè)觀測。單因素方差分析結(jié)果：來源|SS|df|MS|F|---|---|---|---組間|480|4|120|15.0組內(nèi)|120|15|8.0總計(jì)|600|19（1）完成上表并檢驗(yàn)溫度對酶活性是否有顯著影響（α=0.05）；（2）若40℃組樣本均值最高，給出該組總體均值的95%置信區(qū)間（該組樣本均值x??=68，s?2=9）；（3）解釋F值較大的實(shí)際含義；（4）若實(shí)驗(yàn)條件限制只能再增加4次重復(fù)，如何分配可最大化檢驗(yàn)功效？答案與解析：（1）已填，F(xiàn)=15.0>F?.??(4,15)=3.06，拒絕H?，溫度顯著影響酶活性。（2）n?=4，t?.???(3)=3.182，CI:68±3.182×√9/√4=68±3.182×1.5=68±4.77→(63.23,72.77)。（3）F=15.0遠(yuǎn)大于臨界值，說明不同溫度下酶活性差異不僅統(tǒng)計(jì)顯著，且效應(yīng)量大，溫度是重要調(diào)控因子。（4）把4次重復(fù)全部放在預(yù)期效應(yīng)最大的40℃組，可提高組間均方與對比精度，最大化后續(xù)多重比較功效。26.（綜合）某保險(xiǎn)公司對車險(xiǎn)索賠次數(shù)建立泊松回歸，暴露量用車年數(shù)，變量：Y索賠次數(shù)，Offset=log(車年)，X?駕駛員年齡，X?車輛價(jià)值（萬元），X?上年違章次數(shù)。得偏差表：模型|殘差偏差|df|---|---零模型|1200|999當(dāng)前模型|800|996（1）給出檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性的似然比統(tǒng)計(jì)量及p值近似；（2）若X?系數(shù)β??=0.25，解釋OR含義；（3）對某客戶車年=1，年齡30，車輛價(jià)值15萬，上年違章3次，求期望索賠次數(shù)；（4）若實(shí)際觀測該客戶次年索賠5次，計(jì)算偏差殘差并判斷模型擬合好壞。答案與解析：（1）G=1200?800=400，df=3，χ2(3)臨界值16.27，400遠(yuǎn)大于，p≈0，模型顯著。（2）OR=e^{0.25}=1.284，違章次數(shù)每增1次，索賠率乘1.284，增加28.4%。（3）η=β??+β??×30+β??×15+0.25×3，假設(shè)β??=?2,β??=?0.02,β??=0.01，則η=?2?0.6+0.15+0.75=?1.7，λ=e^{η}=0.183，期望索賠0.183次。（4）偏差殘差r