專題12雙曲線及其應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：雙曲線在天津卷近三年均為單選9題左右（5分），核心考方程、離心率、漸近線、焦點(diǎn)三角形，常與拋物線綜合；2026大概率保持5分單選、中檔難度，重點(diǎn)仍在a,b,c關(guān)系與幾何性質(zhì)，與拋物線/直線綜合是主流，解答題命題概率極低。近三年考情共性：穩(wěn)定5分單選，不考解答題；核心圍繞a,b,c關(guān)系、離心率e=c/a、漸近線y=±(b/a)x；常與焦點(diǎn)、漸近線、焦點(diǎn)三角形結(jié)合，近年多與拋物線綜合，難度中檔偏基礎(chǔ)。預(yù)測2026年：結(jié)合天津高考數(shù)學(xué)的命題穩(wěn)定性及2025年試卷評析的風(fēng)格導(dǎo)向，2026年天津高考數(shù)學(xué)中題型與分值：單選8-9題（5分）為主，解答題命題概率極低；分值穩(wěn)定5分，是圓錐曲線小題重要組成部分。核心考查方向：1.

基礎(chǔ)：雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，a,b,c與離心率e的計(jì)算（必考）。2.

高頻：漸近線相關(guān)（焦點(diǎn)到漸近線距離=b、漸近線斜率與a/b關(guān)系），焦點(diǎn)三角形（面積、角度、邊長）。3.

綜合：與拋物線綜合（焦點(diǎn)、定義關(guān)聯(lián)），或與直線、圓簡單結(jié)合，考查位置關(guān)系與距離計(jì)算。4.

創(chuàng)新：可能考離心率范圍、雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)/直線距離最值，強(qiáng)化幾何直觀與定義應(yīng)用。難度與備考：難度中檔偏易，側(cè)重概念與運(yùn)算；重點(diǎn)練a,b,c關(guān)系、離心率、漸近線、焦點(diǎn)三角形，熟練定義與公式，提升與拋物線綜合題的轉(zhuǎn)化能力；小題抓快速運(yùn)算與結(jié)論應(yīng)用（如焦點(diǎn)到漸近線距離=b）。題型01雙曲線的定義及概念辨析解｜題｜策｜略（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。例1（2025·天津·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)A，B，且，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及直線的傾斜角，再結(jié)合雙曲線定義及勾股定理求出即可.【詳解】依題意，，直線的傾斜角為，即，取的中點(diǎn)，連接，由，得，，，，則，，在中，，解得，所以該雙曲線的方程為.故選：A例2（2025·天津河西·二模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點(diǎn)，滿足，且，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示得，且為等邊三角形，結(jié)合雙曲線定義以及余弦定理計(jì)算得，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】由，得，即，又，得為的中點(diǎn)，則，又，于是為等邊三角形，設(shè)的邊長為，由雙曲線定義知，，，則，，又，則，解得，在中，由余弦定理得，即，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A【變式1】（2025·天津南開·二模）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，由雙曲線的定義可得，再由余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，所以，由于過的直線斜率為，所以在等腰三角形中，，則，由余弦定理得：，化簡得，可得，即，，可得，，所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.故選：C【變式2】（2025·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；故選：C題型02利用定義求距離和差最值解｜題｜策｜略利用定義||PF1|-|PF2||＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)及基本不等式求最值例1（2025·天津·調(diào)研）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在雙曲線右支上，點(diǎn)，則最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的離心率得到，左焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義得到，然后根據(jù)幾何知識得到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，最后求最大值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，解得，，，則左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義得，因?yàn)?，即?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，所以，最大值為.故選：D.例2（2025·天津南開·一模）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，從而可得出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則，故，設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為.故選：D.【變式1】（2026·天津南開·月考）已知雙曲線，點(diǎn)F是C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C左支上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．10【答案】A【分析】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為,求出其到漸近線的距離，利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即可求得答案.【詳解】由雙曲線,可得，,設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，不妨設(shè)一條漸近線為，即，作，垂足為E，即，作,垂足為H，則，因?yàn)辄c(diǎn)P為C左支上的動點(diǎn)，所以，可得，故，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即E和H點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為，故選：A．【變式2】（2026·天津?yàn)I海新·調(diào)研）設(shè)點(diǎn)P是曲線上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是【答案】【分析】通過雙曲線的定義得，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓的圓心為，如圖所示：由雙曲線的定義得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為線段FM與雙曲線的右支，圓的交點(diǎn)時(shí)取等號．故的最小值為故答案為：題型03雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解解｜題｜策｜略1、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍（1）對于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（2）對于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型（1）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)例1（2025·天津和平·三模）已知雙曲線的上，下焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，，若的實(shí)軸長為1，且上點(diǎn)滿足，，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，由題意可知，由于，，故，解得，故，故雙曲線方程為，故選：D例2（2025·天津·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，同時(shí)點(diǎn)P在線段中垂線上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，進(jìn)而可知雙曲線浙近線的傾斜角為，進(jìn)而得到的關(guān)系，再將點(diǎn)代入雙曲線方程求解即可.【詳解】如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)可知．又點(diǎn)在線段中垂線上，則，則是等邊三角形，故雙曲線浙近線的傾斜角為．所以，即，則雙曲線方程為．將點(diǎn)代入雙曲線方程，得，解得，則雙曲線方程為，故選：C．【變式1】（2025·天津河?xùn)|·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，的延長線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，，的面積為，O為原點(diǎn)，雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求點(diǎn)到漸近線的距離，再根據(jù)可求得、，即可根據(jù)三角形面積列出關(guān)系式，再根據(jù)得出關(guān)系式，即可解方程組求出.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，設(shè)軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，①，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)直線與漸近線垂直，則點(diǎn)到直線的距離，則，因，則，，則②，因，即，則③，聯(lián)立①②③得，，則雙曲線的方程為.故選：B【變式2】（2025·天津河西·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，滿足，且，的面積為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件可得，利用三角形面積求出半焦距，再利用直角三角形性質(zhì)，結(jié)合二倍角的正切求出即可得解.【詳解】由，得，而，的面積為，則，，令雙曲線的半焦距為，則，即，直線方程為，，而，則，聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.故選：A題型04雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題解｜題｜策｜略求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。例1（2025·天津北辰·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn).若是虛軸長的倍，則該雙曲線的一條漸近線為；若，分別交軸于，兩點(diǎn)，且的周長為8，則的最大值為.【答案】（或）【分析】由題意可知：.若是虛軸長的倍，列式整理可得，即可得漸近線方程；若的周長為8，分析可知，結(jié)合定義整理可得，代入結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，且該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，若是虛軸長的倍，則，即，所以該雙曲線的一條漸近線為（或）；由題意可知：∥，且為線段的中點(diǎn)，可知分別為，的中點(diǎn)，則，可得，結(jié)合對稱性可知，又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，則，即，可得，整理可得，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故答案為：（或）；.例2（2025·天津南開·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，點(diǎn)P是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點(diǎn)P到C的兩條漸近線距離之積為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】延長，交于點(diǎn),由已知是的平分線，且，所以得到等腰三角形，所以,且點(diǎn)是中點(diǎn)，結(jié)合原點(diǎn)是中點(diǎn)，由中位線結(jié)合雙曲線定義得到，進(jìn)而求出；最后距離之積利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，延長，交于點(diǎn),由已知是的平分線，且，所以,且點(diǎn)是中點(diǎn).由原點(diǎn)是中點(diǎn)，可得，又，所以，又離心率為，，.設(shè)點(diǎn)，所以，即，所以點(diǎn)P到兩條漸近線距離之積為：.故選：B.

【變式1】（2025·天津和平·一模）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，，的面積為，且，若雙曲線C的實(shí)軸長為4，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義及對稱性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.【詳解】如圖，

由及雙曲線、直線的對稱性可知，，則由雙曲線定義可知，所以，，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以雙曲線方程為：故選：C【變式2】（2025·天津和平·二模）設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且點(diǎn)到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則點(diǎn)到該雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，分析可得，，利用雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得出三邊邊長，利用勾股定理可求得的值，進(jìn)而可求得的值，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：易知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則、，因?yàn)殡p曲線的右支上存在點(diǎn)，使得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，由雙曲線的定義可得，則，由題意可知，，由勾股定理可得，即，所以，，故，可得，所以，，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：B.題型05求雙曲線的離心率與范圍解｜題｜策｜略1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．（3）因?yàn)殡x心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡化計(jì)算．（4）通過特殊位置求出離心率．2、雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當(dāng)k>0時(shí)，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當(dāng)k<0時(shí)，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).例1（2025·天津·二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，垂足為，則，設(shè)，則，由直線的斜率為，得出，在中由余弦定理即可求解．【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，則，如圖所示，設(shè)，則，所以，所以，則，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，則，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故選：D．

例2（2025·天津·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】分情況設(shè)出焦半徑，由向量數(shù)量積為零，可得垂直，利用勾股定理，建立齊次方程，可得答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，化簡可得，由，則；②當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，由，則方程不成立.故選：D.【變式1】（2025·天津南開·一模）設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是的一條漸近線上一點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)點(diǎn)在第一象限，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，聯(lián)立，解得，從而得到，利用正切值得到，再轉(zhuǎn)化為的齊次方程求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)在第一象限，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.，解得.又因?yàn)?，所?在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故選：C【變式2】（2024·天津河西·二模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用余弦定理構(gòu)建齊次方程，求解離心率即可.【詳解】由題意得，設(shè)一條漸近線的方程為，所以，由勾股定理得，因?yàn)榇怪庇跐u近線，所以，因?yàn)?，所以，而，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，化簡得，所以，故，則B正確.故選：B題型06雙曲線的中點(diǎn)弦問題解｜題｜策｜略解決中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行舍而不求，從而簡化運(yùn)算；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過雙曲線上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有.證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴.例1（2026·天津和平·調(diào)研）直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，代入雙曲線方程，兩式相減可得，由題目條件經(jīng)整理后可得答案.【詳解】設(shè)，，則直線l的斜率為代入，得，兩式相減得：.又線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則.則.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：D例2（2025·天津紅橋·調(diào)研）已知雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線交于線段恰被該點(diǎn)平分，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)橢圓方程求出橢圓的離心率，再根據(jù)橢圓和雙曲線離心率之和為求出雙曲線的離心率，依據(jù)橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，以及雙曲線基本量的關(guān)系就可以得到雙曲的方程.（2）先考慮直線l斜率不存在時(shí)，點(diǎn)不為的中點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為，將直線和雙曲線聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合的中點(diǎn)為列方程，解方程得到k的值就可以得到直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別是和，橢圓的方程為，雙曲線方程為；橢圓中，即，，，由已知，所以；又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以；因此，雙曲線中，所以即，又，故雙曲線方程為.（2）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，根據(jù)橢圓的對稱性可知此時(shí)的中點(diǎn)為而不是點(diǎn)，故直線l的斜率一定存在；因此，設(shè)直線l的方程為即，，，將直線和雙曲線的方程聯(lián)立，整理得，得，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即，所以，解得，將代入方程即，此時(shí)判別式，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以直線l的方程為，即.【變式1】（2025·天津西青·月考）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，并設(shè)出雙曲線的方程，再聯(lián)立并借助中點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】直線的方程為：，即，設(shè)雙曲線的方程為：，由消去y并整理得：，，因弦的中點(diǎn)為，于是得，即，而，解得，滿足，所以雙曲線的方程為，即.故選：C題型07直線與雙曲線相交弦長解｜題｜策｜略求弦長的兩種方法：（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被雙曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：[例1（2025·天津武清·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線圖像對稱性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線，，的關(guān)系可計(jì)算出，，，的長度，進(jìn)而求出四邊形的面積.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線的對稱性可知軸，，，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線方程為，點(diǎn)到漸近線距離為，所以，所以，，則，所以，故選：B例2（2025·天津河?xùn)|·一模）已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，拋物線的準(zhǔn)線與交于、兩點(diǎn)，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，，由可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可求得的值，即可得解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立可得，所以，，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，則且，所以，，即，即，所以，，因?yàn)?，解?故選：A.【變式1】（2025·天津和平·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑，由此可得答案.【詳解】解：由得，所以，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑，故選：B【變式2】（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若三角形（為原點(diǎn)）的面積，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，聯(lián)立直線與漸近線方程得出的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與準(zhǔn)線方程得出的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積得出，再結(jié)合，，可解得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以直線，拋物線的準(zhǔn)線為：，聯(lián)立可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，所以，所以，即，又，，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.題型08直線與雙曲線綜合問題解｜題｜策｜略1.

先判位置關(guān)系，減少無效計(jì)算聯(lián)立直線y=kx+m與雙曲線方程，消去y得到關(guān)于x的方程：若二次項(xiàng)系數(shù)為0，直線與雙曲線漸近線平行，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)（非相切）；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，用判別式判斷：判別式>0有兩個(gè)交點(diǎn)，判別式=0相切，判別式<0無交點(diǎn)。2.

活用韋達(dá)定理，規(guī)避復(fù)雜求根設(shè)交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2)，聯(lián)立后得到一元二次方程Ax2+Bx+C=0，優(yōu)先用x1+x2=-B/A、x1x2=C/A處理弦長、中點(diǎn)、面積等問題，無需解出具體交點(diǎn)坐標(biāo)。3.

聚焦核心題型，掌握對應(yīng)技巧弦長問題：弦長公式，注意直線斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論；中點(diǎn)弦問題：用點(diǎn)差法簡化運(yùn)算（設(shè)中點(diǎn)M(x0,y0)，將A,B代入雙曲線作差，得斜率同時(shí)需檢驗(yàn)中點(diǎn)是否在雙曲線內(nèi)部；定點(diǎn)/定值問題：設(shè)直線參數(shù)（如過定點(diǎn)(x0,y0)），聯(lián)立后將目標(biāo)表達(dá)式用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)得到定值，或整理成關(guān)于參數(shù)的恒等式求定點(diǎn)。4.

關(guān)注特殊性質(zhì)，簡化解題步驟利用雙曲線漸近線特性，判斷直線與漸近線的位置關(guān)系；涉及焦點(diǎn)時(shí)，結(jié)合雙曲線定義（||PF1|-|PF2||=2a）轉(zhuǎn)化線段長度，降低計(jì)算復(fù)雜度。5.

規(guī)范檢驗(yàn)步驟，避免遺漏情況解題后需檢驗(yàn)：①聯(lián)立方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0（直線與漸近線平行的情況）；②判別式是否滿足條件（交點(diǎn)存在性）；③中點(diǎn)是否在雙曲線對應(yīng)區(qū)域內(nèi)（點(diǎn)差法必驗(yàn)）。例1（2026·天津北辰·月考）已知拋物線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線的漸近線斜率絕對值為（

）A．0.5 B． C． D．2【答案】D【分析】聯(lián)立漸近線與拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半列出等式，化簡即可求出結(jié)果.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為.因?yàn)閽佄锞€與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立漸近線與拋物線方程得，化簡得，解得或，所以得到.拋物線的準(zhǔn)線為，所以.因?yàn)闉橹苯侨切?，關(guān)于軸對稱，所以.所以，化簡得，故，即，解得，所以雙曲線的漸近線斜率絕對值為.故選：D.例2（2026·天津河?xùn)|·月考）已知直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，右支交于點(diǎn)B.(1)求斜率k的取值范圍；(2)若的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合題意列式計(jì)算即可；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理及的面積為列方程計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與雙曲線左右兩支各交于一點(diǎn)，則，解得，則求斜率k的取值范圍為.（2）由（1）知，，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，解得或（舍去），則直線的方程為.【變式1】（2025·天津武清·模擬預(yù)測）雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A．離心率為2 B．C． D．【答案】D【分析】對于A：根據(jù)垂直關(guān)系可得的值，進(jìn)而可求得離心率，對于B：分析可知為線段的中垂線，即可得結(jié)果；對于C：聯(lián)立直線方程與雙曲線方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)縱坐標(biāo)可知、為線段的三等分點(diǎn)，結(jié)合三角形面積公式判斷即可；對于D：由求解即可.【詳解】如圖所示，由題意知，，直線方程為，對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋瑒t，整理得，所以離心率，故A正確；對于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：直線的斜率分別為，可知，即為線段的中垂線，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C：過作垂足為，過作垂足為，過作垂足為，如圖所示，由選項(xiàng)A可知：直線方程為，直線方程為，聯(lián)立方程，解得，即，聯(lián)立方程，解得，即，聯(lián)立方程，解得（負(fù)值舍去），即，所以，，，可知，即、為線段的三等分點(diǎn)，所以，設(shè)到直線距離為，則，，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D：如圖所示，由選項(xiàng)A可知：，所以，故D不正確；故選：D.【變式2】（2025·天津·開學(xué)考試）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)條件，以及韋達(dá)定理，建立等量關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由條件可知，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，即?lián)立，得，所以，，①，②由①②可得，又因?yàn)榈?，且，得，，所以雙曲線的離心率.故選：B（建議用時(shí)：40分鐘）1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測）雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)，由，以及斜率公式解方程組可得，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，結(jié)合的關(guān)系，求得，即可得離心率.【詳解】由題意，，設(shè)，則，，因?yàn)樵c(diǎn)O在以線段為直徑的圓上，可得，所以，即①，又直線的斜率，可得②，聯(lián)立①②可得，即，又點(diǎn)在雙曲線上，可得，又，解得，所以.故選：B.2．（2025·天津北辰·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)?左頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用直線與漸近線求交點(diǎn)，再利用等邊三角形找到一個(gè)垂直關(guān)系，然后通過斜率來進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出離心率.【詳解】設(shè)過點(diǎn)且傾斜角為的直線為，與雙曲線的漸近線聯(lián)立可得:,,同理與雙曲線的漸近線聯(lián)立可得:,,由為等邊三角形，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，即，，，，,所以解得,故選：A.3．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知集合，，如果有且只有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】先分析出曲線表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點(diǎn)，再分情況討論當(dāng)取不同值時(shí)，表示的不同曲線，及與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)元素，所以曲線與有且只有兩個(gè)交點(diǎn).對于曲線變形可得，表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點(diǎn)，對于曲線，（1）當(dāng)時(shí)，如圖所示，表示的是一條直線，與交于，兩點(diǎn)，符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，與至多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；（3）當(dāng)時(shí)，表示的是兩條射線，，當(dāng)時(shí)，表示的是和兩條射線，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的斜率，當(dāng)時(shí)，的斜率，聯(lián)立，解得，此時(shí)與左支僅有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：4．（2025·天津·二模）已知圓，過點(diǎn)作圓O的切線l，直線l與雙曲線的一條漸近線平行，若雙曲線上一點(diǎn)M到雙曲線左、右焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為，則點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.【答案】/0.75【分析】判斷出在圓上，得到切線方程，從而，結(jié)合雙曲線定義得到，求出雙曲線方程為，設(shè)，則，由點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】由于，故在圓上，其中，由垂直關(guān)系可得切線l的斜率為，由漸近線方程的斜率為得，由雙曲線定義可知，解得，故，雙曲線方程為，兩漸近線方程為，設(shè)，則，點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.故答案為：5．（2025·天津·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上一點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)．若是上的一個(gè)動點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，則，從而得到點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，且，又為的中點(diǎn)，所以，即，所以，要使，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，根據(jù)對稱性可知，即的取值范圍是.故選：B6．（2026·天津南開·月考）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在雙曲線上（異于），設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可得，即可由離心率公式求解.【詳解】設(shè)，則，,故，故，則.故選：B7．（2026·天津薊州·月考）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為線段上一點(diǎn)，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，與的周長之和為，且它們的內(nèi)切圓面積相等，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)“與的周長之和”、“與的內(nèi)切圓面積相等”、“”等列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】記與的周長分別為與，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑為，則，根據(jù)，則，則，又與的周長之和為，所以．因?yàn)?，又，所以可得．又，所以．由，即，化簡得，所以離心率．故答案為：28．（2026·天津薊州·月考）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且直線傾斜角為若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作，垂足為，則，設(shè)，則，由直線的傾斜角為，得出，根據(jù)三角函數(shù)定義得出，在中由余弦定理即可求解．【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：則

因?yàn)椋?，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得：則，，所以，所以，則，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，所以，在中，，在中，，由余弦定理得：，整理得，，故選：A．9．（2026·天津薊州·月考）已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為.【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離求雙曲線方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程，右焦點(diǎn)，到其一條漸近線的距離，解得，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，即拋物線方