專題05橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺考點(diǎn)鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：常見(jiàn)的離心率問(wèn)題求解思路利用a,b,c的齊次式求離心率將題目中幾何條件（長(zhǎng)度、角度、垂直、平行、比例關(guān)系等）轉(zhuǎn)化為一個(gè)只包含基礎(chǔ)量

a,b,c

的齊次式方程。由于離心率

e=ca，且圓錐曲線中a,b,c

存在固有關(guān)系（橢圓：c2幾何法根據(jù)橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱性、構(gòu)造中位線等方法來(lái)求建立關(guān)于

a,c

的等量關(guān)系。解三角形的方法求離心率在圓錐曲線中，大部分的小題都圍繞著焦點(diǎn)三角形，而焦點(diǎn)三角形本質(zhì)上也是三角形，所以這里可以把圓錐曲線的基本性質(zhì)聯(lián)立解三角形的方法來(lái)解決問(wèn)題。利用余弦定理、正弦定理、面積公式來(lái)建立關(guān)于

a,c

的等量關(guān)系式。知識(shí)點(diǎn)2：求離心率的范圍主要思路是建立不等式1、利用焦半徑的取值范圍建立不等關(guān)系為橢圓上的任意一點(diǎn)，PF1∈a?c,a+c；F1,F22、利用最大頂角建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．3、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．4、利用判別式建立不等關(guān)系．5、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．6、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．【題型1利用a,b,c的齊次式求離心率】高妙技法由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；1．（25-26高二上·安徽·期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)軸求得，根據(jù)求得，再根據(jù)可得，故可求離心率.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限.由題設(shè)有，因，故，故，故，故，因?yàn)椋?，故，而，因?yàn)椋?，整理得，故，故（?fù)根舍去），故選：D.2．（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，是雙曲線的左焦點(diǎn)，滿足，，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性求得，利用向量數(shù)量積求出，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用雙曲線方程及給定面積建立方程求出離心率.【詳解】由，得雙曲線上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令該雙曲線的右焦點(diǎn)為，則四邊形是平行四邊形，，由，，得，令雙曲線半焦距為c，由，，得，即，解得，設(shè)，則，消去得，由，得，因此，整理得，即，所以雙曲線C的離心率.故選：A3．（25-26高二上·河南濮陽(yáng)·期中）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在E的右支上，點(diǎn)N在y軸上，且，，則E的離心率為．【答案】【分析】依題設(shè)點(diǎn)，，利用，代入坐標(biāo)計(jì)算可得，再由，化簡(jiǎn)后將結(jié)論代入可得，利用點(diǎn)是E的右支上的一點(diǎn)，建立關(guān)于的方程，求解即得離心率.【詳解】如圖：設(shè)點(diǎn)，則，，因，則，由可得，解得（*），又，可得，將（*）代入整理得，即.又點(diǎn)是E的右支上的一點(diǎn)，故，將以上結(jié)論代入可得，因代入可得，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，可得，解得或，因，故，則.故答案為：4．（25-26高二上·河北·月考）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（在軸上方），垂直于軸，連接并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系列出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)共線向量得到的關(guān)系式，進(jìn)而可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)作軸，因?yàn)榇怪庇谳S，將代入橢圓方程，得，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，，即，代入橢圓方程得，即，因?yàn)椋裕?故答案為：.【題型2利用勾股定理】高妙技法當(dāng)頂角為直角時(shí)，也是常考的一種焦點(diǎn)三角形的類(lèi)型，這是多次使用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題。1．（25-26高二上·湖北·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若上存在點(diǎn)使得，且，則橢圓的離心率為【答案】【分析】根據(jù)橢圓的相關(guān)概念，結(jié)合離心率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】設(shè)，，則，且，所以.故答案為：.2．（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合在圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角、勾股定理、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，于是有，由橢圓的定義可知：，，在圓中，是直徑，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故選：B3．（25-26高二上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)作直線交橢圓于、，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，設(shè)，，根據(jù)題意在中，根據(jù)求出的關(guān)系，即可求出，在中，根據(jù)求出的關(guān)系，再結(jié)合離心率求解即可.【詳解】連接，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，在中，，所以，化?jiǎn)得，則，所以，所以，，在中，，所以，即，所以離心率.故選：C.4．（25-26高二上·安徽·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在上，且，，則的離心率為.【答案】【分析】設(shè)求得相關(guān)線段長(zhǎng)度，中根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)中勾股定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)則又，則又，則,則中,，解得，所以，中，化簡(jiǎn)為，所以，故答案為：【題型3利用正余弦定理】高妙技法題目中如果有角度關(guān)系，三角形的兩邊比值時(shí)，可以考慮用正弦定理構(gòu)a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率。1．（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，，且，，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】利用同角關(guān)系及兩角差的正弦公式求得的值，然后利用正弦定理，再利用橢圓的定義和合比性質(zhì)求解離心率即可.【詳解】因?yàn)椋?又，所以或，當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去.所以，所以，設(shè)，由正弦定理得，故，所以，又，所以，所以.故答案為：2．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，、分別為其左、右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，滿足，則橢圓離心率的值是.【答案】【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，利用正弦定理得到，再由橢圓的定義及雙曲線的定義得到，結(jié)合得到，兩邊除以得到的方程，解得，再求出.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，由正弦定理得.∵，∴，∴.∵，，∴，∴.又∵，所以，兩邊除以并化簡(jiǎn)得，∴或（舍去），則.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．3.（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線以為焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，記，若，則橢圓的離心率取值范圍是．【答案】【分析】利用正弦定理化角為邊，根據(jù)橢圓與拋物線的定義及性質(zhì)，結(jié)合已知條件構(gòu)造不等式求出離心率的取值范圍．【詳解】

橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，拋物線以為焦點(diǎn)，，解得，拋物線方程為，在中，由正弦定理得，，，解得，，，在拋物線上，，由橢圓的焦半徑公式得：，，解得，則，，整理得，解得，又，．故答案為：．4．（多選）（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程：，其左右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)（是異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)），在中，記，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．與橢圓切于點(diǎn)的切線方程為D．若直線的斜率存在，則【答案】ACD【分析】利用橢圓定義及正弦定理推理判斷A；利用橢圓定義、余弦定理、三角形面積公式及二倍角公式求解判斷B；設(shè)出切線方程并現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出切線斜率判斷C；設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立推理判斷D.【詳解】令橢圓的半焦距為，則，對(duì)于A，在中，由正弦定理，得，因此，A正確；對(duì)于B，在中，由余弦定理，得，則，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，與橢圓切于點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)方程為，由消去得：，，整理得，而，則，即，解得，因此切線方程為，整理得，C正確；對(duì)于D，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去得，，，，D正確.故選：ACD【題型4利用雙余弦定理】高妙技法根據(jù)題目條件兩次使用余弦定理，列出a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率1．（25-26高二上·河北石家莊·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在橢圓C上，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，，，則橢圓C的離心率為.【答案】【分析】利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義可知，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可知，因?yàn)?，所以，于是，，，因此在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，于是有，故答案為?．（25-26高二上·山西·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線過(guò)右焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若與的面積之比為，則直線的斜率為（

）A． B．±2 C． D．【答案】D【分析】由得，進(jìn)而得，設(shè)，則，在和中利用余弦定理結(jié)合得，又解出，進(jìn)而得點(diǎn)，即可求解.【詳解】由題意，得，所以，又，所以，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理的推論，可得在中，由余弦定理的推論，可得又，所以，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，即，故代入可得，所以，故點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，進(jìn)而可得直線的斜率為，故選：D.3．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于，且，，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】設(shè)雙曲線上一點(diǎn)處的切線為，聯(lián)立后利用以及點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)求得切線方程，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用可求得，結(jié)合雙曲線方程和兩點(diǎn)間距離公式可求得，結(jié)合雙曲線定義和向量數(shù)乘關(guān)系可分別表示出，在中分別利用余弦定理求得，由此可構(gòu)造齊次式求得離心率.【詳解】不妨令為下焦點(diǎn)，為上焦點(diǎn)，設(shè)，在點(diǎn)處的切線為，則，由得：，且，又，整理可得：，，則點(diǎn)處的切線為，；，，解得：，，，由雙曲線定義得：，，，，在中，，在中，，，即，離心率.故答案為：.4．（25-26高二上·河南漯河·期中）設(shè)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，直線與的右支的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為.【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線的定義和余弦定理即可求解.【詳解】由雙曲線的定義，所以，，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，在中，，即，即，所以.故答案為：【題型5利用對(duì)稱性】高妙技法充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的幾何特性來(lái)轉(zhuǎn)化關(guān)系。1．（25-26高二上·貴州貴陽(yáng)·月考）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱性以及得出四邊形為矩形，再結(jié)合定義得出，，最后在中利用勾股定理即可.【詳解】連接，因，且為線段的中點(diǎn)，則四邊形為矩形，則，因，則，則，，在中利用勾股定理得，，則，故橢圓的離心率為.故選：C．2．（25-26高二上·遼寧·月考）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足，在線段上，在線段上，，，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，設(shè)，由對(duì)稱性可知，，然后利用橢圓的定義及勾股定理列式求得，，即可求解離心率.【詳解】連接，設(shè)，，由對(duì)稱性可知，則，，，因?yàn)?，則分別在Rt和Rt中，有，解得，，化簡(jiǎn)得，故．故選：B3．（25-26高二上·遼寧沈陽(yáng)·月考）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)原點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左右支于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的對(duì)稱性先判定四邊形為矩形，再根據(jù)定義結(jié)合勾股定理得出的關(guān)系式，計(jì)算即可.【詳解】連接，，則由雙曲線的對(duì)稱性知．因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形．設(shè)，而所以，．在Rt中，，所以，解得．在Rt中，，所以，則，所以．所以雙曲線的離心率為．故選：D4．（25-26高二上·河北邯鄲·期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且，，四邊形的面積為，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，結(jié)合余弦定理、向量數(shù)量積公式與三角形面積公式計(jì)算可得、的關(guān)系，再利用橢圓的定義與橢圓離心率定義計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)，由橢圓對(duì)稱性，不妨設(shè)，由余弦定理得，由已知得，又，又，則，整理得，故或（舍去），由橢圓的定義可得，則，，故，故.故選：B.【題型6利用中位線】高妙技法遇到中點(diǎn)或者角分線時(shí)，可以考慮需不需要構(gòu)造中位線來(lái)解決問(wèn)題。1．（25-26高二上·河北·月考）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓，過(guò)作圓的切線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分為點(diǎn)在雙曲線的左支上和點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)在雙曲線的右支上兩種情況討論，結(jié)合幾何關(guān)系和雙曲線的定義求出或，再利用離心率即可求解.【詳解】情況一：如圖（1），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，設(shè)過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，連接，則，過(guò)作，垂足為，由題可知，，則，因?yàn)椋尹c(diǎn)為中點(diǎn)，則，，由，則，，由雙曲線定義得，即，所以，所以，選項(xiàng)B正確；情況二：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)在雙曲線的右支上，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，連接，則，過(guò)作，垂足為，同情況一，，，，，，由，則，，由雙曲線定義得，，所以，所以，選項(xiàng)C正確.故選：BC.2．（25-26高二上·重慶·期中）已知，是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段與圓相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線，三角形中位線結(jié)合橢圓定義，可以求出，，再用勾股定理找到，進(jìn)而將化簡(jiǎn)為，利用均值不等式求解即可.【詳解】由題意，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，又為的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，所以，所以；所以，，在中，，即，則，整理得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故選：D.3．（2025高二上·安徽·專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為且過(guò)點(diǎn)，，分別是橢圓在軸上的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)第一象限在橢圓上，且交軸于點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出橢圓方程，結(jié)合已知條件作出示意圖，設(shè)點(diǎn)，利用橢圓的性質(zhì)結(jié)合角平分線定理得出三角形的相似關(guān)系，從而得出關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域范圍．【詳解】設(shè)橢圓方程為，橢圓的離心率為且過(guò)點(diǎn)，，解得，橢圓方程為，焦點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，由中位線定理可得，．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，即，且，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，同理可得，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)第一象限在橢圓上，，，，，,，又，，，令，求導(dǎo)得恒成立，即在上單調(diào)遞增，，，故的取值范圍為．故選：D．4．（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為6，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點(diǎn)的周長(zhǎng)，從而求得半焦距，再由離心率的定義式計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的一半，又的周長(zhǎng)為6，所以周長(zhǎng)是12，即，得，又，所以，．故選：B．【題型7求離心率范圍】高妙技法根據(jù)題目條件以及圓錐曲線的一些限制條件來(lái)構(gòu)造離心率的不等式，從而求離心率的范圍。1．（25-26高二上·遼寧沈陽(yáng)·月考）橢圓的右焦點(diǎn)為，在橢圓上存在點(diǎn)滿足線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，結(jié)合橢圓的焦半徑范圍建立齊次式計(jì)算即可.【詳解】由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，又，，，整理得，又，∴解不等式得：．故選：D．2．（25-26高二上·廣東東莞·期中）已知是橢圓的焦點(diǎn)，，分別是上第二、四象限上的點(diǎn)．若四邊形為矩形，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取橢圓的上頂點(diǎn)，可根據(jù)求離心率的取值范圍.【詳解】如圖：取橢圓的上頂點(diǎn)，因?yàn)榇嬖?，分別是上第二、四象限上的點(diǎn)，使得四邊形為矩形，所以必有.即.所以.所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D3．（25-26高二上·浙江·月考）已知雙曲線，，若圓上存在點(diǎn)使得的中點(diǎn)在的漸近線上，則離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，設(shè)，設(shè)PA中點(diǎn)為Q，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)Q在漸近線上，代入可得，由題意，點(diǎn)P為圓M與直線的公共點(diǎn)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，漸近線方程為，即，設(shè)，設(shè)PA中點(diǎn)為Q，由，得，因?yàn)镼在漸近線上，所以，即，所以點(diǎn)P為圓M與直線的公共點(diǎn)，由題意圓M的圓心為，半徑為2，則圓心M到直線的距離，，所以，解得.所以離心率的取值范圍為.故選：B4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)半焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，，由得，從而可得，由的范圍即可求的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，它們的半焦距為，于是得，.由橢圓及雙曲線的對(duì)稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在軸上，在軸右側(cè)，如圖，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，.因，即，而是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有.又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為:.1．（25-26高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，其中．橢圓上存在一點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點(diǎn)，然后由向量數(shù)量積得到的軌跡，應(yīng)用在橢圓上則兩個(gè)曲線有交點(diǎn)，再求離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以圓與橢圓有交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，即，則，則則，即橢圓離心率，故選：D.2．（25-26高二上·山東青島·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與相交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出符合題意的圖形，利用橢圓的定義建立齊次方程，進(jìn)而求解離心率即可.【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，找到橢圓的右焦點(diǎn)，連接，

由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?，可得，因?yàn)?，所以，則是等邊三角形，由矩形性質(zhì)得，由等邊三角形性質(zhì)得，，結(jié)合題意可得，由橢圓的定義得，可得，化簡(jiǎn)得，故A正確.故選：A3．（25-26高二上·江西景德鎮(zhèn)·月考）如圖，點(diǎn)分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，，且，則的離心率為.【答案】【分析】利用橢圓的定義設(shè)出焦半徑，結(jié)合勾股定理列方程組，求得離心率.【詳解】如圖，延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，連接.設(shè)由知且，由橢圓的定義可知.又所以，所以所以由橢圓的定義可知.因?yàn)?，所以在中，由勾股定理得?①在中，由勾股定理得即整理得.將代入①式得，整理得，所以離心率.故答案為：.4．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】由可知，又可得，則．設(shè)，，在中，由雙曲線的定義及勾股定理可求得，．由根據(jù)正弦定理可知，進(jìn)而可求得離心率的范圍．【詳解】由可知，由是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則，可得．

設(shè)，，在中，由雙曲線的定義可知，由勾股定理可知，則，，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜芍?，代入整理可得，則，又，所以．則雙曲線的離心率的取值范圍是．故答案為：．5．（25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·月考）已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以P為圓心，PF為半徑的圓與y軸相交于A，E兩點(diǎn)，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出，再結(jié)合垂直關(guān)系列式解齊次式得出離心率.【詳解】由題可知，，過(guò)作軸，垂足為，如圖所示．因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，設(shè)，所以，即，解得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，所以，即圓的半徑，因?yàn)閳A心在弦的垂直平分線上，所以為的中點(diǎn)．又因?yàn)椋裕谥校?，，所以，所以，即，即，解得或，因?yàn)?，所以．故選：D.6．（25-26高二上·廣東佛山·月考）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，為半徑的圓與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)和定義，結(jié)合余弦定理及兩點(diǎn)間距離公式列方程組求出的關(guān)系，進(jìn)而利用橢圓的離心率公式計(jì)算求解．【詳解】橢