5.3實(shí)踐與探究教學(xué)目標(biāo)1.掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟，能規(guī)范解題；2.熟記各類常見問(wèn)題的核心等量關(guān)系，能快速提煉實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系；3.會(huì)根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)選擇合適的設(shè)元方式，準(zhǔn)確列出方程；4.能解決基礎(chǔ)及中檔難度的實(shí)際問(wèn)題，初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想；5.培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，形成用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）列方程解應(yīng)用題的“審、設(shè)、列”三步核心環(huán)節(jié)；（2）各類常見問(wèn)題的核心等量關(guān)系（如行程、銷售、工程問(wèn)題）；（3）根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)選擇直接或間接設(shè)元的方法；（4）檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義。難點(diǎn)：（1）復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題中核心等量關(guān)系的提煉（如含隱藏條件的行程問(wèn)題）；（2）分段計(jì)費(fèi)、方案選擇問(wèn)題的分類討論與計(jì)算；（3）形積變化問(wèn)題中公式的靈活運(yùn)用及單位統(tǒng)一；（4）輔助設(shè)元法的合理使用（如復(fù)雜銷售問(wèn)題設(shè)進(jìn)價(jià)為輔助量）?！炯磳W(xué)即練】知識(shí)點(diǎn)01：列方程解應(yīng)用題的通用步驟核心是“審→設(shè)→列→解→驗(yàn)→答”，審清題意找，設(shè)（直接/間接/輔助設(shè)元），列，求解后檢驗(yàn)解的與，最后規(guī)范作答。【即學(xué)即練】1．第十五屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年11月9日至21日在粵港澳三地舉行．在全運(yùn)會(huì)期間，某特許商店購(gòu)進(jìn)一批吉祥物“喜洋洋”“樂(lè)融融”玩偶，原計(jì)劃按每套45元的價(jià)格銷售，恰好能售完所有玩偶，實(shí)際銷售時(shí)，商店決定降價(jià)促銷，每套售價(jià)降低了3元，結(jié)果比原計(jì)劃多賣出20套，且總銷售額比原計(jì)劃增加了120元．求該商店原計(jì)劃賣出多少套吉祥物玩偶？即該商店原計(jì)劃賣出240套吉祥物玩偶．知識(shí)點(diǎn)02：常見實(shí)際問(wèn)題的核心模型與等量關(guān)系涵蓋和差倍分、行程、銷售、工程、配套、形積變化等場(chǎng)景，核心是抓住各場(chǎng)景本質(zhì)（如行程問(wèn)題s=vt、銷售問(wèn)題“利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”、工程問(wèn)題“工作量=效率×?xí)r間”）?！炯磳W(xué)即練】1．某商場(chǎng)將一批學(xué)生書包按成本價(jià)提高后標(biāo)價(jià)，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利12元，這種書包的成本是多少元？利潤(rùn)率是多少？(1)小林借助框圖直觀地表示了商場(chǎng)從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利的過(guò)程，根據(jù)題意請(qǐng)用含x的代數(shù)式將數(shù)量信息標(biāo)注在框圖中．解：設(shè)這種書包的成本是x元，(2)借助框圖，列出方程，并計(jì)算出該商品的成本是多少元？利潤(rùn)率是多少？知識(shí)點(diǎn)03：設(shè)元與列方程技巧根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)選擇方式，復(fù)雜問(wèn)題可設(shè)輔助量；列方程時(shí)保證兩邊，用含未知數(shù)的代數(shù)式準(zhǔn)確表示，緊扣核心構(gòu)建方程。【即學(xué)即練】1．列一元一次方程解決下列實(shí)際問(wèn)題(1)我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī)：我問(wèn)開店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間房．求該店有客房多少間？房客多少人？(2)輪船在河流中來(lái)往航行于A、B兩碼頭之間，順流航行全程需7小時(shí)，逆流航行全程需9小時(shí)，已知水流速度為每小時(shí)，求船在靜水中的速度．（船在順流中速度=船在靜水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在靜水中速度﹣水流速度）知識(shí)點(diǎn)04：解的檢驗(yàn)與實(shí)際問(wèn)題優(yōu)化檢驗(yàn)解是否符合及實(shí)際情境（如人數(shù)、長(zhǎng)度為正）；方案選擇類問(wèn)題需計(jì)算不同方案的費(fèi)用/收益，對(duì)比后選擇最優(yōu)解?！炯磳W(xué)即練】1．橫道滑雪場(chǎng)位于黑龍江省牡丹江市海林市橫道河子鎮(zhèn)，該雪場(chǎng)始建于1998年5月，占地30萬(wàn)平方米，是牡丹江地區(qū)規(guī)模最大、設(shè)備最先進(jìn)的、四季開放的綜合性滑雪場(chǎng)．某學(xué)校體育社團(tuán)利用周末時(shí)間去橫道滑雪場(chǎng)滑雪，滑雪場(chǎng)全天暢滑單人票為200元．由于體育社團(tuán)人數(shù)較多，滑雪場(chǎng)負(fù)責(zé)人提供了兩種優(yōu)惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人數(shù)超過(guò)15人，超出部分打七五折．（體育社團(tuán)人數(shù)為人，其中）(1)方案一費(fèi)用是元；方案二費(fèi)用是元．（用含的代數(shù)式表示）(2)如果你是體育社團(tuán)負(fù)責(zé)人，該如何選擇方案呢？(3)已知體育社團(tuán)人數(shù)多于25人且不超過(guò)30人，體育社團(tuán)負(fù)責(zé)人對(duì)比了兩種方案的費(fèi)用，將節(jié)省下來(lái)的錢用于購(gòu)買橫道滑雪場(chǎng)鑰匙鏈留作紀(jì)念，每人恰好一個(gè)，已知鑰匙鏈單價(jià)為元．（為正整數(shù)）求鑰匙鏈單價(jià)多少錢？體育社團(tuán)共有多少人？（請(qǐng)直接寫出答案）題型01：和差倍分問(wèn)題方法技巧：抓住“多、少、倍、分、增長(zhǎng)、減少”等關(guān)鍵詞，明確各量之間的和差倍關(guān)系；設(shè)基數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列方程?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·湖北宜昌·期末）根據(jù)條件“x的14比它的13小5”中的數(shù)量關(guān)系列出方程為【變式1】.（25-26六年級(jí)上·上海·月考）已知y的2倍與3的差是y的3倍與5的和的13，求y【變式2】.（25-26七年級(jí)上·寧夏銀川·期末）2026年的元旦期間，某班以小組為單位，開展了“我手中的新年”手工作品展示活動(dòng)，小欣和小樂(lè)所在小組打算制作燈籠．如果每人做10個(gè)，那么比計(jì)劃多了12個(gè)；如果每人做8個(gè)，那么比計(jì)劃少4個(gè)．問(wèn)題：該小組共有多少人？計(jì)劃做多少個(gè)燈籠？她倆經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后，分別列出如下方程．小欣的方法：10x小樂(lè)的方法：y+12(1)在小欣所列的方程中，未知數(shù)x表示的意義是，在小樂(lè)所列的方程中，未知數(shù)y表示的意義是．(2)請(qǐng)選擇一種方法，將原題中的問(wèn)題解答完整．【變式3】.（25-26七年級(jí)上·青海西寧·期末）列方程解應(yīng)用題在中國(guó)傳統(tǒng)文化中，紅色的中國(guó)結(jié)象征著喜慶和繁榮，常常被賦予吉祥、幸福、團(tuán)圓、美滿等美好的祝愿．已知編一個(gè)大中國(guó)結(jié)比編一個(gè)小中國(guó)結(jié)多用1m的繩子．王老師編了3個(gè)大中國(guó)結(jié)和7個(gè)小中國(guó)結(jié)，共計(jì)用繩子33m．(1)求王老師編一個(gè)大中國(guó)結(jié)和一個(gè)小中國(guó)結(jié)各用繩子多少米？(2)按照王老師的方法，七年級(jí)1班40名同學(xué)快速行動(dòng)起來(lái)，女生編小中國(guó)結(jié)，男生編大中國(guó)結(jié)，每位女生一節(jié)課可以編3個(gè)小中國(guó)結(jié)，每位男生一節(jié)課可以編2個(gè)大中國(guó)結(jié)，一節(jié)課后發(fā)現(xiàn)小中國(guó)結(jié)的數(shù)量是大中國(guó)結(jié)的1.5倍，求七年級(jí)1班女生，男生各有多少人？題型02：數(shù)字問(wèn)題方法技巧：間接設(shè)各數(shù)位上的數(shù)字為未知數(shù)，用數(shù)位表示法寫出原數(shù)和新數(shù)；根據(jù)“數(shù)字和、數(shù)字差、新數(shù)與原數(shù)的關(guān)系”列方程?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字是十位上的數(shù)字的1.5倍，十位上的數(shù)字是百位上的數(shù)字的2倍．若將三個(gè)數(shù)字順序顛倒后，所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的差是396，則這個(gè)三位數(shù)是．【變式1】.（25-26七年級(jí)上·青海海東·月考）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)大2，個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)的和為8，這個(gè)兩位數(shù)是．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·陜西榆林·期末）幻方，中國(guó)古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”．如圖所示的幻方中，每一橫行、每一豎列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和均相等，則x-y的值為（y47x6A．-6 B．-12 C．63 D【變式3】.（25-26七年級(jí)上·吉林·期末）圖1是2026年1月的月歷．【規(guī)律感知】景怡在月歷中用“工”形框框出7個(gè)數(shù)，移動(dòng)“工”形，若框出的7個(gè)數(shù)如圖2所示，直接寫出a=，b=【規(guī)律整合】嘉軒在月歷中用“H”形框也框出7個(gè)數(shù)，移動(dòng)“H”形，若框出的7個(gè)數(shù)如圖3所示，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示c=，d=；兩人框出的7個(gè)數(shù)字之和分別為M，N；當(dāng)“工”形框與“H”形框的中間數(shù)字相等時(shí)，MN（填“>”“<”或“＝【遷移延伸】將上面“工”形，“H”形兩個(gè)框的中心重合后，形成一個(gè)框出9個(gè)數(shù)的方框，使其滿足“三階幻方”分布規(guī)律：每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等．如圖4所示，是一個(gè)滿足條件的三階幻方的一部分，則x的值為．題型03：年齡問(wèn)題方法技巧：設(shè)“x年后/前”為未知數(shù)，利用“年齡差不變”建立等量關(guān)系；注意年齡不能為負(fù)數(shù)，符合實(shí)際生活邏輯?！镜淅?】.（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）5年前，小明和小亮的年齡和是32歲，今年小明的年齡是小亮年齡的2倍，小明今年多少歲？【變式1】.（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）小明問(wèn)老師的年齡，老師笑著說(shuō)：“我們兩人現(xiàn)在的年齡和為50歲，5年后，我的年齡比你的年齡的2倍還大3歲．”小明聽后笑著說(shuō)：“老師，我知道自己的年齡，也就知道了您的年齡．”老師今年的年齡是（

）A．36歲 B．38歲 C．40歲 D．42歲【變式2】.（24-25七年級(jí)上·河北秦皇島·期末）哥哥8歲，媽媽32歲，弟弟年齡的16倍加上哥哥的年齡正好等于爸爸的年齡，弟弟年齡的4倍加上媽媽的年齡也恰好等于爸爸的年齡，那么弟弟的年齡是多大？解：設(shè)弟弟的年齡為x歲，則有：16嘉嘉同學(xué)的解法：移項(xiàng)得：16合并同類項(xiàng)得：12x=24，系數(shù)化為1琪琪同學(xué)的解法：移項(xiàng)得：16x-32=4兩邊同除以4x-（1）弟弟的年齡是歲．（2）琪琪得出錯(cuò)誤的結(jié)論的原因是．【變式3】.（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）小華的年齡是8歲，小青的年齡是9歲，求得他們今年的年齡之和是17歲，像這樣的問(wèn)題就是年齡問(wèn)題．(1)3年前，小康的年齡是17歲；3年后，小康的年齡是多少歲？(2)小晨的年齡是5歲，小鈴的年齡是7歲，多少年后他們的年齡和是30歲？(3)小丁對(duì)小當(dāng)說(shuō)：“我到你這個(gè)年紀(jì)時(shí)，你就25歲了．”小當(dāng)對(duì)小丁說(shuō)：“我在你這么大時(shí)，你才4歲．”小丁今年多少歲？題型04：古文數(shù)學(xué)問(wèn)題方法技巧：翻譯古文含義，提煉已知量、未知量及等量關(guān)系；按“審設(shè)列解驗(yàn)答”步驟解題，重點(diǎn)是準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化文字描述為數(shù)學(xué)關(guān)系?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·月考）我國(guó)古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩(shī)：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童們?cè)跇湎履弥窀透吲d地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿．”設(shè)牧童人數(shù)為x人，則可列方程為（

）A．5x-12=8C．8x-12=5【變式1】.（25-26七年級(jí)上·河北邯鄲·月考）《孫子算經(jīng)》中有問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”若雞有x只，則可列方程為（

）A．2x+435-C．2x+35-【變式2】.（25-26七年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）在2000多年前的《九章算術(shù)》中記載了“共買雞問(wèn)題”：“今有共買雞，人出九，盈十一：人出六，不足十六，問(wèn)人數(shù)幾何？”題意是：有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多11文錢：如果每人出6文錢，就差16文錢，買雞人．【變式3】.（25-26七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．問(wèn)：人、銀各幾何？（選自《算法統(tǒng)宗》）題目大意：幾個(gè)人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩．有多少個(gè)人？有多少兩銀子？(1)假設(shè)人數(shù)為x，請(qǐng)先填寫下表，然后完成解答；有關(guān)量每人分7兩每人分9兩人數(shù)xx分銀子總量7銀子總量7(2)請(qǐng)你換一種方法解決這個(gè)問(wèn)題．有關(guān)量每人分7兩每人分9兩人數(shù)xx分銀子總量79銀子總量79題型05：日歷/數(shù)陣問(wèn)題方法技巧：設(shè)日歷中核心數(shù)（如中間數(shù)）為未知數(shù)，利用“日歷中相鄰數(shù)的差為1或7”表示其他數(shù)；根據(jù)“數(shù)字和”列方程，檢驗(yàn)解是否在日歷合理范圍內(nèi)。【典例5】.（25-26七年級(jí)上·福建南平·月考）如圖是2025年元月的日歷，用圖1中的“工”型圖案蓋住圖2中的7個(gè)數(shù)，若“工”型圖案蓋住的7個(gè)數(shù)的和為154，則“工”型圖案最中間的數(shù)為．【變式1】.（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖1是2026年1月的日歷，用圖2框出圖1中4個(gè)數(shù)，若這4個(gè)數(shù)的和是82，則這4個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·陜西榆林·期末）如圖是某月的月歷、用“H”形框（陰影部分）覆蓋任意七個(gè)數(shù)并求它們的和，則這七個(gè)數(shù)的和可能是（）A．189 B．126 C．112 D．85【變式3】.（25-26七年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖是2026年3月份的日歷，任意圈出一斜列上相鄰的三個(gè)數(shù)，它們的和不可能是（）A．27 B．33 C．44 D．60題型06：行程問(wèn)題方法技巧：畫示意圖分析路程關(guān)系，明確“總路程”“追及路程”等核心量；根據(jù)s=vt，用含時(shí)間（或速度）的未知數(shù)表示路程，列方程。【典例6】.（25-26七年級(jí)上·四川德陽(yáng)·月考）一列勻速前進(jìn)的火車從進(jìn)入320m長(zhǎng)的隧道到完全通過(guò)隧道經(jīng)歷18s，隧道頂部安裝了一臺(tái)固定的激光發(fā)射器，它會(huì)持續(xù)發(fā)出一道垂直向下的極細(xì)激光（激光線不移動(dòng)），激光照射在車身上的時(shí)間為10s，則這列火車的長(zhǎng)為（

）A．178m B．320m C．400m D．576m【變式1】.（25-26七年級(jí)上·山西晉中·期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊，乙發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安，今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長(zhǎng)安，同幾何日相逢？其大意為：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，5日到齊國(guó)，乙從齊國(guó)出發(fā)，7日到長(zhǎng)安，現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā)，問(wèn)甲經(jīng)過(guò)多少日與乙相逢？設(shè)甲經(jīng)過(guò)x日與乙相逢，可列方程為（

）A．x+27=C．x+27+【變式2】.（甘肅省蘭州市四校聯(lián)考2025-2026學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試卷）2025年粵港澳大灣區(qū)跨境交通升級(jí)，深港兩條跨境專線巴士分別從深圳龍崗候機(jī)樓和香港尖沙咀同時(shí)出發(fā)、相向而行，兩地相距90公里．已知深圳出發(fā)的巴士速度比香港出發(fā)的巴士快10千米/時(shí)，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)兩車在蓮塘口岸相遇．求香港出發(fā)的巴士和深圳出發(fā)的巴士的速度各是多少？【變式3】.（25-26六年級(jí)上·上海普陀·期末）綜合與實(shí)踐：周末小普同學(xué)和6名好友租了兩輛專車從A地一起去B地看演出，途中一輛專車在離B地還有18千米處發(fā)生故障，只得由另一輛專車將大家送達(dá)B地，但此時(shí)距離B地的演出開始還剩下50分鐘，這時(shí)司機(jī)提出了如下兩種方案：方案一先送4人，其余3人原地不動(dòng)等待專車返回接送相關(guān)數(shù)據(jù)：專車行駛的平均速度：60千米/時(shí)．乘客行走的平均速度：5千米/時(shí)．每輛專車限乘5人（含司機(jī)）．方案二先送4人，其余3人先步行，途中與專車相遇后上車前行(1)如果按方案一實(shí)施，那么他們能否趕上B地的演出？并說(shuō)明理由；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案二能否保證他們?cè)谝?guī)定的時(shí)間到達(dá)B地的演出現(xiàn)場(chǎng)；(3)小普同學(xué)認(rèn)為方案一和方案二都不是最節(jié)省時(shí)間的方案，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)方案并求出從故障地到達(dá)B地演出現(xiàn)場(chǎng)的最短時(shí)間．題型07：銷售問(wèn)題（盈虧/打折）方法技巧：熟記利潤(rùn)、利潤(rùn)率公式，區(qū)分“標(biāo)價(jià)、售價(jià)、進(jìn)價(jià)”；以“利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”或“利潤(rùn)率=（利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)）×100%”為核心等量關(guān)系列方程?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·青海西寧·期末）根據(jù)下面兩人的對(duì)話，若設(shè)哥哥買手機(jī)的預(yù)算為x元，則可列方程為（

）弟弟：哥哥你的手機(jī)買了沒(méi)有？哥哥：沒(méi)有，現(xiàn)在的售價(jià)比我的預(yù)算多1200元．弟弟：元旦這臺(tái)手機(jī)會(huì)打8折促銷．哥哥：如果這樣就比我的預(yù)算少200元．A．x+1200=0.8x-C．0.8(x-1200)=【變式1】.（25-26七年級(jí)上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）某個(gè)體商販在一次買賣中，同時(shí)賣出兩件上衣，售價(jià)都是120元，若按成本計(jì)，其中一件盈利25%，另一件虧本25%，在這次買賣中他（

）A．不賺不賠 B．賠16元 C．賺16元 D．無(wú)法確定【變式2】.（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）外賣送餐為我們的生活帶來(lái)了許多便利．某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了外賣員小剛某一周的送餐情況，規(guī)定每天的送餐量超過(guò)40單的部分記為“+”，低于40單的部分記為“-”，下表是小剛這一周的送餐量．星期一二三四五六日送餐量（單）-+3-0+6+8+14(1)求小剛這一周一共送餐多少單；(2)若外賣員每周的工資為每單m元，小剛想用這周的工資買一臺(tái)標(biāo)價(jià)為2200元的掃地機(jī)器人，商場(chǎng)促銷這款掃地機(jī)器人讓利10%銷售，恰逢市政府面向全市人民發(fā)放4000萬(wàn)元消費(fèi)券，小剛幸運(yùn)地?fù)尩搅艘粡垵M500元減180元的消費(fèi)券．小剛用這周工資買下這臺(tái)掃地機(jī)器人后，還剩300元，請(qǐng)求出m的值．【變式3】.（25-26七年級(jí)上·浙江杭州·月考）某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶?jī)煞N型號(hào)，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元(1)小明去超市購(gòu)買了8瓶A品牌牛奶，共花了92元．①小明媽媽說(shuō)：“按原價(jià)購(gòu)買，不可能是92元！”請(qǐng)說(shuō)明小明媽媽這樣說(shuō)的理由．②小明看了一下購(gòu)物小票，發(fā)現(xiàn)有1瓶是“會(huì)員打8折限購(gòu)1瓶”的大瓶牛奶，請(qǐng)問(wèn)小明購(gòu)買了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？(2)過(guò)了幾天，小亮去超市，發(fā)現(xiàn)原價(jià)每瓶15元的B品牌牛奶“買二送一”促銷，小亮按原價(jià)購(gòu)買A品牌大、小牛奶若干瓶，同時(shí)購(gòu)買B品牌促銷套裝若干套，一共花費(fèi)210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶數(shù)（包括促銷套裝中贈(zèng)送的牛奶）的13，求小亮A題型08：工程問(wèn)題（單人/簡(jiǎn)單合作）方法技巧：總工作量設(shè)為“1”，單人效率=1完成時(shí)間；合作時(shí)，“各部分工作量之和=【典例8】.（25-26七年級(jí)上·北京·月考）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需6天完成．現(xiàn)由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項(xiàng)工程共需多少天？若設(shè)完成這項(xiàng)工程共需x天，依題意可列方程．【變式1】.（25-26七年級(jí)上·甘肅武威·期末）制作一張桌子要用1個(gè)桌面和4條桌腿，1立方米木材可制作20個(gè)桌面，或者制作400條桌腿．(1)現(xiàn)有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？(2)甲、乙兩個(gè)工廠合作加工（1）中數(shù)量的桌子，5天加工完畢（每個(gè)工廠都獨(dú)立加工完整的桌子），已知甲工廠每天加工的桌子比乙工廠的2倍少5張，求甲工廠每天加工桌子的數(shù)量．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·河南商丘·月考）某農(nóng)場(chǎng)有一塊面積為1200畝的耕地需要播種，現(xiàn)安排A、B兩個(gè)播種隊(duì)共同完成這項(xiàng)任務(wù)．已知A播種隊(duì)每天播種的畝數(shù)是B播種隊(duì)每天播種畝數(shù)的2倍，A、B兩個(gè)播種隊(duì)合作5天完成了總?cè)蝿?wù)的12(1)求A、B兩個(gè)播種隊(duì)每天分別可播種多少畝；(2)若A播種隊(duì)先單獨(dú)播種若干天后，剩下的任務(wù)再由B播種隊(duì)單獨(dú)完成，總費(fèi)用剛好為13.6萬(wàn)元．已知A播種隊(duì)每天的播種費(fèi)用為0.8萬(wàn)元，B播種隊(duì)每天的播種費(fèi)用為0.5萬(wàn)元，求A播種隊(duì)單獨(dú)播種的天數(shù)．【變式3】.（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天3名師傅去粉刷8間教室，結(jié)果其中有40m2的墻面未來(lái)得及刷；同樣的時(shí)間內(nèi)5名徒弟粉刷了9間教室的墻面，每名師傅比徒弟一天多刷30m2的墻面(1)一天1名師傅可以粉刷多少m2(2)現(xiàn)有60個(gè)這樣的教室需要粉刷，若請(qǐng)1名師傅帶2名徒弟完成粉刷，師傅每天工資需800元，徒弟每天工資需500元，則完成所有粉刷共需工資多少元？題型09：配套問(wèn)題方法技巧：明確配套比例（如a:b），設(shè)生產(chǎn)其中一種部件的數(shù)量（或人數(shù)）為未知數(shù)；根據(jù)“甲部件數(shù)量×b=乙部件數(shù)量×a”列方程?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）某車間有25名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1500個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該安排多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母？【變式1】.（25-26七年級(jí)上·吉林·期末）列方程解應(yīng)用題：某工廠有50名工人，每人每天可以生產(chǎn)螺釘900個(gè)或螺母1200個(gè)．(1)如果生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)比生產(chǎn)螺母的人數(shù)多14人，那么生產(chǎn)螺釘和生產(chǎn)螺母的各有多少人？(2)如果1個(gè)螺釘需配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好匹配，工廠應(yīng)安排其中多少人生產(chǎn)螺母？【變式2】.（25-26七年級(jí)上·陜西榆林·期末）為響應(yīng)國(guó)家綠色制造與資源高效利用政策的號(hào)召，某陶瓷器廠優(yōu)化瓷泥配比與生產(chǎn)工藝燒制陶瓷茶具．已知每套茶具由1個(gè)茶壺和2只茶杯組成，用1千克瓷泥可做2個(gè)茶壺或5只茶杯．現(xiàn)要用9千克瓷泥全部制作這類茶具，如何分配恰好使制作的茶壺和茶杯配套？【變式3】.（25-26七年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課中，同學(xué)們準(zhǔn)備用某種規(guī)格的長(zhǎng)方形彩紙制作幾何體．經(jīng)討論，形成了如下制作方案：請(qǐng)你根據(jù)制作方案，完成下面的問(wèn)題：幾何體制作方案步驟1裁剪長(zhǎng)方形彩紙：一張長(zhǎng)方形彩紙可按圖1方式裁為2塊小長(zhǎng)方形紙片，或按圖2方式裁為3塊小正方形紙片．步驟2制作“三角插”和“圓部式”基本單元：圖1中裁出的一塊小長(zhǎng)方形紙片可折成一個(gè)“三角插”基本單元，圖2中裁出的一塊小正方形紙片可折成一個(gè)“圓部式”基本單元．步驟3制作幾何體：40個(gè)“三角插”基本單元和10個(gè)“圓部式”基本單元，可做成一個(gè)幾何體．若有210張長(zhǎng)方形彩紙全部用來(lái)制作幾何體，在不浪費(fèi)紙張的前提下，分別用多少?gòu)埐始堉谱鳌叭遣濉焙汀皥A部式”基本單元，才能制作盡可能多的幾何體？最多能制作多少個(gè)幾何體？即用180張彩紙制作“三角插”，用30張彩紙制作“圓部式”，最多能制作9個(gè)幾何體．題型10：分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題方法技巧：先判斷未知量所在計(jì)費(fèi)區(qū)間（通過(guò)臨界值估算）；分區(qū)間表示費(fèi)用，總費(fèi)用=各區(qū)間費(fèi)用之和，列方程求解后驗(yàn)證區(qū)間是否正確?！镜淅?0】.（24-25七年級(jí)上·福建福州·期末）某城市為倡導(dǎo)全民節(jié)水，居民生活用水按戶收費(fèi)，并按階梯計(jì)價(jià)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（戶內(nèi)人口不超過(guò)4人）如表：收費(fèi)方式月用水量/m單價(jià)（元/m3第一階梯0~154.5第二階梯15~206第三階梯20以上8注：①公攤水費(fèi)：每戶每月10元；②每月實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)=階梯水費(fèi)+公攤水費(fèi)．(1)若小明家某月用水18立方米，則小明家該月實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)多少元？(2)已知某戶居民某月的實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)為187.5元，則這戶居民的該月用水量是多少立方米？(3)若某戶某月實(shí)際應(yīng)交水費(fèi)平均每立方米6.5元，求該戶該月用水量．【變式1】.（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·期末）某省實(shí)施居民階梯電價(jià)，每戶每月階梯電量電價(jià)夏季收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)劃分如下：階梯（檔次）用電量（度）電價(jià)（元/度）第一檔0～2600.59第二檔261～6000.64第三檔601及以上0.89（執(zhí)行居民階梯電價(jià)總電費(fèi)=第一檔電費(fèi)+第二檔電費(fèi)+第三檔電費(fèi)；不足1度按1度計(jì)算收費(fèi)）(1)第二檔電價(jià)比第一檔多元；(2)已知李樂(lè)家6月份用電300度，請(qǐng)計(jì)算李樂(lè)家需要繳納的電費(fèi)．(3)已知陳陽(yáng)家7月份繳納電費(fèi)307元，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷陳陽(yáng)家該月份用電收費(fèi)屬于哪個(gè)檔次，并求出該月用電量．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）某市對(duì)居民生活用電實(shí)行階梯電價(jià)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：已知10月份該市居民老李家用電200度，交電費(fèi)120元；9月份老李家交電費(fèi)183元．檔次月用電量電價(jià)（元/度）第1檔不超過(guò)240度的部分a第2檔超過(guò)240度但不超過(guò)400度的部分0.65第3檔超過(guò)400度的部分a(1)表中a的值為__________；若用電400度，則應(yīng)繳電費(fèi)__________元．(2)求老李家9月份的用電量；(3)若8月份老李家用電達(dá)到第3檔，且平均電價(jià)為0.76元/度，請(qǐng)直接寫出老李家8月份的用電量．【變式3】.（25-26七年級(jí)上·湖北荊州·月考）【素材一】某市居民用電價(jià)格表如下：檔次年用電量分時(shí)電價(jià)（元/度）高峰電價(jià)低谷電價(jià)第一檔年用電2160度及以下部分0.590.34第二檔年用電2161~3600度部分0.640.39第三檔年用電3601度及以上部分0.890.64注：某用戶年用電量指自當(dāng)年1月開始，該用戶本年逐月累計(jì)用電量．用電量不足1度的部分順延至下個(gè)月結(jié)算．【素材二】該市某用戶2025年部分月份的用電情況統(tǒng)計(jì)如下：月份（月）12～678用電量（度）4801720520650【問(wèn)題解決】(1)若該用戶1月份所用的高峰電量為330度，求該用戶1月份應(yīng)繳電費(fèi)；(2)若該用戶7月份所用的低谷電量為370度，求該用戶7月份應(yīng)繳電費(fèi)；(3)已知該用戶8月份繳納電費(fèi)366元，求該用戶8月份所用的高峰電的度數(shù)．題型11：方案選擇問(wèn)題方法技巧：列出所有可行方案，分別計(jì)算各方案的費(fèi)用（或收益）；設(shè)兩種方案費(fèi)用相等時(shí)的臨界量，通過(guò)比較臨界量前后的方案優(yōu)劣，選擇最優(yōu)解。【典例11】.（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）綜合與實(shí)踐在“清潔鄉(xiāng)村”活動(dòng)中，某村長(zhǎng)提出了兩種購(gòu)買垃圾桶方案，方案一：買分類垃圾桶，需要費(fèi)用3000元，以后每月的垃圾處理費(fèi)用250元；方案二：買不分類垃圾桶，需要費(fèi)用1000元，以后每月的垃圾處理費(fèi)用500元，設(shè)繳費(fèi)時(shí)間為x個(gè)月，方案一的購(gòu)買費(fèi)用和垃圾處理費(fèi)共為M元，方案二的購(gòu)買費(fèi)用和垃圾處理費(fèi)共為N元．(1)分別用x表示M，N；(2)繳費(fèi)時(shí)間為多少個(gè)月時(shí)，兩種方案費(fèi)用相同？并說(shuō)明理由．(3)若垃圾桶使用時(shí)間為兩年，哪種方案更省錢？【變式1】.（2025·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)材料，完成任務(wù)：?jiǎn)栴}情境為了舉行羽毛球比賽，學(xué)校需要提前購(gòu)買20副羽毛球拍和若干個(gè)羽毛球（不少于60個(gè)）．素材1羽毛球拍：150元/副羽毛球：10元/個(gè)素材2方案一：每買一副羽毛球拍贈(zèng)送3個(gè)羽毛球．方案二：羽毛球拍和羽毛球都按標(biāo)價(jià)的九折銷售．任務(wù)1若方案一和方案二費(fèi)用一致，你知道學(xué)校購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)羽毛球嗎？任務(wù)2現(xiàn)已知方案一和方案二既可以單獨(dú)使用，也可以同時(shí)使用．若學(xué)校需要購(gòu)進(jìn)400個(gè)羽毛球，請(qǐng)為學(xué)校設(shè)計(jì)最省錢的購(gòu)買方式．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·吉林松原·期末）某校準(zhǔn)備印刷一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇：甲廠收費(fèi)方式：收制版費(fèi)1000元，每本印刷費(fèi)0.5元；乙廠收費(fèi)方式：不超過(guò)2000本時(shí)，每本收印刷費(fèi)1.5元；若超過(guò)2000本，則超過(guò)部分每本收印刷費(fèi)0.25元；若該校需印刷證書x本．(1)請(qǐng)問(wèn)甲、乙兩廠的收費(fèi)分別是多少？(2)當(dāng)印刷證書8000本時(shí)應(yīng)該選擇哪個(gè)印刷廠更節(jié)省費(fèi)用？節(jié)省了多少？(3)請(qǐng)問(wèn)印刷多少本證書時(shí)，甲、乙兩廠收費(fèi)相同？【變式3】.（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）元旦期間，七年級(jí)全體人員準(zhǔn)備前往某地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，研究性學(xué)習(xí)小組在老師的帶領(lǐng)下，到某出租車公司商談租車事宜，在商談過(guò)程中，他們獲得以下兩個(gè)信息：出租車公司有A,租車價(jià)格信息記錄單A型車/輛B型車/輛租金總費(fèi)用/元記錄單1111200記錄單2322800已知A型客車每輛24個(gè)座位，B型客車每輛54個(gè)座位，經(jīng)過(guò)調(diào)查研究，確定兩種租車方案：方案一：全部租用A型客車，則全體人員剛好坐滿；方案二：全部租用B型客車，則可以（比全部租用A型客車）少租13輛，且剩余48個(gè)座位．根據(jù)以上信息，完成下列3個(gè)任務(wù)：任務(wù)1根據(jù)“租車價(jià)格信息”，計(jì)算A,任務(wù)2請(qǐng)根據(jù)“車型座位信息”填寫以下表格中的空格內(nèi)容．解：設(shè)方案二全部租用B型客車x輛，則可列表如下：租用車輛數(shù)每車座位數(shù)剩余座位數(shù)七年級(jí)總?cè)藬?shù)全部租用A型車x24024全部租用B型車x544854一、單選題1．（25-26七年級(jí)上·遼寧·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作之一《孫子算經(jīng)》中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？意思是：今有若干人乘車，若每3人共乘1輛車，最終剩余2輛車；若每2人共乘1輛車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x輛車，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A．3x+2=2C．3x-2=22．（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）某中學(xué)七年一班足球隊(duì)參加比賽，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分該隊(duì)共賽了9場(chǎng)比賽保持不敗，共得21分，該隊(duì)勝了多少場(chǎng)？設(shè)該足球隊(duì)勝了x場(chǎng)，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A．3(9-x)+xC．3x+(9-x3．（24-25六年級(jí)下·山東青島·期中）某商品進(jìn)價(jià)為1530元，按商品標(biāo)價(jià)的九折出售時(shí)，利潤(rùn)率是15%，商品標(biāo)價(jià)是多少元？設(shè)商品標(biāo)價(jià)為x元，可列方程為（

）A．90%x-1530=1530×15%C．1530×90%=x1+15% D4．（25-26七年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊：乙發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安，今乙發(fā)已先二日．甲仍發(fā)長(zhǎng)安．問(wèn)幾何日相逢?譯文：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，5日到齊國(guó)；乙從齊國(guó)出發(fā)，7日到長(zhǎng)安，現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā)．問(wèn)甲經(jīng)過(guò)多少日與乙相逢?設(shè)甲經(jīng)過(guò)x日與乙相逢，可列方程為（

）A．7x+2+5x=1 B．75．（25-26七年級(jí)上·陜西西安·月考）某旅行團(tuán)出發(fā)旅游，為方便拍照記錄，決定租無(wú)人機(jī)拍攝．若每三人租一架，商店剩2架；若每?jī)扇俗庖患?，最終剩余9人沒(méi)有無(wú)人機(jī)可拍攝，若設(shè)有x架無(wú)人機(jī)，則可列方程（

）A．3x+2=2C．x3+2=x二、填空題6．（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，探究將一塊長(zhǎng)方形紙板制成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體紙盒，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=20cm，AB=5cm，小沈用EF把長(zhǎng)方形ABCD分成2個(gè)長(zhǎng)方形，將長(zhǎng)方形ABFE折疊成紙盒的側(cè)面，將長(zhǎng)方形CDEF沿GH剪成兩部分，分別做紙盒的上、下底面，做成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體紙盒，該紙盒的體積是

7．（25-26七年級(jí)上·吉林·期末）《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)名題，原文：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人幾何？題目大意是：幾個(gè)人合伙買一件物品，如果每個(gè)人出8錢，多出3錢；如果每個(gè)人出7錢，還差4錢．請(qǐng)問(wèn)合伙的人數(shù)是多少？（注：錢為古代貨幣單位）設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為：．8．（25-26七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）某傳統(tǒng)手工坊計(jì)劃制作一批折扇，如果每人做7把，那么會(huì)比計(jì)劃的多做9把；如果每人做5把，將比計(jì)劃的少做5把．設(shè)計(jì)劃做x把折扇，則可列方程為．9．（25-26七年級(jí)上·山東青島·月考）如圖，一個(gè)盛有水的圓柱形玻璃容器的底面半徑為5cm，容器內(nèi)水的高度為6cm，把一根半徑為1cm的玻璃