5.2解一元一次方程教學(xué)目標(biāo)1.掌握等式的基本性質(zhì)和方程的變形規(guī)則，能正確進(jìn)行方程變形；2.熟練掌握解一元一次方程的一般步驟，能解各類基礎(chǔ)及中檔一元一次方程；3.理解含參數(shù)一元一次方程的核心條件，能解決簡(jiǎn)單的參數(shù)問題；4.會(huì)解含絕對(duì)值的一元一次方程，初步體會(huì)分類討論思想；5.能運(yùn)用一元一次方程解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)建模思想。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）等式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用；（2）解一元一次方程的一般步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)的易錯(cuò)點(diǎn)把控）；（3）移項(xiàng)“變號(hào)”和去分母“不漏乘”的規(guī)則；（4）一元一次方程定義中參數(shù)的取值條件。難點(diǎn)：（1）含參數(shù)一元一次方程的參數(shù)求解（如同解、整數(shù)解、無(wú)解問題）；（2）含絕對(duì)值的一元一次方程的分類討論；（3）去分母時(shí)分子為多項(xiàng)式漏加括號(hào)、去括號(hào)時(shí)漏乘項(xiàng)或符號(hào)錯(cuò)誤；（4）實(shí)際問題中準(zhǔn)確提煉等量關(guān)系并轉(zhuǎn)化為方程。知識(shí)點(diǎn)01：等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加（或減），結(jié)果仍是等式（若a=b，則a±c=b±c）；性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘，結(jié)果仍是等式（若a=b，則a=b，ac拓展：傳遞性（若a=b、b=c，則）；對(duì)稱性（若a=b，則b=a）。【即學(xué)即練】1．（甘肅省白銀市2025-2026學(xué)年上學(xué)期期末七年級(jí)數(shù)學(xué)試卷）下列等式變形正確的是（

）A．若12x=6，則x=3 BC．若cx=cy，則x=y D知識(shí)點(diǎn)02：方程的變形規(guī)則1.規(guī)則1：方程兩邊同時(shí)加（或減），解不變（同等式性質(zhì)1）；2.規(guī)則2：方程兩邊同時(shí)乘（或除以），解不變（同等式性質(zhì)2）?！炯磳W(xué)即練】1．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·期末）下列變形正確的是（

）A．4x-B．-3xC．3x-D．23x知識(shí)點(diǎn)03：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)與系數(shù)化為11.移項(xiàng)：把方程中的項(xiàng)后從一邊移到另一邊（依據(jù)變形規(guī)則1）；2.合并同類項(xiàng)：將含未知數(shù)的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別合并，化為ax=b(a≠0)的形式；3.系數(shù)化為1：方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的，得解x=ba（依據(jù)變形規(guī)則【即學(xué)即練】1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．3x=5+2可以由B．1-x=2C．由5x=16得D．1-7x=2-6知識(shí)點(diǎn)04：解一元一次方程的一般步驟1.去分母：方程兩邊乘各分母的（不漏乘不含分母的項(xiàng)，分子為多項(xiàng)式時(shí)加括號(hào)）；2.去括號(hào)：按“先小后大”順序，遵循（括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)）；3.移項(xiàng)：含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊（移項(xiàng)必變號(hào)）；4.合并同類項(xiàng)：化為ax=b(a≠0)的形式；5.系數(shù)化為1：得方程的解x=b【即學(xué)即練】1．（25-26六年級(jí)上·上海閔行·月考）解方程：(1)-(2)1-知識(shí)點(diǎn)05：一元一次方程的解的情況當(dāng)_____時(shí)，方程有唯一解x=b當(dāng)_____且當(dāng)_____且_____【即學(xué)即練】1．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知關(guān)于x的方程ax=3x+b-知識(shí)點(diǎn)06：含參數(shù)的一元一次方程相關(guān)概念1.一元一次方程定義：未知數(shù)次數(shù)為且系數(shù)（如(m-2)x|m-1|+5=0中，|m-1|=12.常見參數(shù)問題：同解問題、整數(shù)解問題、錯(cuò)解求參、解與參數(shù)無(wú)關(guān)問題?！炯磳W(xué)即練】1．（25-26七年級(jí)上·廣東深圳·月考）如果方程k-3xk-2+3=0知識(shí)點(diǎn)07：含絕對(duì)值的一元一次方程解法通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)（分絕對(duì)值內(nèi)式子大于0、等于0、小于0三種情況），轉(zhuǎn)化為普通一元一次方程求解，結(jié)果需檢驗(yàn)是否符合分類條件。【即學(xué)即練】1．（2025六年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解下列方程：(1)x-(2)2x題型01：利用等式性質(zhì)判斷變形正誤方法技巧：緊扣性質(zhì)2的“除數(shù)不為0”，性質(zhì)1的“同時(shí)加減同一個(gè)量”；否定變形需舉反例（如ax=ay，當(dāng)a=0時(shí)不能得x=y）?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·河南商丘·月考）下列等式變形，不一定正確的是（

）A．若m=n，則m+2=n+2C．若m=n，則3m=3n【變式1】.（25-26七年級(jí)上·廣東潮州·月考）下列各式變形正確的是（

）A．若x-5=6，則x=11 B．若C．若a2=b3，則2a【變式2】.（25-26七年級(jí)上·陜西西安·月考）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)變形中，正確的是（

）A．如果a=b，那么a+c=C．a(chǎn)c2=bc2，那么【變式3】.（25-26七年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┫铝羞\(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，錯(cuò)誤的是（

）A．若2a=b，則b=2aC．若a=b，則a-c=題型02：解方程一元一次方程方法技巧：先移項(xiàng)（含未知數(shù)項(xiàng)左、常數(shù)項(xiàng)右，變號(hào)），再合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1；步驟可靈活簡(jiǎn)化?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·月考）解方程：12【變式1】.（牡丹江市初中課改聯(lián)盟第一子聯(lián)盟2025-2026學(xué)年上學(xué)期七年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷）解下列方程：(1)5x(2)y-【變式2】.（25-26七年級(jí)上·甘肅金昌·期末）解方程：(1)5x(2)x【變式3】.（25-26七年級(jí)上·廣東潮州·月考）解下列方程：(1)3x(2)5x(3)5x(4)1-3x題型03：含括號(hào)的一元一次方程求解方法技巧：先去括號(hào)（先小后大），括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變號(hào)；再按“移項(xiàng)→合并→系數(shù)化1”求解?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·陜西西安·月考）解方程：(1)3(2)3x【變式1】.（25-26七年級(jí)上·甘肅張掖·期末）解下列方程：(1)5x(2)5y【變式2】.（25-26六年級(jí)上·上海普陀·月考）已知方程5x+1-1=4x【變式3】.（25-26七年級(jí)上·河北唐山·月考）解方程：(1)5x(2)4-x題型04：含分母的一元一次方程求解方法技巧：先找各分母最小公倍數(shù)，兩邊同乘時(shí)不漏乘不含分母的項(xiàng)；分子為多項(xiàng)式時(shí)加括號(hào)，再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化1。【典例4】.（25-26七年級(jí)上·河南商丘·月考）（1）計(jì)算：8÷-（2）解方程：x-【變式1】.（25-26七年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）解方程：x+5【變式2】.（25-26七年級(jí)上·江蘇宿遷·月考）解方程：(1)2x(2)x-【變式3】.（25-26七年級(jí)上·廣東深圳·月考）（1）計(jì)算：-1（2）解方程：5x題型05：根據(jù)一元一次方程定義求參數(shù)方法技巧：滿足兩個(gè)條件：①未知數(shù)次數(shù)為1（如|m|-2=1）；②未知數(shù)系數(shù)不為0（如【典例5】.（25-26七年級(jí)上·山東青島·月考）若關(guān)于x的方程m+1xm-3【變式1】.（25-26七年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）已知關(guān)于x的方程k-2xk【變式2】.（25-26七年級(jí)上·山東濱州·月考）已知關(guān)于x的方程m-3x【變式3】.（25-26七年級(jí)上·重慶南川·期中）已知關(guān)于x的方程m+1xm=7題型06：一元一次方程的同解問題方法技巧：先分別解兩個(gè)方程（或一個(gè)用參數(shù)表示解），根據(jù)“解相同”列關(guān)于參數(shù)的方程，求解參數(shù)?！镜淅?】.（25-26七年級(jí)上·山東菏澤·月考）若關(guān)于x的一元一次方程ax-3=2x的解與方程5x【變式1】.（25-26七年級(jí)上·陜西榆林·期中）若關(guān)于x的方程3x+2m+5=0的解與方程2x【變式2】.（25-26七年級(jí)上·陜西西安·月考）已知關(guān)于x的方程a-2xa-1+4A．x=-2 B．x=-1 C．x=0【變式3】.（25-26六年級(jí)上·上?！ぴ驴迹┤绻匠?x-42-題型07：利用整體代換（換元法）解同類結(jié)構(gòu)一元一次方程方法技巧：觀察兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，找出同類整式（如1-y、2y+1等）作為整體，設(shè)為新未知數(shù)（如t、1-【典例7】.（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程2025x-3=4x+3b的解為A．y=-4 B．y=5 C．y=4【變式1】.（25-26七年級(jí)上·浙江溫州·月考）若關(guān)于x的方程x3=12-ax的解為x=7A．y=6 B．y=-6 C．y=8【變式2】.（25-26七年級(jí)上·湖北黃石·月考）已知關(guān)于x的一元一次方程x2021+3=2021x+m的解為x=3，那么關(guān)于A．3 B．-3 C．2 D．【變式3】.（25-26七年級(jí)上·湖北武漢·期中）若關(guān)于x的一元一次方程12025x+3=2x+b的解為x=-3，則關(guān)于yA．y=1 B．y=-1 C．y=-2題型8：含絕對(duì)值的一元一次方程求解方法技巧：分情況討論絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)（＞0、＝0、＜0），去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為普通方程；解得結(jié)果后檢驗(yàn)是否符合分類條件，舍去不合理解?！镜淅?】.（25-26六年級(jí)上·山東濟(jì)寧·月考）若|x-2|=4，則【變式1】.（25-26七年級(jí)上·重慶·月考）已知a+2=3，b=3(1)若ab<0且a-b(2)若a+b=-a+【變式2】.（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程：x【變式3】.（25-26七年級(jí)上·山東棗莊·期中）閱讀下列材料：經(jīng)過有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，我們知道5-3可以表示5與3之差的絕對(duì)值，同時(shí)也可以理解為5與3兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，我們可以把這稱之為絕對(duì)值的幾何意義．同理5--2可以表示5與-2之差的絕對(duì)值，同時(shí)也可以理解為5根據(jù)材料利用絕對(duì)值的幾何意義在數(shù)軸上探究下面的問題：【初步探究】（1）x+3表示數(shù)軸上與（2）若x+3=4，則x值為【拓展探究】（3）求使x+3=x（4）求使x+3+x題型9：一元一次方程的解與參數(shù)無(wú)關(guān)問題方法技巧：將方程整理為(k?m+n)x=p?m+q形式，令參數(shù)的系數(shù)為0（如【典例9】.（25-26七年級(jí)上·山東東營(yíng)·月考）【知識(shí)回顧】在學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題，“代數(shù)式ax-y+6+3x-5y-1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值”．通常的解題方法是把x，y看作字母，把a(bǔ)看作系數(shù)合并同類項(xiàng)．因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x【知識(shí)應(yīng)用】（1）當(dāng)m=_____，n=_____時(shí)，關(guān)于x的多項(xiàng)式3x4-（2）已知A=-3x2+3xy+3y+1，【知識(shí)拓展】（3）元旦快到了，某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種學(xué)習(xí)機(jī)共30臺(tái)進(jìn)行銷售，甲種學(xué)習(xí)機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)600元，每臺(tái)售價(jià)920元；乙種學(xué)習(xí)機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)400元，銷售利潤(rùn)率為60%（利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)100%）．購(gòu)進(jìn)學(xué)習(xí)機(jī)后，商場(chǎng)決定：每售出一臺(tái)甲種學(xué)習(xí)機(jī)，返還顧客現(xiàn)金b元，乙種學(xué)習(xí)機(jī)售價(jià)不變．設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種學(xué)習(xí)機(jī)x臺(tái)，當(dāng)銷售完這30臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的利潤(rùn)與x的取值無(wú)關(guān)時(shí)，求出此時(shí)b的值及售完這30【變式1】.（25-26七年級(jí)上·江西撫州·期中）知識(shí)回顧：七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“關(guān)于x，y的代數(shù)式ax-y+6+3x-5y-1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是把x，y原式=(a+3)x-6理解應(yīng)用：(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式-6x+2mx-1(2)已知：A=2①計(jì)算：A-②當(dāng)m取何值時(shí)，A-2B【變式2】.（22-23七年級(jí)下·安徽六安·期中）【知識(shí)回顧】我們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式ax-y+6+3x-通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．具體解題過程是：原式=(a∵代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，∴a+3=0解得：a=-3【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2m-4)x+2（2）已知A=(2x+1)(x-2)-x(1-3m【解決實(shí)際問題】請(qǐng)利用上述問題中的數(shù)學(xué)方法解決下面問題：初春是感冒的多發(fā)季，某醫(yī)藥器材經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種型號(hào)的口罩，已知甲型號(hào)口罩每箱進(jìn)價(jià)為800元，乙型號(hào)口罩每箱進(jìn)價(jià)為600元，該醫(yī)藥公司決定，決定購(gòu)進(jìn)兩種口罩共20箱，有多種購(gòu)進(jìn)方案．現(xiàn)銷售一箱甲型口罩，利潤(rùn)率為45%，乙型口罩的售價(jià)為每箱1000元．為了盡快完成銷售，公司決定每售出一箱乙型口罩，返還顧客現(xiàn)金m元，甲型口罩售價(jià)不變，要使不同方案所購(gòu)進(jìn)的口罩全部售出后經(jīng)銷商最終獲利相同，求m的值．【變式3】.（24-25七年級(jí)上·安徽亳州·期中）已知，數(shù)軸上的點(diǎn)M在原點(diǎn)右邊，與原點(diǎn)的距離為7個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)M、N相距9個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)若點(diǎn)M、N在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，則m=_________，n=(2)情境：有一個(gè)玩具火車AB如圖所示，放置在數(shù)軸上，左右兩端點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)數(shù)a、b，現(xiàn)將玩具火車沿?cái)?shù)軸左右水平移動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為b時(shí)，端點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為m；當(dāng)端點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為a時(shí)，端點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為n，則玩具火車AB的長(zhǎng)為_________個(gè)單位長(zhǎng)度；(3)探究：在（2）的條件下，當(dāng)火車AB勻速向右以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從N、M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左和向右運(yùn)動(dòng)，記火車AB運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的位置為A1B1．是否存在常數(shù)k使得kPQ-B1A的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)？（PQ表示P，Q兩點(diǎn)之間的距離；B題型10：整體思想解一元一次方程方法技巧：將含未知數(shù)的整式（如x+1、x-【典例10】.（25-26七年級(jí)上·廣西南寧·月考）閱讀材料并解答下列問題：“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，運(yùn)用其解決問題，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．我們知道，5x-3x+(1)把(a-b)看成一個(gè)整體，合并4((2)已知a-b=-3,(3)把(2x-1)看成一個(gè)整體，運(yùn)用“整體思想”【變式1】.（24-25七年級(jí)下·山西臨汾·月考）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面任務(wù)．整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，進(jìn)行整體處理．它作為一種思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)橐恍﹩栴}按常規(guī)方法不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把某一組數(shù)或某一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，找出整體與局部的聯(lián)系，從而找到解決問題的新途徑．例如：已知x2+x=1，求x2任務(wù)：(1)如圖，若a-b=4，求長(zhǎng)方形A與(2)當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式ax5+bx3+cx(3)A，B兩地相距60千米，某日，甲從A地出發(fā)前往B地，同時(shí)，乙從B地出發(fā)前往A地．已知甲每小時(shí)行a千米，乙每小時(shí)行b千米，經(jīng)過2小時(shí)，甲、乙兩人相遇．若經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙兩人相距20千米，請(qǐng)直接寫出t的值．【變式2】.（25-26七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·月考）閱讀理解：我們知道．5x-2x+x=5-2+1x嘗試應(yīng)用：(1)把2x-1看成一個(gè)整體，運(yùn)用“整體思想(2)已知x2-2y(3)已知a-2b=2【變式3】.（25-26七年級(jí)上·寧夏吳忠·期末）閱讀理解：我們知道，5x-2x+x=5-2+1x(1)嘗試應(yīng)用：已知x2-2y在解一元一次方程時(shí)，有時(shí)根據(jù)方程的特點(diǎn)，巧妙利用“整體思想”，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果．例如：在解方程512x令m=12移項(xiàng)，得5m合并同類項(xiàng)，得-m系數(shù)化為1，得m=2故12x+(2)請(qǐng)用同樣的方法解方程：20258(3)已知關(guān)于x的方程7x+2026+n3=30x+1一、單選題1．若x=1是方程ax+3x=2的解，則A．-1 B．5 C．1 D．2．下列式子中是一元一次方程的是