襄陽(yáng)四中2024級(jí)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色各不相同的概率為（）A. B. C. D.3.直線的傾斜角范圍是A. B.C. D.4.若平面的法向量為，平面的法向量為，直線的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體.公元前200年，阿基米德把這5種正多面體進(jìn)行截角操作（即切掉每個(gè)頂點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)了5種對(duì)稱(chēng)的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但各個(gè)面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計(jì)，則圖2所示的足球截面體的棱數(shù)為（）A.60 B.90 C.120 D.1806.已知某比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績(jī)互不相等，記為，平均數(shù)為，隨機(jī)刪去其任一輪的成績(jī)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，對(duì)新數(shù)據(jù)和原數(shù)據(jù)，下面說(shuō)法正確的是（

）A.兩組數(shù)據(jù)的極差不可能相等B.兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)不可能相等C.若，則兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等D.若，兩組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)可能相等7.已知圓：和圓：，若點(diǎn)在兩圓的公共弦上，則的最小值為（

）A.5 B.6 C.7 D.88.如圖，在直角中，，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過(guò)的重心，則的面積等于（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B.向量是直線的一個(gè)方向向量C.若直線與平行，則與的距離為D.圓與圓有兩條公切線10.在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)，，，使點(diǎn)，，共線，點(diǎn)位于點(diǎn)的正西方向上，點(diǎn)位于點(diǎn)的正東方向上，測(cè)得，，，，并經(jīng)過(guò)計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（）A. B.的面積為C. D.點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上11.如圖，圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，為底面圓的直徑，球與母線，分別切于點(diǎn)，.若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為底面圓的一條直徑（與不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）A.球表面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.四面體的體積的取值范圍是D.若為球面和圓錐側(cè)面交線上一點(diǎn)，則的最大值為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則_____.13.如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則的余弦值為_(kāi)_________.14.在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國(guó)選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍．乒乓球決賽采用7局4勝制．在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方．在10∶10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10∶10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至的概率為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷(xiāo)形式，某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖①所示，為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．（1）應(yīng)抽取小吃類(lèi)商家多少家？（2）在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示．①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)；②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱(chēng)為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．16.已知圓C：．（1）過(guò)點(diǎn)向圓C作切線l，求切線l的方程；（2）若Q為直線m：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q向圓C作切線，切點(diǎn)為M，求的最小值．17.在三棱柱中，已知，，點(diǎn)在底面投影是線段的中點(diǎn).（1）證明：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的正弦值.18.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）若，，求邊上的角平分線長(zhǎng)；（2）若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍.19.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為對(duì)于點(diǎn)和圖形給出如下定義：點(diǎn)是圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好為，則稱(chēng)點(diǎn)為圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.（1）如圖1，圖形是矩形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出的值.在點(diǎn)，，，