中級(jí)經(jīng)濟(jì)師《經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)知識(shí)》第二十四章描述統(tǒng)計(jì)教材內(nèi)容

在描述統(tǒng)計(jì)中，可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)的分布特征。對(duì)于數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)

度主要分為三個(gè)方面：一是分布的集中趨勢(shì)，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚集的

程度；二是分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)之間的差異程度，也能反映中心值對(duì)數(shù)據(jù)

的代表程度；三是分布的偏態(tài)，反映數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性。對(duì)于兩個(gè)定量變量之間

的相關(guān)分析，經(jīng)常采用的描述方法是散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量。

一、集中趨勢(shì)的測(cè)度

集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的

位置所在。集中趨勢(shì)的測(cè)度也就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值。

1.均值。均值也叫作平均數(shù)，就是數(shù)據(jù)組中所有數(shù)值的總和除以該組數(shù)值的個(gè)

數(shù)。設(shè)一組數(shù)據(jù)為Xi,X2,…,X、平均數(shù)的計(jì)算公式為：

例如，某售貨小組有5名營(yíng)業(yè)員，元旦全天的銷(xiāo)售額分別為520元、600元、

480元、750元和500元，求該日平均銷(xiāo)售額。

計(jì)算結(jié)果表明，元旦5名營(yíng)業(yè)員的平均銷(xiāo)售額為570元。

均值是集中趨勢(shì)最主要的測(cè)度值，它是一組數(shù)據(jù)的重心所在，解釋了一組數(shù)據(jù)

的平均水平。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。此外，

均值容易受到極端值的影響，極端值會(huì)使得均值向極大值或極小值方向傾斜，使得

均值對(duì)數(shù)據(jù)組的代表性減弱。

2.中位數(shù)。把一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序進(jìn)行排列，位置居中的數(shù)

值叫作中位數(shù)，用Me,表示。中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成兩部分，其中一半數(shù)據(jù)小于中位數(shù),

另一半數(shù)據(jù)大于中位數(shù)。設(shè)一組數(shù)據(jù)為XI,X2,...,Xn.按從小型吠順序?yàn)閄⑴,X(2),…,X(n),則中位效為：

例如，某地級(jí)市下轄9個(gè)縣，每個(gè)縣的面積如下（單位：平方千米），計(jì)算該市下

轄縣面積的中位數(shù)：

14552024912101613521031212810752000

首先，將上面的數(shù)據(jù)排序結(jié)果如下：

91210161031107513521455200020242128

中位數(shù)位置=（9+1計(jì)2=5,中位數(shù)為1352,即Mc=1352（平方千米）

在上例中，由于行政區(qū)劃調(diào)整，鄰市的一個(gè)面積為1000平方千米的縣劃歸該

no行政區(qū)劃調(diào)整后，該市現(xiàn)在下轄10個(gè)縣，該市下轄縣的面積（單位：平方千米）

從小到大依次為：

912100010161031107513521455200020242128

計(jì)算行政區(qū)劃調(diào)整后該市下轄縣面積的中位數(shù)：

中位數(shù)位置=（10+1戶2=5.5,中位數(shù)為（平方千米）

中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，主要用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類(lèi)

數(shù)據(jù)。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是不受極端值的影響，抗干擾性強(qiáng)，尤其適用于收入這類(lèi)偏斜

分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)。

3.眾數(shù)。眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)（頻數(shù)）最多的變量值。例如，某能源公

司有9個(gè)分公司，每個(gè)分公司的主營(yíng)產(chǎn)品分別是煤制品、有機(jī)化工原料、火電、煤

制品、熱力、電解鋁、火電、煤制品、煤制品，則該能源公司分公司主營(yíng)產(chǎn)品的眾

數(shù)為煤制品。

眾數(shù)適用于描述分類(lèi)數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。而在定量數(shù)據(jù)中，可能出現(xiàn)

多眾數(shù)和無(wú)眾數(shù)的情況，因此眾數(shù)不適用于描述定量數(shù)據(jù)的集中位置。

4.均值、中位數(shù)和眾數(shù)的比較及適用范圍。三者的關(guān)系及各自的適用范圍如下。

。均值適用于定量變量。優(yōu)點(diǎn)是能夠充分利用數(shù)據(jù)的全部信息，均值大小受每個(gè)觀

測(cè)值的影響，比較穩(wěn)定；缺點(diǎn)是易受極端值的影響，如果觀測(cè)值中有明顯的極端值,

則均值的代表性較差。②中位數(shù)不適用于分類(lèi)變量，適于順序變量和定量變量，特

別是分布不對(duì)稱的數(shù)據(jù)。優(yōu)點(diǎn)是不受極端值的影響；缺點(diǎn)是沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)的全

部信息，穩(wěn)定性差于均值，優(yōu)于眾數(shù)。③眾數(shù)不適用于定量變量，主要適用于分類(lèi)

和順序變量。優(yōu)點(diǎn)是不受極端值的影響，尤其是分布明顯呈偏態(tài)時(shí)，眾數(shù)的代表性

更好；缺點(diǎn)是沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)的全部信息，缺乏穩(wěn)定性，而且可能不唯一。

二、離散程度的測(cè)度

離散程度反映的是數(shù)據(jù)之間的差異程度。集中趨勢(shì)的測(cè)度值是對(duì)數(shù)據(jù)水平的一

人概括性的度量，它對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的

離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差，離散程度越小，其

代表性就越好。

1.方差。方差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)值與其均值離差平方的平均數(shù)，它能較好地反映

匕數(shù)據(jù)的離散程度，是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的離散程度測(cè)度值。方差越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)

值與均值的平均距離越小，均值的代表性越好。

對(duì)于總體數(shù)據(jù)，常用的方差計(jì)算公式有兩種：

前者的分母是總體規(guī)模、后者的分母是總體規(guī)模N減去1。對(duì)于樣本數(shù)據(jù)，常

月的方差計(jì)算公式為：

樣本方差s2的分母是樣本規(guī)模n減去1。在有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，樣本方

差s2是總體方差J的無(wú)偏估計(jì)量；而在不放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，樣本方差s2是總

體方差S2的無(wú)偏估計(jì)量。

根據(jù)本章前例中5名營(yíng)業(yè)員元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算日銷(xiāo)售額的樣本

方差。

2.標(biāo)準(zhǔn)差。方差是反映數(shù)據(jù)離散程度的重要測(cè)度指標(biāo)，但是其單位是原數(shù)據(jù)單

位的平方，沒(méi)有解釋意義。因此，我們經(jīng)常使用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)測(cè)度數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)

準(zhǔn)差即方差的平方根。對(duì)于樣本數(shù)據(jù)，常用的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：

標(biāo)準(zhǔn)差不僅能度量數(shù)值與均值的平均距離，還與原始數(shù)值具有相同的計(jì)量單位。

同樣地，利用5名營(yíng)業(yè)員元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算日銷(xiāo)售額的標(biāo)準(zhǔn)差。

標(biāo)準(zhǔn)差與方差計(jì)算比較簡(jiǎn)便，又具有比較好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是應(yīng)用最廣泛的統(tǒng)計(jì)

離散程度的測(cè)度方法。但是標(biāo)準(zhǔn)差與方差只適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。此外，與均值一樣,

它們對(duì)極端值也很敏感。

3.離散系數(shù)。離散系數(shù)也稱變異系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值，

主要用于不同類(lèi)別數(shù)據(jù)離散程度的比較，記為CV。離散系數(shù)計(jì)算公式為：

根據(jù)5名營(yíng)業(yè)員元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額案例數(shù)據(jù)，計(jì)算日銷(xiāo)售額的離散系數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)差的大小不僅與數(shù)據(jù)的測(cè)度單位有關(guān)，也與觀測(cè)值的均值大小有關(guān)，不能

直接用標(biāo)準(zhǔn)差比較不同變量的離散程度。離散系數(shù)消除了測(cè)度單位和觀測(cè)值水平不

同的影響，因而可以直接用來(lái)比較變量的離散程度。

三、分布形態(tài)的測(cè)度

1.偏態(tài)系數(shù)。偏度是指數(shù)據(jù)分布的偏斜方向和程度，描述的是數(shù)據(jù)分布對(duì)稱程

度。測(cè)度數(shù)據(jù)分布偏度的統(tǒng)計(jì)量稱為偏態(tài)系數(shù)，其計(jì)算公式為：

偏態(tài)系數(shù)取決于離差三次方的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差三次方的比值。如果偏態(tài)系數(shù)等

于0,說(shuō)明數(shù)據(jù)的分布是對(duì)稱的；如果偏態(tài)系數(shù)為正值，說(shuō)明分布為右偏的，取值在

。和0.5之間說(shuō)明輕度右偏，取值在0.5和1之間說(shuō)明中度右偏，取值大于I說(shuō)明嚴(yán)

重右偏；如果偏態(tài)系數(shù)為負(fù)值，說(shuō)明分布為左偏，取值在0和-0.5之間說(shuō)明輕度左

偏，取值在-0.5和-1之間說(shuō)明中度左偏，取值小于-1說(shuō)明嚴(yán)重左偏。偏態(tài)系數(shù)的絕

對(duì)值越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)分布的偏斜程度越大。

2.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。在統(tǒng)計(jì)上，均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同時(shí)，不同變量的數(shù)值是不能比較的。

比如，在考核A中員工得分的均值為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為20分，在考核B中員工得

分的均值為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分。同樣是80的得分，在考核A中屬于中等水平，

在考核B中可能名列前茅。來(lái)自不同分布的變量值不可比，但是每個(gè)數(shù)值在變量分

布中相對(duì)于均值的相對(duì)位置是可比的，因此可以通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)來(lái)比較不同變量

的取值。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以給出數(shù)值距離均值的相對(duì)位置，計(jì)算方法是用數(shù)值減去均值

所得的差除以標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式為：

在上面所說(shuō)的兩次考核得分分布假定下，在考核A中80分轉(zhuǎn)化后的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

為0,在考核B中70分轉(zhuǎn)化后的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為2,說(shuō)明70分在考核B中的相對(duì)排名高于

80分在考核A中的相對(duì)排名。

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)也稱為Z分?jǐn)?shù)，是統(tǒng)計(jì)上常用的一種標(biāo)準(zhǔn)化方法，轉(zhuǎn)變后的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

并沒(méi)有改變數(shù)值在原分布中的位置，也沒(méi)有改變數(shù)據(jù)原分布的偏度，但是標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

的平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為lo

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)數(shù)據(jù)服從對(duì)稱的鐘形分布時(shí)，可以運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)法則來(lái)判斷與均

值的距離在特定倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)據(jù)項(xiàng)所占比例。經(jīng)驗(yàn)法則表明：約后68%的數(shù)

據(jù)與平均數(shù)的距離在I個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，約有95%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

差之內(nèi)，約有99%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。也就是說(shuō)，對(duì)于服從

對(duì)稱的鐘形分布的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，68%的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)在口,+1］范圍內(nèi)，約有95%的標(biāo)準(zhǔn)分

數(shù)在［-2,+2］范圍之內(nèi)，約有99%的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)在［-3,+引范圍之內(nèi)。因此，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法

則，如果上面的考核B中的得分服從對(duì)稱鐘形分布，則95%的得分都在50分和70

分之間。

四、變量間的相關(guān)分析

現(xiàn)實(shí)中很多變量之間存在著相關(guān)關(guān)系。比如，一般來(lái)說(shuō)，身高越高的人體重也

越重，收入較高的家庭消費(fèi)水平也較高，諸如此類(lèi)的例子不勝枚舉。有的變量間相

關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，有的變量間相關(guān)關(guān)系較弱，并且變量間相關(guān)的模式也是不盡相同的。

因此，我們需要度量變量間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，并對(duì)不同的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)。

（一）變量間的相關(guān)關(guān)系

客觀現(xiàn)象的相關(guān)關(guān)系可以按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。

1.按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。當(dāng)一個(gè)變量的取值變

化完全由另一個(gè)變量的取值變化所確定時(shí)，稱這兩個(gè)變量間的關(guān)系為完全相關(guān)。例

如，在價(jià)格不變的條件下，某種商品的銷(xiāo)售總額由其銷(xiāo)售量決定。當(dāng)兩個(gè)變量的取

值變化彼此互不影響時(shí)，稱為不相關(guān)現(xiàn)象。例如，通常認(rèn)為股票價(jià)格的高低與氣溫

的高低是不相關(guān)的。當(dāng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完

全相關(guān)，一般相關(guān)現(xiàn)象都是指這種不完全相關(guān)。

2.按相關(guān)的方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。當(dāng)一個(gè)變量的取值由小變大，另一個(gè)

變量的取值也相應(yīng)由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。例如，工人的工資隨著勞動(dòng)生

產(chǎn)率的提高而增加。當(dāng)一個(gè)變量的取值由小變大，而另一個(gè)變量的取值相反地由大

變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)。例如，商品的銷(xiāo)售量隨著單價(jià)的升高而降低。

3.按相關(guān)的形式可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。當(dāng)兩個(gè)相關(guān)變量之間的關(guān)系大

致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)。如果兩個(gè)相關(guān)變量之間，并不表現(xiàn)為直線

的關(guān)系，而是近似于某種曲線方程的關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。

需要注意的是，相關(guān)關(guān)系并不等同于因果關(guān)系。例如，夏季我們也許能得到雪

糕的銷(xiāo)售量與遮陽(yáng)傘的銷(xiāo)售量之間呈正相關(guān)，但常識(shí)告訴我們它們之間并不存在因

果關(guān)系。

（二）散點(diǎn)圖

兩個(gè)變量間的關(guān)系可以用散點(diǎn)圖來(lái)展示。在散點(diǎn)圖中，每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)觀測(cè)值,

橫縱坐標(biāo)值分別代表兩個(gè)變量相應(yīng)的觀測(cè)值。

圖24-1是一些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。橫坐標(biāo)值表示變量X的觀測(cè)值，縱坐標(biāo)值表示

變量Y的觀測(cè)值。圖a的點(diǎn)幾乎無(wú)規(guī)律而言，表示這兩個(gè)變量不相關(guān)。圖b和圖c

口，觀測(cè)點(diǎn)密集在一條直線周?chē)?，表現(xiàn)為較強(qiáng)的線性相關(guān)，但相關(guān)的方向不同。圖

b中的兩個(gè)變量為正相關(guān)關(guān)系，圖c中的兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)關(guān)系。圖d中的觀測(cè)點(diǎn)

呈現(xiàn)出曲線模式，這表示兩個(gè)變量為非線性相關(guān)。

圖24-1不同形態(tài)的散點(diǎn)圖

（三）相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是度量?jī)蓚€(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量。最常用的相關(guān)系數(shù)是Pearson

相關(guān)系數(shù)，它度量的是兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系。假設(shè)分別可得到兩個(gè)變量X和

Y的n組觀測(cè)值，即Xi,yi,i=l,2,…,n,其中兩組觀測(cè)值之間是---對(duì)應(yīng)的，那么

Pearson相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：

表24-1是2002-2013年的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和人均消費(fèi)支出數(shù)據(jù)。圖

24-2所示為相應(yīng)的散點(diǎn)圖。從圖中可以看出，這兩個(gè)變量呈正線性相關(guān)。

表24-12002—2013年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和人均消費(fèi)支出

資料來(lái)源：《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》

圖24-22002—2013年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和人均消費(fèi)支出的散點(diǎn)圖

用公式進(jìn)行計(jì)算，可得兩變量觀測(cè)值的Pearson相關(guān)系數(shù)r:

可以證明，Pearson相關(guān)系數(shù)的取值范圍在+1和-1之間,即-1W長(zhǎng)1。若0