第五章三角函數(shù)5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.會(huì)利用正切線及正切函數(shù)的性質(zhì)作正切函數(shù)的圖象，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3.能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性.難點(diǎn)：能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：孔子?xùn)|游，見兩小兒辯斗，問其故.一兒曰：“我以日始出時(shí)去人近，而日中時(shí)遠(yuǎn)也?！币粌涸唬骸叭粘醭龃笕畿嚿w。及日中，則如盤盂，此不為遠(yuǎn)者小而近者大乎？”一兒曰：“日初出滄滄涼涼，及其日中如探湯，此不為近者熱而遠(yuǎn)者涼乎？”孔子不能決也。兩小兒笑曰：“孰為汝多知乎？”事實(shí)上，中午的氣溫較早晨高，主要原因是早晨太陽(yáng)斜射大地，中午太陽(yáng)直射大地.在相同的時(shí)間、相等的面積里，物體在直射狀態(tài)下吸收的熱量多，這就涉及太陽(yáng)光和地面的角度問題.研究太陽(yáng)光和地面的角度問題常常用到那個(gè)函數(shù)的性質(zhì)與圖象呢？答：正切函數(shù).回顧：結(jié)合所學(xué)，你能說(shuō)出正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的圖象與性質(zhì)的研究過程嗎？答：作函數(shù)圖象→根據(jù)圖象研究性質(zhì)y=sinx，x∈[0，2π]→y=sinx，x∈R→正弦函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該如何研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)？答：正切函數(shù)的定義→部分性質(zhì)→圖象研究圖象→正切函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計(jì)意圖：通過重溫“正弦函數(shù)的圖象”，類比得出探索正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的可能思路：思考正切函數(shù)的部分性質(zhì)（定義域和周期性），借助單位圓作出一個(gè)周期內(nèi)的。第二步，根據(jù)圖象探索新的性質(zhì).探究新知任務(wù)1：探索正切函數(shù)的周期性、奇偶性思考：根據(jù)已有的知識(shí)準(zhǔn)備，你能得到正切函數(shù)的哪些性質(zhì)？要求：1.先獨(dú)立思考2分鐘；2.小組內(nèi)交流討論；3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào).答：定義域：{x|周期性：由誘導(dǎo)公式tan(π+x)=tanx正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π；奇偶性：由誘導(dǎo)公式tan(–x)=–tan正切函數(shù)有奇偶性，是奇函數(shù).師生活動(dòng)：通過回顧誘導(dǎo)公式，引導(dǎo)學(xué)生歸納正切函數(shù)的周期性與奇偶性．設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行回顧，探究正切函數(shù)的性質(zhì)，并為利用這些性質(zhì)畫出正切函數(shù)的圖象作出鋪墊．任務(wù)2：探索正切函數(shù)的圖象探究：如何畫出函數(shù)y=tanx,x

答：設(shè)x

∈[0,π2)，在直角坐標(biāo)系中畫出角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)B（x0,y0）過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A（1,0tanx=y0x0=MBOM=ATOA=AT；由此可見，當(dāng)x

∈[0,如圖所示：當(dāng)x

∈[0,π1.隨著x的增大，線段AT的長(zhǎng)度也在增大2.且當(dāng)x趨向于π2時(shí)AT3.函數(shù)y=tanx,x

∈[0,π師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖象，討論交流.思考：你能借助以上的結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？答：根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，只要畫出y=tanx,x

∈[0,π2借助正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)y=tanx,x∈(思考：類比五點(diǎn)法作圖，正切函數(shù)的圖象是否也能抓住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？答：“三點(diǎn)”：(“兩線”：直線x=±師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)圖象特征：正切曲線是由相互平行的直線x≠設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力．任務(wù)3：探索正切函數(shù)的單調(diào)性與值域做一做：觀察正切函數(shù)的圖象，完成下列填空.函數(shù)y單調(diào)性?π2+k值域R總結(jié)：正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線x=思考：正切函數(shù)在在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間?π2總結(jié)：解析式y(tǒng)=tanx圖象定義域{x|值域R周期π奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：(單調(diào)性在開區(qū)間?π2+設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)正切函數(shù)圖象的分析，歸納總結(jié)單調(diào)性和最值，使學(xué)生理解正切函數(shù)的性質(zhì)，突破難點(diǎn)．發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．任務(wù)4：探索正切函數(shù)的對(duì)稱性探究：正切函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，除了原點(diǎn)之外，正切函數(shù)還有其它的對(duì)稱中心嗎？有沒有對(duì)稱軸？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察正切函數(shù)的圖象，分組討論，共同歸納總結(jié).總結(jié)：正切函數(shù)的對(duì)稱中心是(k設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過觀察正切函數(shù)的圖象，嘗試總結(jié)正切函數(shù)的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，同時(shí)培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).（三）應(yīng)用舉例例1求函數(shù)y＝tan解：由2x?π4≠kπ所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠3總結(jié)：函數(shù)y＝Atan(ωx設(shè)計(jì)意圖：通過例1的鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生加深對(duì)正切函數(shù)定義域的理解.并掌握“整體代換”思想.例2求函數(shù)y=tan解：由題意，得y因?yàn)閤∈[π所以tanx所以原函數(shù)的值域?yàn)閇2

,

6?23總結(jié)：1.求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即x≠π2+kπ，(2.求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域；對(duì)于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時(shí)，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．例3比較大?。簍an1與tan4．解：因?yàn)閠an4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，因?yàn)椋襶＝tanx在區(qū)間(?π所以，tan(4－π)＜tan1，即，tan1＞tan4.師生活動(dòng)：師生共同分析此問題，然后共同完成求解．設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用正切函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問題．總結(jié)：運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)，先把各角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小.例4求函數(shù)y=tan分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.解：自變量x的取值應(yīng)滿足;π2x+π3≠π2所以，函數(shù)的定義域是x設(shè)z=π2x+π所以tan?[π即：tan?[π因?yàn)?x∈x都有tan?[π所以，函數(shù)的周期為2．由?π2+kπ<π解得?53+2k<x因此，函數(shù)在區(qū)間(?53+2k,13+2k

),設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)典型問題的分析解決，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).（四）課堂練習(xí)1.函數(shù)f(x)=tanωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y=1所得的線段長(zhǎng)為πA.1 B.2 C.4 D.8解：f(x)=tanωx的圖象的相鄰兩支截直線y=1所得的線段長(zhǎng)度為函數(shù)的最小正周期，

所以該函數(shù)的周期是π4，

∴πω=2.若函數(shù)y=tanx+φφ≥0的圖象與直線xA.π B.π2 C.π4 解：函數(shù)y=tanx的圖象與直線若函數(shù)y=tanx+則2π+φ=π2+則φ的最小值為π2故選：B．3.已知函數(shù)f(x)=3tan(2xA.函數(shù)f(x))恒滿足f(x+π2)=f(x)

B.直線x=π6解：對(duì)于A，根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式，f(x)的最小正周期為π2，A正確；

對(duì)于B，正切型函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由f(?π12)=3tan0=0，所以點(diǎn)(?π12,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；

對(duì)于D，區(qū)間4.已知函數(shù)f((1)求f((2)試比較f(π)與f解：(1)函數(shù)f(所以最小正周期T=π由kπ?π2<解得4kπ?4π∴f(x)=3tan(π6(2)因?yàn)閒11π又?4π3<π<3π2所以fπ>f3π5.設(shè)函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求不等式fx解：(1)對(duì)于函數(shù)fx由x2?π3≠π