隱形圓相關(guān)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題集合在中考數(shù)學(xué)的幾何綜合題中，“隱形圓”問題常常是學(xué)生們感到棘手的難點(diǎn)。這類題目往往不直接給出圓的信息，而是通過一些特定的條件暗示圓的存在。能否準(zhǔn)確識(shí)別并構(gòu)造出這個(gè)隱形的圓，成為解題的關(guān)鍵。下面，我們就結(jié)合一些典型例題，梳理一下常見的隱形圓模型及其應(yīng)用，希望能幫助同學(xué)們更好地掌握這類問題的解題思路。一、利用“定點(diǎn)定長”構(gòu)造隱形圓——圓的定義圓的定義告訴我們，平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。如果題目中存在一個(gè)定點(diǎn)，并且有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到該定點(diǎn)的距離始終保持不變（定長），那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是一個(gè)以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓（或圓弧）。例題1：已知線段AB=4，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，則線段PB長度的最大值為多少？最小值為多少？分析與解答：題目中，點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，且PA=2（定長）。根據(jù)圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓。要求PB的最值，我們可以連接點(diǎn)B和圓心A。線段BA與圓A的交點(diǎn)到點(diǎn)B的距離，就是PB的最小值和最大值。已知AB=4，圓A半徑r=2。當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上時(shí)，PB最大，最大值為AB+r=4+2=6；當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PB最小，最小值為AB-r=4-2=2。所以，PB的最大值是6，最小值是2。小結(jié)：這類問題的核心在于識(shí)別出“定點(diǎn)”和“定長”，從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓。一旦明確了圓的存在，后續(xù)的長度計(jì)算、位置關(guān)系判斷就會(huì)變得清晰。二、利用“定弦定角”構(gòu)造隱形圓——圓周角定理的應(yīng)用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。反過來，如果一個(gè)角的頂點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，但角的大小不變，且它所對(duì)的邊（弦）的長度也不變，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)的軌跡就是以這條定弦為弦的一段圓?。ú慌c弦的端點(diǎn)重合）。這里要注意，根據(jù)圓周角定理，這樣的圓弧可能有兩段（位于弦的兩側(cè)）。例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD翻折得到△AED，連接BE。當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段BE長度的最小值。分析與解答：首先，根據(jù)已知條件，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，可求得AB=10。將△ACD沿AD翻折得到△AED，所以AE=AC=6（定長），∠AED=∠C=90°。這里，點(diǎn)A是定點(diǎn)，AE的長度是定長6，∠AED是定角90°。那么，點(diǎn)E的軌跡是什么呢？因?yàn)椤螦ED=90°，AE=6，我們可以把AE看作一條定邊，∠AED是AE所對(duì)的角。根據(jù)圓周角定理的推論，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。所以，點(diǎn)E在以AE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)嗎？Wait，再仔細(xì)想想?！螦ED=90°，頂點(diǎn)是E，所以應(yīng)該是以AD為斜邊？不，AE是確定的。我們可以這樣考慮：對(duì)于點(diǎn)E，AE=6（定點(diǎn)A，定長AE），且∠AED=90°。但點(diǎn)D是運(yùn)動(dòng)的，所以DE的長度和方向也在變。換個(gè)角度，由于AE=AC=6，點(diǎn)A固定，所以點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離始終是6。那么，點(diǎn)E的軌跡應(yīng)該是以點(diǎn)A為圓心，6為半徑的圓上的一段弧！因?yàn)榉郏c(diǎn)E初始位置是C，隨著D的運(yùn)動(dòng)，E在圓A上運(yùn)動(dòng)。是的，因?yàn)锳E=AC=6，A是定點(diǎn)，所以E的軌跡是以A為圓心，6為半徑的圓（或其一部分，由翻折范圍決定）。那么，要求BE的最小值，就是求定點(diǎn)B到圓A上一點(diǎn)E的距離的最小值。根據(jù)圓的性質(zhì)，這個(gè)最小值就是線段AB的長度減去圓A的半徑。AB=10，圓A半徑AE=6，所以BE的最小值為AB-AE=10-6=4。此時(shí)，點(diǎn)E在AB與圓A的交點(diǎn)處（靠近B的一側(cè)）。小結(jié)：“定弦定角”模型的關(guān)鍵在于找到那個(gè)“定角”和它所對(duì)的“定弦”，或者識(shí)別出動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長。有時(shí)需要結(jié)合翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換來發(fā)現(xiàn)這個(gè)“定長”或“定角”。三、利用“對(duì)角互補(bǔ)”或“定角對(duì)定邊”的引申構(gòu)造隱形圓如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（圓內(nèi)接四邊形的判定定理）。此外，如果兩個(gè)點(diǎn)對(duì)同一條線段的張角相等（或互補(bǔ)），那么這兩個(gè)點(diǎn)也可能在同一個(gè)圓上。這些都可以作為構(gòu)造隱形圓的依據(jù)。例題3：在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，則∠BDC=多少度，∠DBC=多少度。分析與解答：由AB=AC=AD可知，點(diǎn)B、C、D到點(diǎn)A的距離相等。根據(jù)圓的定義，點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上。所以，∠BAC、∠CAD是圓心角?！螧AC=25°，則弧BC所對(duì)的圓心角為25°，所以弧BC所對(duì)的圓周角∠BDC=1/2∠BAC=12.5°。∠CAD=75°，則弧CD所對(duì)的圓心角為75°。那么，弧BD所對(duì)的圓心角為∠BAC+∠CAD=25°+75°=100°。所以，弧BD所對(duì)的圓周角∠BCD=1/2∠BAD=50°。但題目問的是∠DBC。在△DBC中，我們知道了∠BDC=12.5°，還需要知道另一個(gè)角。AB=AD，所以點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱嗎？不一定，但我們知道∠ABD=∠ADB?；蛘撸?yàn)锳B=AC=AD，所以∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠ADC。先求∠ABC：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=25°，所以∠ABC=(180°-25°)/2=77.5°。同理，在△ACD中，AC=AD，∠CAD=75°，所以∠ADC=(180°-75°)/2=52.5°。但這似乎與∠DBC沒有直接關(guān)系。回到圓的思路。點(diǎn)B、C、D在圓A上，那么∠DBC和哪個(gè)圓心角有關(guān)呢？∠DBC是圓周角，它所對(duì)的弧是弧DC。弧DC所對(duì)的圓心角是∠CAD=75°，所以∠DBC=1/2∠CAD=37.5°。是的！因?yàn)椤螪BC的頂點(diǎn)在圓周上，它對(duì)的弧是CD，而弧CD所對(duì)的圓心角是∠CAD=75°，所以∠DBC=75°/2=37.5°。小結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)多條相等線段共端點(diǎn)時(shí)，要聯(lián)想到這些端點(diǎn)可能共圓，從而利用圓的性質(zhì)（如圓心角、圓周角關(guān)系）來解決角度計(jì)算問題。對(duì)角互補(bǔ)是四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要信號(hào)。四、利用“最值問題中的隱形圓”——常見于“一箭穿心”模型在一些幾何最值問題中，雖然沒有直接給出圓，但通過分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓，此時(shí)要求某個(gè)線段或圖形面積的最值，就可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題，通常可以用“一箭穿心”（即連接圓心與定點(diǎn)，與圓的交點(diǎn)即為最值點(diǎn)）的方法求解。例題4：已知點(diǎn)A(0,3)，點(diǎn)B(4,0)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接BC。求線段BC長度的最小值。分析與解答：點(diǎn)A(0,3)，點(diǎn)B(4,0)是定點(diǎn)。點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(t,0)。將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PC。我們需要找到點(diǎn)C的坐標(biāo)與t的關(guān)系，或者發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的軌跡。設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PC，且PA⊥PC。向量PA=(-t,3)，向量PC=(x-t,y-0)=(x-t,y)。因?yàn)镻A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PC，所以向量PA旋轉(zhuǎn)90°后得到向量PC。將向量PA=(-t,3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的向量應(yīng)該是(3,t)（可以通過畫圖或旋轉(zhuǎn)公式得到：(a,b)順時(shí)針轉(zhuǎn)90°為(b,-a)，這里原向量是從P到A：A-P=(0-t,3-0)=(-t,3)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到向量PC：C-P=(3,t)）。所以，C-P=(3,t)，即x-t=3，y=t。因此，x=t+3，y=t。消去參數(shù)t，可得y=x-3。所以點(diǎn)C的軌跡是直線y=x-3？這似乎不是圓?？磥砦业男D(zhuǎn)向量分析可能哪里出了問題，或者這個(gè)模型不適用“定長定角”。（嗯，這個(gè)例題似乎選得不太好，它的軌跡是直線。我需要換一個(gè)更典型的“最值問題中隱形圓”的例子。）例題4（修正）：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°，求線段CD長度的最小值。分析與解答：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，可得AB=5。點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=90°。因?yàn)椤螦DB=90°（定角），AB=5（定邊，D在△內(nèi)部，所以AB是∠ADB所對(duì)的斜邊）。根據(jù)圓周角定理的推論，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。所以，點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上（且在△ABC內(nèi)部的一段圓?。ＴO(shè)AB的中點(diǎn)為O（即該圓的圓心），則O為AB中點(diǎn)，AO=BO=DO=AB/2=2.5。要求線段CD長度的最小值，就是求定點(diǎn)C到圓O上一點(diǎn)D的距離的最小值。連接CO，與圓O的交點(diǎn)（靠近點(diǎn)C的那個(gè)）即為使CD最小的點(diǎn)D。在Rt△ABC中，O是AB中點(diǎn)，可求得CO的長度。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，但這里CO不是中線嗎？是的！在Rt△ABC中，斜邊上的中線CO=AB/2=2.5？Wait，不對(duì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那CO應(yīng)該是2.5？但我們來具體算算坐標(biāo)。以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸建立坐標(biāo)系。則C(0,0)，B(3,0)，A(0,4)。AB中點(diǎn)O的坐標(biāo)為((3+0)/2,(0+4)/2)=(1.5,2)。則CO的長度為√[(1.5-0)^2+(2-0)^2]=√(2.25+4)=√6.25=2.5。果然，CO=2.5，這與直角三角形斜邊中線性質(zhì)一致。圓O的半徑r=AB/2=2.5。所以，CD的最小值為CO-r=2.5-2.5=0？這顯然不可能，因?yàn)辄c(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，當(dāng)CO=r時(shí)，說明點(diǎn)C在圓O上。此時(shí)CD的最小值為0，即點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，但∠ADB=90°，當(dāng)D與C重合時(shí)，∠ACB=90°，滿足條件。但題目說“內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)”，嚴(yán)格來說C是邊界點(diǎn)。如果題目限定D在內(nèi)部，則最小值無限接近0?？磥磉@個(gè)例子也有瑕疵，主要是因?yàn)镃點(diǎn)恰好在以AB為直徑的圓上。）例題4（再修正，確保C不在圓上）：已知點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(4,0)，點(diǎn)D是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=45°，求點(diǎn)D到原點(diǎn)O(0,0)距離的最小值。分析與解答：點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(4,0)，AB=4（定弦）。點(diǎn)D滿足∠ADB=45°（定角）。根據(jù)“定弦定角”模型，點(diǎn)D的軌跡是以AB為弦，所對(duì)圓周角為45°的兩段圓?。▋?yōu)弧和劣弧，AB的上下兩側(cè)）。我們需要找出圓心和半徑。弦AB=4，圓周角∠ADB=45°，則圓心角∠AOB=90°（O為圓心）。設(shè)圓心為M(x,y)。因?yàn)镸A=MB=R（半徑），所以M在線段AB的垂直平分線上。AB中點(diǎn)為(2,0)，AB在x軸上，所以AB的垂直平分線是直線x=2。因此，圓心M的坐標(biāo)為(2,y)。MA=MB，且∠AMB=2∠ADB=90°（圓心角是圓周角的兩倍）。在等腰直角三角形AMB中，MA=MB=R，AB=4。根據(jù)勾股定理，MA2+MB2=AB2，即2R2=16，解得R2=8，R=2√2。MA的長度為√[(2-0)^2+(y-0)^2]=√(4+y2)=R=2√2。所以，4+y2=8，y2=4，y=2或y=-2。因此，點(diǎn)D的軌跡是兩個(gè)圓：一個(gè)圓心為M1(2,2)，半徑為2√2；另一個(gè)圓心為M2(2,-2)，半徑為2√2。要求點(diǎn)D到原點(diǎn)O(0,0)距離的最小值，即求原點(diǎn)O到這兩個(gè)圓上的點(diǎn)的距離的最小值，然后取較小的那個(gè)。對(duì)于圓M1(2,2)，半徑R=2√2。OM1的距離為√[(2-0)^2+(2-0)^2]=√8=2√2。所以原點(diǎn)O到圓M1上點(diǎn)的最小距離為OM1-R=2√2-2√2=0。但此時(shí)點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，此時(shí)∠ADB=0°，不符合題意，所以這個(gè)圓上的點(diǎn)D需排除與A、B共線或使角度為0°的點(diǎn)，但此處OM1=R，說明O在圓M1上。對(duì)于圓M2(2,-2)，同理，OM2的距離也是√[(2-0)^2+(-2-0)^2]=2√2=R，原點(diǎn)O也在圓M2上。這說明，當(dāng)∠ADB=45°時(shí)，以AB為弦的兩個(gè)圓都經(jīng)