2023年理科數(shù)學(xué)高考試題及詳解前言2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)科目已經(jīng)落下帷幕。本次試題在延續(xù)了近年來(lái)高考數(shù)學(xué)命題思路的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，注重理論聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。本詳解旨在為廣大考生、教師及數(shù)學(xué)愛(ài)好者提供一份專業(yè)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膮⒖假Y料，幫助大家更好地理解試題內(nèi)涵、把握命題趨勢(shì)，并從中汲取學(xué)習(xí)與教學(xué)的啟示。本詳解將按照高考試卷的常見(jiàn)題型結(jié)構(gòu)，即選擇題、填空題、解答題的順序進(jìn)行。對(duì)于每一道題目，我們不僅提供詳細(xì)的解答過(guò)程，更力求剖析其考查的知識(shí)點(diǎn)、解題思路的形成以及可能的易錯(cuò)點(diǎn)，以期達(dá)到“授人以漁”的效果。一、選擇題：基礎(chǔ)與綜合的平衡選擇題作為試卷的開(kāi)篇，通常注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全面考查，同時(shí)也滲透著對(duì)基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的檢驗(yàn)。本次選擇題整體難度梯度設(shè)置合理，既有送分題，也有少量需要深入思考的題目。（一）集合與常用邏輯用語(yǔ)題目1：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?x≤1}，則A∩B=A.?B.{1}C.{2}D.{1,2}詳解：首先求解集合A：x2-3x+2=0，因式分解得(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2，故A={1,2}。然后求解集合B：log?x≤1，即log?x≤log?2。因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log?x在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以0<x≤2，故B=(0,2]。A∩B即為{1,2}與(0,2]的交集，所以A∩B={1,2}。答案：D本題小結(jié)：本題主要考查集合的運(yùn)算（交集）以及一元二次方程的求解、對(duì)數(shù)不等式的解法。屬于基礎(chǔ)題，要求考生對(duì)基本的代數(shù)運(yùn)算和集合概念掌握熟練。（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)題目2：函數(shù)f(x)=(1-x)/(1+x)的圖像大致為(此處應(yīng)有圖像選項(xiàng)，分別為四個(gè)不同的函數(shù)圖像，涉及奇偶性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等特征)詳解：分析函數(shù)f(x)=(1-x)/(1+x)。首先，定義域：分母不為零，即1+x≠0，解得x≠-1，定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)。其次，判斷奇偶性：f(-x)=(1-(-x))/(1+(-x))=(1+x)/(1-x)=-(1-x)/(1+x)=-f(x)。但需注意，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（-1是一個(gè)斷點(diǎn)），因此函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)。不過(guò)，在其對(duì)稱的定義域區(qū)間內(nèi)，它滿足f(-x)=-f(x)的關(guān)系。再者，分析單調(diào)性：可以通過(guò)求導(dǎo)或分離常數(shù)法。f(x)=(1-x)/(1+x)=[-(x+1)+2]/(1+x)=-1+2/(1+x)。因?yàn)楹瘮?shù)y=2/(1+x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上分別單調(diào)遞減，所以f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上也分別單調(diào)遞減。最后，考慮特殊點(diǎn)：當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=1；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-1；當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→-1；當(dāng)x從右側(cè)趨近于-1時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x從左側(cè)趨近于-1時(shí)，f(x)→-∞。綜合以上特征，可判斷出正確的圖像。答案：（根據(jù)上述分析選擇對(duì)應(yīng)的圖像選項(xiàng)）本題小結(jié)：本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，涉及函數(shù)的定義域、奇偶性（或?qū)ΨQ性）、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值以及極限趨勢(shì)等多個(gè)方面，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用能力的考查。（三）（后續(xù)選擇題按此模式，選取典型題目進(jìn)行分析，如三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何初步、概率統(tǒng)計(jì)初步、解析幾何初步等，每道題包含題目簡(jiǎn)述、詳細(xì)解答、本題小結(jié)）二、填空題：細(xì)節(jié)與靈活的考驗(yàn)填空題相較于選擇題，更側(cè)重于考查學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的準(zhǔn)確性和運(yùn)算的精準(zhǔn)性，沒(méi)有選項(xiàng)可供參考，因此對(duì)細(xì)節(jié)的要求更高。同時(shí)，填空題也常常設(shè)置一些具有一定靈活性和開(kāi)放性的題目。（一）數(shù)列題目13：已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?+a?=14，S?=70，則a?=______。詳解：設(shè)等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為a?，公差為d。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a?=a?+(n-1)d。已知a?+a?=14，即(a?+d)+(a?+4d)=14，化簡(jiǎn)得2a?+5d=14...(1)。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：S?=n*a?+n(n-1)d/2。已知S?=70，即7a?+7*6*d/2=70，化簡(jiǎn)得7a?+21d=70，兩邊同時(shí)除以7得a?+3d=10...(2)。聯(lián)立方程(1)和(2)：由(2)得a?=10-3d，代入(1)：2*(10-3d)+5d=1420-6d+5d=1420-d=14解得d=6。將d=6代入(2)：a?+3*6=10，解得a?=10-18=-8。答案：-8本題小結(jié)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的基本應(yīng)用，屬于方程思想的直接體現(xiàn)。解題關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)a?和公差d的方程組，并準(zhǔn)確求解。（二）（后續(xù)填空題按此模式，選取如解析幾何、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、排列組合、二項(xiàng)式定理等知識(shí)點(diǎn)的典型題目進(jìn)行分析）三、解答題：能力與素養(yǎng)的深度考查解答題是高考試卷的核心部分，充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的考查，包括運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力等。（一）三角函數(shù)與解三角形題目17：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cosA=3/5，b=2，△ABC的面積為4。(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求cos(B-C)的值。詳解：(Ⅰ)已知cosA=3/5，且0<A<π，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系sin2A+cos2A=1，可得sinA=√(1-cos2A)=√(1-(9/25))=√(16/25)=4/5。三角形面積公式S=(1/2)bcsinA，已知S=4，b=2，sinA=4/5，代入得：4=(1/2)*2*c*(4/5)化簡(jiǎn)得：4=(1)*c*(4/5)，即c*(4/5)=4，解得c=5?，F(xiàn)在已知b=2，c=5，cosA=3/5，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：a2=22+52-2*2*5*(3/5)=4+25-(20)*(3/5)=29-12=17所以a=√17。(Ⅱ)要求cos(B-C)的值，根據(jù)兩角差的余弦公式：cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC。因此需要先求出角B和角C的正弦與余弦值。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑）。已求得a=√17，sinA=4/5，b=2，c=5。所以sinB=bsinA/a=2*(4/5)/√17=8/(5√17)=8√17/(5*17)=8√17/85。sinC=csinA/a=5*(4/5)/√17=4/√17=4√17/17=20√17/85。因?yàn)閎=2，c=5，b<c，所以B<C（大邊對(duì)大角）。又因?yàn)锳為銳角（cosA=3/5>0），且三角形內(nèi)角和為π，所以B和C均為銳角（若C為鈍角，則B+C>π/2+π/2=π，與A>0矛盾）。因此cosB和cosC均為正值。cosB=√(1-sin2B)=√[1-(64*17)/(852)]=√[1-(64)/(5*85)]（此處計(jì)算可簡(jiǎn)化：sin2B=64/(25*17)=64/425，所以cos2B=1-64/425=361/425，cosB=√361/√425=19/(5√17)=19√17/85）。同理，cosC=√(1-sin2C)=√[1-(16*17)/(172)]=√[1-16/17]=√(1/17)=√17/17=5√17/85。因此，cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=(19√17/85)(5√17/85)+(8√17/85)(20√17/85)=[19*5*(17)+8*20*(17)]/(85*85)分子提取公因式17：17[19*5+8*20]=17[95+160]=17*255分母：85*85=(5*17)*(5*17)=25*289所以cos(B-C)=(17*255)/(25*289)=(255)/(25*17)=(15*17)/(25*17)=15/25=3/5。答案：(Ⅰ)√17；(Ⅱ)3/5本題小結(jié)：本題綜合考查了同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及兩角差的余弦公式。解題過(guò)程要求學(xué)生熟練掌握三角恒等變換及正余弦定理的應(yīng)用，并具備一定的運(yùn)算求解能力。第(Ⅱ)問(wèn)中判斷角B、C為銳角是求余弦值的關(guān)鍵。（二）（后續(xù)解答題按此模式，選取如數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等重點(diǎn)難點(diǎn)題目進(jìn)行詳細(xì)剖析，強(qiáng)調(diào)解題思路的構(gòu)建和規(guī)范表達(dá)）四、總結(jié)與備考啟示2023年理科數(shù)學(xué)高考試題整體難度適中，區(qū)分度良好，全面覆蓋了高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)。試題既注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，也突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)科核心素養(yǎng)的要求。通過(guò)對(duì)以上典型題型的分析，我們可以得到以下幾點(diǎn)啟示：1.夯實(shí)基礎(chǔ)，回歸教材：無(wú)論是選擇題、填空題還是解答題，很多題目都源于教材中的基本概念、公式和方法。因此，在日常學(xué)習(xí)中，務(wù)必吃透教材，掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，這是應(yīng)對(duì)一切考試的根本。2.重視數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等在試題中體現(xiàn)得淋漓盡致。有意識(shí)地在解題過(guò)程中運(yùn)用這些思想，能起到事半功倍的效果。3.強(qiáng)化運(yùn)算能力與邏輯推理能力：運(yùn)算的準(zhǔn)確性是數(shù)學(xué)解題的生命線，而清晰的邏輯推理則是通向正確答案的橋梁。平時(shí)練習(xí)中要養(yǎng)成規(guī)范運(yùn)算、