高中平面向量經(jīng)典練習(xí)題1平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其工具性作用在幾何、代數(shù)乃至物理學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。掌握平面向量，關(guān)鍵在于深刻理解其核心概念與運(yùn)算性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用于解決實(shí)際問題。經(jīng)典習(xí)題的演練，正是鞏固知識(shí)、提升能力的有效途徑。今天，我們就一同來探究一道具有代表性的平面向量經(jīng)典練習(xí)題，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供一些有益的啟示。經(jīng)典練習(xí)題1已知向量a和b是兩個(gè)非零向量，且|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為60°。(1)求|a+2b|的值；(2)若向量a+kb與向量2a-b垂直，求實(shí)數(shù)k的值。思路剖析本題綜合考察了平面向量的模、數(shù)量積、向量的夾角以及向量垂直的充要條件等核心知識(shí)點(diǎn)。解決此類問題，我們通常從向量的數(shù)量積入手，因?yàn)閿?shù)量積將向量的模、夾角有機(jī)地聯(lián)系起來，是溝通向量運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算的橋梁。對于第(1)問，要求向量a+2b的模。我們知道，向量的模的平方等于該向量與自身的數(shù)量積，即|c|2=c·c。因此，我們可以先計(jì)算(a+2b)·(a+2b)，再對結(jié)果開方即可得到|a+2b|。對于第(2)問，兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零。即若向量u與向量v垂直，則u·v=0。據(jù)此，我們可以列出關(guān)于k的方程，進(jìn)而求解k的值。詳解過程(1)求|**a**+2**b**|的值根據(jù)向量模的平方與數(shù)量積的關(guān)系，我們有：**a**+2**b**將上式展開，利用數(shù)量積的分配律和交換律：=a·a+a·(2b)+(2b)·a+(2b)·(2b)=|a|2+2a·b+2a·b+4|b|2=|a|2+4a·b+4|b|2已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為60°，根據(jù)數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cosθ，其中θ為兩向量的夾角，可得：a·b=|a||b|cos60°=2×1×(1/2)=1將|a|2=4，|b|2=1，a·b=1代入上式：**a**+2**b**因此，|a+2b|=√12=2√3。(2)求實(shí)數(shù)k的值因?yàn)?a+kb)與(2a-b)垂直，所以它們的數(shù)量積為零：(a+kb)·(2a-b)=0展開上式：a·(2a)+a·(-b)+(kb)·(2a)+(kb)·(-b)=02a·a-a·b+2kb·a-kb·b=0利用數(shù)量積的交換律b·a=a·b，以及|a|2=a·a，|b|2=b·b，整理得：2|a|2+(-1+2k)a·b-k|b|2=0將|a|2=4，|b|2=1，a·b=1代入上式：2×4+(-1+2k)×1-k×1=08+(-1+2k)-k=0化簡方程：8-1+2k-k=07+k=0解得：k=-7方法歸納與點(diǎn)睛1.向量模的計(jì)算：計(jì)算向量c的模，通常轉(zhuǎn)化為計(jì)算|c|2=c·c，展開后利用已知條件求解，最后開方。這種“平方后開方”的方法是處理向量模長問題的常用策略。2.數(shù)量積的應(yīng)用：數(shù)量積是聯(lián)系向量模、夾角以及判斷向量垂直的核心工具。其定義式a·b=|a||b|cosθ和運(yùn)算律是進(jìn)行向量代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。3.方程思想：在第(2)問中，我們利用向量垂直的充要條件（數(shù)量積為零）構(gòu)建了關(guān)于未知數(shù)k的方程，通過解方程求得k的值。方程思想在解決含參數(shù)的向量問題中經(jīng)常用到。4.運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn)性：在進(jìn)行向量數(shù)量積的展開運(yùn)算時(shí)，要注意系數(shù)的乘積和符號(hào)，確保每一步運(yùn)算的準(zhǔn)確性。變式拓展與思考若將第(2)問中的“垂直”改為“共線”，那么k的值又將如何求解呢？（提示：兩向量共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得一個(gè)向量等于另一個(gè)向量的λ倍。）同學(xué)們在學(xué)