2024級(jí)高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知函數(shù)，則的值為（）A.-1 B.3 C.8 D.162.已知空間向量，，則在上投影向量的模為（）A. B.2 C.1 D.3.已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.一條光線從軸上的點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)軸反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，若該過程中光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過的路程為10，則反射光線所在直線的方程為（）A. B.C. D.5.已知橢圓C：（且），直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）A2 B.4 C. D.6.已知數(shù)列中，，若，則滿足條件的整數(shù)的最大值為（）A.7 B.9 C.11 D.137.，，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點(diǎn)，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（）．A. B. C. D.8.加斯帕爾·蒙日是18~19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日?qǐng)A方程為.若該橢圓離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，若面積的最大值為28，則橢圓的焦距為（）A.2 B. C. D.4二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若存在過點(diǎn)的直線l與曲線和都相切，則a的值可以是（）A.1 B. C. D.10.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B若，，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列11.已知圓，點(diǎn)在直線上，過作圓的兩條切線（為切點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)軸時(shí)，四邊形的面積為C.原點(diǎn)到直線距離的最大值為D.的外接圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若數(shù)列滿足為常數(shù))，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值為__________.13.已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為______.14.已知函數(shù)，過點(diǎn)可作2條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求在的切線方程；（2）求解析式.16.已知數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和；（3）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).17.已知過點(diǎn)的直線與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).（1）若弦的長度為，求直線的方程；（2）在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)Q，無論直線如何運(yùn)動(dòng)，x軸都平分?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.如圖，四邊形與為直角梯形，且平面平面，其中，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若空間中存在一點(diǎn)，滿足，且直線平面，求的長.19.已知拋物線.過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)（在第一象限），且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求的值；（2）設(shè)拋物線在處的切線交于點(diǎn)，求面積的最小值；（3）面積最小時(shí)，過作直線交拋物線于兩點(diǎn).軸且的中點(diǎn)在直線上，證明：直線過定點(diǎn).

2024級(jí)高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知函數(shù)，則的值為（）A.-1 B.3 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，則，由導(dǎo)數(shù)的定義知，．故選：C．2.已知空間向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的模的公式計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】

在

上的投影向量的模為

，因?yàn)?，，所?/p>

，，所以投影向量的模為

，故選：A.3.已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出時(shí)的的值，結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得.【詳解】若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，不重合，符合要求；當(dāng)時(shí)，，不重合，符合要求；故“”是“”的必要不充分條件.

故選：B.4.一條光線從軸上的點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)軸反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，若該過程中光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過的路程為10，則反射光線所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意，易判斷點(diǎn)在軸的同一側(cè)，所以，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱及兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值，從而求得反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，點(diǎn)在軸的同一側(cè)，所以，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.因?yàn)楣饩€經(jīng)過的路程為10，如圖，即，解得.反射光線所在的直線即直線，由，得直線的斜率為，所以其方程為，即.故選：D.5.已知橢圓C：（且），直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題求解即可.【詳解】設(shè)，，則，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，，兩式相減，得：，變形為，又直線的斜率為，所以，即，因此橢圓的焦距為，故選：B.6.已知數(shù)列中，，若，則滿足條件的整數(shù)的最大值為（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】B【解析】【分析】通過遞推式變形構(gòu)造等比數(shù)列，求出的表達(dá)式，利用分組求和法得到，解不等式得到滿足條件的最大整數(shù).【詳解】，因?yàn)?，即，故，所以是首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，時(shí)，，時(shí)，，所以不等式解得.故選：B7.，，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點(diǎn)，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，，表示出與，由點(diǎn)E到直線的距離為可計(jì)算得到答案【詳解】如圖所示，為的中點(diǎn)，則，，又，，，，點(diǎn)E到直線DF的距離為．故選：C8.加斯帕爾·蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日?qǐng)A方程為.若該橢圓離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，若面積的最大值為28，則橢圓的焦距為（）A2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】由題意可得，從而得,故當(dāng)為該圓的直徑時(shí)，面積取最大值，即可得，所以蒙日?qǐng)A半徑為，即有，再結(jié)合橢圓離心率為，求得，即可得答案.【詳解】由題意可得，所以,所以,由題意可得，所以，又因?yàn)槭敲扇請(qǐng)A上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為該圓的直徑時(shí)，取最大值，即蒙日?qǐng)A的直徑為，所以半徑為，由題意可得該蒙日?qǐng)A的半徑為，所以，所以，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，所以，所以，解得，所以，所以，所以橢圓的焦距為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若存在過點(diǎn)的直線l與曲線和都相切，則a的值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，分點(diǎn)是切點(diǎn)與點(diǎn)不是切點(diǎn)，兩種情況討論，然后結(jié)合切線方程的求解方法，得到相應(yīng)的切線方程，從而得到的值.【詳解】由題意可得，，因?yàn)樵谥本€l上，當(dāng)為的切點(diǎn)時(shí)，則，所以直線l的方程為，又直線l與相切，所以滿足，得；當(dāng)不是的切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，得，所以，所以直線的方程為.由，得，由題意得，所以.綜上得或.故選:AB10.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】A.利用累加法求和，即可判斷；B.利用構(gòu)造法，構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式，即可判斷;C.利用公式，即可求解通項(xiàng)公式，判斷選項(xiàng)；D.根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由得，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以與n無關(guān)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知圓，點(diǎn)在直線上，過作圓的兩條切線（為切點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)軸時(shí)，四邊形的面積為C.原點(diǎn)到直線距離的最大值為D.的外接圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】直接證明切線長可判斷A，舉反例判斷B，用求兩圓公共弦所在直線方程法求出直線方程，然后求點(diǎn)到直線的距離可判斷C，用參數(shù)表示求出的外接圓方程，利用恒等式知識(shí)求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)后判斷D．【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，，則．設(shè)，所以，故A正確；B選項(xiàng)，由于滿足條件，但此時(shí)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，以為直徑的圓的方程為，即，兩圓方程相減得的方程為，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由可知，的外接圓是以為直徑的圓，由C可知圓的方程為，即，由，解得或，故該圓恒過和，故D正確．故選：AD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若數(shù)列滿足為常數(shù))，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列新定義有為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及下標(biāo)和的性質(zhì)得，最后應(yīng)用基本不等式求的最大值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以，故為等差數(shù)列.由，得，所以，所以，故，故由于，此時(shí)，故的最大值為故答案為：13.已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算得到軌跡，再把目標(biāo)式表示為函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性求解即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以，即點(diǎn)在以為球心，以為半徑的球面上.因?yàn)?，所?因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以，在三角形中，，.取的中點(diǎn)為，，所以在上的投影向量的模為，所以.設(shè)，夾角為，所以.因?yàn)椋?，即的最大值?故答案為：14.已知函數(shù)，過點(diǎn)可作2條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出切線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)化簡可得，設(shè)，依題意，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而作出草圖，結(jié)合圖象即可得解．【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程得，，化簡得，設(shè)，則，令，解得，令，解得或，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，由圖象可知，要使直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．四、解答題：本題共5小題共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求在的切線方程；（2）求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算可得，再利用點(diǎn)斜式可得在的切線方程（2）根據(jù)、在切線上列式求解即可【小問1詳解】又因?yàn)榍悬c(diǎn)，故切線方程為，即【小問2詳解】由（1）知且，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算與幾何意義，屬于基礎(chǔ)題16.已知數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和；（3）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義即可得證；（2）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，分組求和即可求解；（3）由（2）得，即，得，令，比較與1的大小來判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大項(xiàng).【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以，化簡得；【小問3詳解】由（2）得，所以，令，易得，又單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，又當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列最大項(xiàng)為.17.已知過點(diǎn)的直線與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).（1）若弦長度為，求直線的方程；（2）在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)Q，無論直線如何運(yùn)動(dòng)，x軸都平分?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）或.（2）存在，【解析】【分析】（1）分斜率存在與否進(jìn)行分析，結(jié)合弦長公式.列方程求解，可得答案；（2）分斜率存在與否進(jìn)行分析，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，可得答案.【小問1詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不妨得，，則，與題意不符，舍去.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.由弦長公式得圓心到直線的距離為，所以，解得，故直線的方程為或.【小問2詳解】當(dāng)直線軸時(shí)，直線的方程為，不妨得，，此時(shí)x軸平分.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立，得，，所以，.若x軸平分，則，即，即，則，即，解得.綜上，當(dāng)點(diǎn)Q時(shí)，能使得x軸平分恒成立.18.如圖，四邊形與為直角梯形，且平面平面，其中，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若空間中存在一點(diǎn)，滿足，且直線平面，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直