山東省泰安市2026屆高三一輪檢測數(shù)學試題2026.02注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.162.與復數(shù)相等的復數(shù)是（）A. B.C. D.3.已知向量不共線，且，則實數(shù)（）A.3 B. C. D.4.已知某圓錐的母線長為4，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為（）A B. C. D.5.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.6.在一個不透明盒中裝有6個大小質(zhì)地完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從盒中一次取出2個小球，設(shè)事件為“取出2個小球的數(shù)字之和大于6”，事件為“取出的2個小球中最小數(shù)字為3”，則（）A. B. C. D.7.如圖，已知函數(shù)的部分圖象與圓的兩個公共點，當時，的圖象無限逼近軸，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.8.已知方程的四個實根從小到大排列后成等差數(shù)列，則實數(shù)（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項正確的是（）A.對A，B，C三類個體按3:1:2的比例進行分層抽樣，已知從類個體中抽取了9個，則樣本容量為30B.若隨機變量，則C.恒成立D.一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6第80百分位數(shù)為4.510.已知在長方體中，，點為的中點，為底面（含邊界）內(nèi)一個動點，且平面，長方體的外接球的球心為，則下列選項正確的是（）A.球的表面積為B.動點軌跡長度為C.異面直線與所成角的正切值的取值范圍是D.三棱錐的外接球球心為，則11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中所有項的系數(shù)和為__________．13.按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，數(shù)到2026時是第__________次數(shù)到食指.14.已知拋物線的焦點為，圓與拋物線有且只有一個公共點，且圓與軸相切于點，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.16.某科技公司研發(fā)了一款用于醫(yī)療影像輔助診斷的AI算法，為了測試該算法的準確性，工程師準備了一組包含25張正常樣本和75張異常樣本的100張醫(yī)學影像，算法對每張影像進行獨立識別與判斷，根據(jù)初步測試，算法的判斷準確率如下：當影像為正常樣本時，算法判斷為“正?！钡母怕蕿?，當影像為異常樣本時，算法判斷為“異常”的概率為.（1）從這100張影像中隨機抽取2張，求2張均為正常樣本的概率；（2）現(xiàn)從100張影像中隨機抽取3次，每次抽取1張影像進行測試，每次抽取并測試后放回，用隨機變量表示這3次測試中算法正確判斷的次數(shù)，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.17.已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，邊AC上的高為，且.（1）求證：；（2）若，求.18.已知雙曲線的左，右頂點分別為，實軸長為，焦點到漸近線的距離為.（1）求的標準方程；（2）若過點的直線與的左右兩支分別交于兩點（在第一象限內(nèi)），記直線的傾斜角分別為.（i）求的最小值；（ii）求的值.19.已知函數(shù).（1）曲線在處的切線為，當點到直線的距離最大時，求的值；（2）若對任意恒成立.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.山東省泰安市2026屆高三一輪檢測數(shù)學試題2026.02注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】由集合的交集運算和子集計算公式即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以的子集個數(shù)為，故選：B2.與復數(shù)相等的復數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)除法法則計算出，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得到答案.【詳解】CD選項，，故CD錯誤；A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；故選：B3.已知向量不共線，且，則實數(shù)（）A3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理列式求解即得.【詳解】由可知，存在，使得，因不共線，則有，解得.故選：D.4.已知某圓錐的母線長為4，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出圓錐底面半徑，再根據(jù)體積公式計算.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則由題意可得，，則，則該圓錐的體積為.故選：A5.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算函數(shù)在各區(qū)間端點的函數(shù)值，利用零點存在定理，判斷函數(shù)值異號的區(qū)間，從而確定零點所在的大致區(qū)間.【詳解】因為，且函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以零點在區(qū)間內(nèi).故選：C6.在一個不透明的盒中裝有6個大小質(zhì)地完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從盒中一次取出2個小球，設(shè)事件為“取出2個小球的數(shù)字之和大于6”，事件為“取出的2個小球中最小數(shù)字為3”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得事件和事件的概率，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】從裝有6個大小質(zhì)地完全相同的小球的盒中一次取出2個小球，共有種取法，其中事件，有9種取法，概率為，事件，有3種取法，概率為，所以故選：C.7.如圖，已知函數(shù)的部分圖象與圓的兩個公共點，當時，的圖象無限逼近軸，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與圓的公共信息，分別求出圓的半徑、函數(shù)中的參數(shù)的值，再逐一判斷選項.【詳解】由點在圓上，所以，解得.因為當時，，即，因為，取，則，所以.將代入圓的方程，得，解得或，結(jié)合圖象知，即，將代入，得，所以，即，因為，由圖象可知，即，所以取，得.所以，將代入，得，所以.因此，A，B，C選項錯誤，D選項正確.故選：D8.已知方程四個實根從小到大排列后成等差數(shù)列，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程轉(zhuǎn)化為或，所以根據(jù)題意有，化簡可得解.【詳解】設(shè)方程的四個實根，，，，可得方程，即或，如圖，所以，因為，，，成等差數(shù)列，所以，即，可得，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項正確的是（）A.對A，B，C三類個體按3:1:2的比例進行分層抽樣，已知從類個體中抽取了9個，則樣本容量為30B.若隨機變量，則C.恒成立D.一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位數(shù)為4.5【答案】BD【解析】【分析】A選項，根據(jù)類個體中抽取的個數(shù)和比例得到樣本容量；B選項，由正態(tài)分布的對稱性可得B正確；C選項，舉出反例可得C錯誤；D選項，利用百分位數(shù)的計算公式得到D正確.【詳解】A選項，從類個體中抽取了9個，則樣本容量為,A錯誤；B選項，由正態(tài)分布的對稱性可知，B正確；C選項，當時，，C錯誤；D選項，，故從小到大，選取第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位數(shù)為，D正確.故選：BD10.已知在長方體中，，點為的中點，為底面（含邊界）內(nèi)一個動點，且平面，長方體的外接球的球心為，則下列選項正確的是（）A.球的表面積為B.動點的軌跡長度為C.異面直線與所成角的正切值的取值范圍是D.三棱錐的外接球球心為，則【答案】ABD【解析】【分析】利用長方體的性質(zhì)結(jié)合球的表面積公式判斷A，建立空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點的坐標和關(guān)鍵平面的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量表示并結(jié)合題意得到軌跡方程，進而求解軌跡長度判斷B，利用異面直線夾角的向量求法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷C，利用球的方程求出的坐標，進而得到的長度判斷D即可.【詳解】對于A，設(shè)長方體的外接球半徑為，由長方體性質(zhì)得，由球的表面積公式得球的表面積為，故A正確，對于B，如圖，在長方體中，以為原點建立空間直角坐標系，連接，由題意得，，，，，因為點為的中點，所以，則，，設(shè)面的法向量為，可得，令，解得，故，因為為底面（含邊界）內(nèi)一個動點，所以設(shè)，則，因為平面，所以，得到，化簡得，當時，，不符合題意，當，時，符合題意，則的軌跡是點與點之間的線段，由兩點間距離公式得軌跡長度為，故B正確，對于C，因為，所以，此時變?yōu)?，由題意得，，則，，設(shè)異面直線與所成角為，可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，則，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，，可得，即，故C錯誤，對于D，由題意得是的中點，則由中點坐標公式得，且，，，，設(shè)，半徑為，則外接球的方程為，將代入方程，得到，將代入方程，得到，兩式相減可得，解得，將代入方程，可得，此時變?yōu)椋瑑墒较鄿p得，解得，將代入方程，可得，此時變?yōu)椋瑑墒较鄿p可得，解得，則，由兩點間距離公式得，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，，得到方程，求出，A正確；B選項，根據(jù)時，，得到為公差為1的等差數(shù)列，首項為，得到；C選項，分和兩種情況，得到；D選項，分和兩種情況，得到.【詳解】A選項，中，得，即，解得，A正確；B選項，因為時，，由得，即，所以為公差為1的等差數(shù)列，首項為，所以，故，B錯誤；C選項，當時，當時，，時，，當時，當時，，時，，綜上，C正確；D選項，若，時，，顯然此時滿足上式，故，此時，若，時，，顯然此時滿足上式，故，此時，綜上，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中所有項的系數(shù)和為__________．【答案】243【解析】【分析】利用賦值法求解所有項的系數(shù)和即可.【詳解】令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為.故答案為：13.按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，數(shù)到2026時是第__________次數(shù)到食指.【答案】507【解析】【分析】由圖中數(shù)字可知，中指對應的數(shù)的通項公式，代入2027求解次數(shù)，即可求出2026對應的食指次數(shù)．【詳解】由圖中數(shù)字可知，中指對應的數(shù)分別為3，7，11，15，19……∴中指對應的數(shù)構(gòu)成以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，其通項公式為：；因為，所以數(shù)到2027時，對應的指頭是第507次數(shù)到中指.所以數(shù)到2026時，對應的指頭是第507次數(shù)到食指.故答案為：507.14.已知拋物線的焦點為，圓與拋物線有且只有一個公共點，且圓與軸相切于點，則__________.【答案】##【解析】【分析】依題意可知圓心橫坐標，設(shè)出圓的方程并與拋物線聯(lián)立，再由交點個數(shù)并構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性得出極值和最值，求出切點的坐標滿足的條件可得結(jié)果.【詳解】由題意知,準線方程為,因為圓與軸相切于點,所以可設(shè)圓心,半徑為.可得圓的方程式為，展開得,因拋物線與圓有且只有一個公共點，將代入圓的方程得，即,因此該方程只有一解，當時，即有且僅有一個實數(shù)根，令函數(shù)，則，令，可得，因此當，；當，；當，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又易知函數(shù)滿足，即函數(shù)為奇函數(shù)，因此當時，在處取得極小值，其函數(shù)圖象如下圖所示：即可得當時，滿足題意，此時，即，；所以切點的坐標滿足，因此.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）合理作出輔助線，利用中位線定理結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到，再結(jié)合線面平行的判定定理求解即可.（2）建立空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點的坐標和關(guān)鍵平面的法向量，再利用平面夾角的向量求法求解即可.【小問1詳解】取PB中點，連接，分別為的中點，且，且，，且，則四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.【小問2詳解】取中點，連接，，，∵平面平面，面，平面，，為正三角形，，如圖，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，解得，，面，，，面，，面，是平面的法向量，，平面與平面夾角的余弦值為.16.某科技公司研發(fā)了一款用于醫(yī)療影像輔助診斷的AI算法，為了測試該算法的準確性，工程師準備了一組包含25張正常樣本和75張異常樣本的100張醫(yī)學影像，算法對每張影像進行獨立識別與判斷，根據(jù)初步測試，算法的判斷準確率如下：當影像為正常樣本時，算法判斷為“正常”的概率為，當影像為異常樣本時，算法判斷為“異?！钡母怕蕿?（1）從這100張影像中隨機抽取2張，求2張均為正常樣本的概率；（2）現(xiàn)從100張影像中隨機抽取3次，每次抽取1張影像進行測試，每次抽取并測試后放回，用隨機變量表示這3次測試中算法正確判斷的次數(shù)，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用組合知識解決古典概型的概率問題；（2）先利用全概率公式計算“算法正確判斷”的概率，得出，根據(jù)二項分布求出分布列以及期望.【小問1詳解】記“抽到的兩張均為正常樣本”為事件，則，故2張均為正常樣本的概率為；【小問2詳解】記“抽取一張抽到正常樣本”為事件，“算法判斷為正常”為事件，“算法正確判斷”為事件，則“抽到異常樣本”為事件，“算法判斷為異常”為事件，則，，則，法一，，的分布列為X0123.法二：的分布列為，17.已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，邊AC上的高為，且.（1）求證：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合即可求證；（2）由結(jié)合余弦定理可得，進而結(jié)合利用三角恒等變換公式化簡求解即可.【小問1詳解】在Rt中，，在Rt中，，而，則，即，則.【小問2詳解】由，得,所以，又，則，即，由（1）知，，所以，則，則，即，則，解得或（舍去）又，則，所以，即.18.已知雙曲線的左，右頂點分別為，實軸長為，焦點到漸近線的距離為.（1）求的標準方程；（2）若過點的直線與的左右兩支分別交于兩點（在第一象限內(nèi)），記直線的傾斜角分別為.（i）求的最小值；（ii）求的值.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由實軸長得，焦點到漸近線的距離為，求出的標準方程；（2）（i）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線，得到的一元二次方程及判別式、交點位置條件（），根據(jù)弦長公式與面積公式的兩種推導方法，點到直線距離法、分割三角形，換元后利用單調(diào)性求最值；（ii）由的位置分析斜率符號，進而確定、，得到，利用兩角和的正切