大工20秋《運(yùn)籌學(xué)》在線作業(yè)2運(yùn)籌學(xué)作為一門研究如何最優(yōu)地配置資源、做出決策的學(xué)科，其核心在于將復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用科學(xué)的方法求解。在線作業(yè)2作為課程學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，往往聚焦于線性規(guī)劃的深化與拓展，其中對偶理論與運(yùn)輸問題是兩大核心模塊。本文將結(jié)合課程內(nèi)容與作業(yè)要求，對這兩部分知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性梳理，并探討其在實(shí)際解題中的應(yīng)用技巧與思維方法，旨在為同學(xué)們提供一份兼具理論深度與實(shí)用價(jià)值的參考。一、對偶理論：線性規(guī)劃的“另一面鏡子”對偶理論是線性規(guī)劃中一個(gè)極具深刻思想與實(shí)用價(jià)值的分支。它揭示了原問題與對偶問題之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)對稱性，不僅為我們提供了求解線性規(guī)劃問題的新視角，更在經(jīng)濟(jì)分析、資源配置優(yōu)化及靈敏度分析中扮演著關(guān)鍵角色。（一）對偶問題的構(gòu)建與經(jīng)濟(jì)含義理解對偶問題的核心在于把握其與原問題之間的“鏡像”關(guān)系。對于一個(gè)追求最大化目標(biāo)的線性規(guī)劃原問題，其對偶問題則表現(xiàn)為一個(gè)追求最小化目標(biāo)的線性規(guī)劃，二者的變量、約束條件乃至系數(shù)矩陣都存在著特定的對應(yīng)法則。這種對應(yīng)并非簡單的數(shù)學(xué)游戲，而是有著明確的經(jīng)濟(jì)解釋。對偶變量通常被賦予“影子價(jià)格”的含義，它代表了在最優(yōu)生產(chǎn)方案下，某種資源每增加一個(gè)單位所帶來的目標(biāo)函數(shù)值（通常為利潤）的增量。這一概念對于企業(yè)管理者而言，無疑是進(jìn)行資源定價(jià)、評(píng)估稀缺資源價(jià)值的重要依據(jù)。在作業(yè)中，準(zhǔn)確寫出給定線性規(guī)劃問題的對偶問題是基礎(chǔ)要求。這需要我們熟練掌握原問題與對偶問題之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則：原問題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)對應(yīng)對偶問題的約束右端項(xiàng)；原問題的約束右端項(xiàng)對應(yīng)對偶問題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)；原問題的技術(shù)系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置則構(gòu)成了對偶問題的技術(shù)系數(shù)矩陣。同時(shí)，約束條件的類型（等式或不等式）以及變量的非負(fù)性要求，在對偶轉(zhuǎn)換中也需仔細(xì)斟酌，稍有不慎便會(huì)出錯(cuò)。（二）對偶理論的核心定理及其應(yīng)用對偶理論的魅力不僅在于其對稱性，更在于一系列重要的定理，它們?yōu)閱栴}的求解與最優(yōu)性判斷提供了強(qiáng)大的工具。*弱對偶性定理告訴我們，原問題的任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值不大于其對偶問題任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值。這一性質(zhì)為我們提供了一個(gè)初步判斷解的優(yōu)劣或可行性的依據(jù)。*強(qiáng)對偶性定理則進(jìn)一步指出，若原問題和對偶問題均有可行解，則它們必有最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。這為我們通過求解對偶問題來獲得原問題的最優(yōu)解提供了理論保障，尤其當(dāng)原問題變量較多而約束較少時(shí)，求解其對偶問題（變量較少而約束較多）可能更為簡便。*互補(bǔ)松弛定理是連接原問題與對偶問題最優(yōu)解的橋梁。它闡明，在最優(yōu)解處，原問題中某個(gè)約束條件的松弛變量（或剩余變量）若不為零，則其對應(yīng)的對偶變量必為零；反之，若對偶變量不為零，則其對應(yīng)的原問題約束條件必取等式。這一特性在最優(yōu)解的檢驗(yàn)、靈敏度分析以及解釋最優(yōu)決策的經(jīng)濟(jì)意義方面都有著廣泛的應(yīng)用。例如，利用互補(bǔ)松弛定理，我們可以根據(jù)對偶問題的最優(yōu)解（影子價(jià)格）來判斷哪些資源在當(dāng)前最優(yōu)方案下是稀缺的，哪些是過剩的，從而為資源調(diào)整提供方向。在作業(yè)中，對偶問題的求解、利用對偶理論判斷原問題解的最優(yōu)性、以及影子價(jià)格的計(jì)算與經(jīng)濟(jì)解釋，是常見的考察點(diǎn)。同學(xué)們需要將這些定理融會(huì)貫通，能夠靈活運(yùn)用它們解決實(shí)際問題。二、運(yùn)輸問題：一類特殊線性規(guī)劃的高效解法運(yùn)輸問題作為線性規(guī)劃的一個(gè)重要應(yīng)用領(lǐng)域，旨在研究如何將某種物資從若干個(gè)產(chǎn)地（供應(yīng)點(diǎn)）以最低的總費(fèi)用（或最短的總距離）運(yùn)送到若干個(gè)銷地（需求點(diǎn)），并滿足產(chǎn)銷平衡的條件。其特殊性在于約束條件的結(jié)構(gòu)較為規(guī)整，這使得我們可以不必拘泥于單純形法，而是采用更為簡便高效的專門解法——表上作業(yè)法。（一）運(yùn)輸問題的模型特征與數(shù)學(xué)描述運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型具有鮮明的特點(diǎn)。其目標(biāo)函數(shù)是總運(yùn)輸費(fèi)用的最小化（或總利潤的最大化，此時(shí)可轉(zhuǎn)化為最小化問題）。約束條件包括供應(yīng)約束（每個(gè)產(chǎn)地的供應(yīng)量必須等于其產(chǎn)量）和需求約束（每個(gè)銷地的接收量必須等于其需求量）。在經(jīng)典的運(yùn)輸問題中，通常假設(shè)總產(chǎn)量等于總需求量，即產(chǎn)銷平衡。若產(chǎn)銷不平衡，則需要通過虛設(shè)產(chǎn)地或虛設(shè)銷地的方式將其轉(zhuǎn)化為產(chǎn)銷平衡問題。理解運(yùn)輸問題的模型結(jié)構(gòu)是運(yùn)用表上作業(yè)法的前提。模型中的變量是從各產(chǎn)地到各銷地的運(yùn)輸量，約束條件的系數(shù)矩陣具有高度的稀疏性和特殊的結(jié)構(gòu)（每行每列只有特定的1），這為后續(xù)的簡化計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。（二）表上作業(yè)法：從初始方案到最優(yōu)解的迭代表上作業(yè)法是求解運(yùn)輸問題的核心方法，其整個(gè)求解過程都在運(yùn)價(jià)表（或單位成本表）上進(jìn)行，直觀且高效。該方法主要包括以下幾個(gè)步驟：1.確定初始基可行解：即在滿足產(chǎn)銷平衡的條件下，給出一個(gè)初始的運(yùn)輸方案。常用的方法有西北角法、最小元素法和伏格爾（Vogel）法。其中，最小元素法是優(yōu)先考慮單位運(yùn)價(jià)最小的供銷點(diǎn)進(jìn)行分配，而伏格爾法則通過計(jì)算各行各列的最小運(yùn)價(jià)與次小運(yùn)價(jià)之差（罰數(shù)），優(yōu)先在罰數(shù)最大的行或列中選擇最小運(yùn)價(jià)進(jìn)行分配。實(shí)踐表明，伏格爾法通常能得到更接近最優(yōu)解的初始方案，從而減少后續(xù)迭代的次數(shù)。2.最優(yōu)性檢驗(yàn)：判斷當(dāng)前的初始方案是否為最優(yōu)方案。常用的方法是閉回路法和位勢法（對偶變量法）。閉回路法是針對每個(gè)非基變量（即未被分配運(yùn)輸量的格子），尋找一條由基變量格子和該非基變量格子組成的閉回路，計(jì)算其檢驗(yàn)數(shù)（調(diào)整量）。若所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)（對于極小化問題），則當(dāng)前方案為最優(yōu)；否則，需要進(jìn)行調(diào)整。位勢法則是通過引入對偶變量（位勢），利用基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零的條件，求解出位勢值，進(jìn)而計(jì)算所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。位勢法相對閉回路法更為系統(tǒng)和便捷，尤其在變量較多時(shí)優(yōu)勢明顯。3.方案的調(diào)整與改進(jìn)：當(dāng)存在負(fù)的檢驗(yàn)數(shù)（極小化問題）時(shí)，表明當(dāng)前方案不是最優(yōu)，需要進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整的方法是從具有最負(fù)檢驗(yàn)數(shù)的非基變量出發(fā)，沿其閉回路進(jìn)行調(diào)整，確定調(diào)整量（通常為閉回路上偶數(shù)頂點(diǎn)處的最小運(yùn)量），并對閉回路上的各頂點(diǎn)的運(yùn)量進(jìn)行增減，從而得到一個(gè)新的基可行解。然后，再次進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)，如此迭代，直至得到最優(yōu)方案。在作業(yè)中，同學(xué)們需要熟練掌握表上作業(yè)法的每一個(gè)步驟，包括不同初始方案確定方法的運(yùn)用、兩種最優(yōu)性檢驗(yàn)方法的操作以及閉回路調(diào)整的技巧。尤其需要注意的是，在處理產(chǎn)銷不平衡問題時(shí)，如何正確設(shè)置虛設(shè)的產(chǎn)地或銷地，并賦予相應(yīng)的運(yùn)價(jià)（通常為零或一個(gè)較大的數(shù)以避免其被選中）。此外，對于運(yùn)輸問題中的退化現(xiàn)象（即基變量的個(gè)數(shù)小于產(chǎn)地?cái)?shù)與銷地?cái)?shù)之和減一），也需要了解其產(chǎn)生原因及處理方法，以確保最優(yōu)性檢驗(yàn)的正確性。三、實(shí)用價(jià)值與學(xué)習(xí)建議對偶理論與運(yùn)輸問題不僅是運(yùn)籌學(xué)課程的重要知識(shí)點(diǎn)，更是解決實(shí)際管理問題的有力工具。對偶理論中的影子價(jià)格為企業(yè)資源的優(yōu)化配置和價(jià)值評(píng)估提供了量化依據(jù)；運(yùn)輸問題的模型與解法則廣泛應(yīng)用于物流配送、供應(yīng)鏈管理、生產(chǎn)調(diào)度等領(lǐng)域，幫助企業(yè)降低成本、提高效率。對于同學(xué)們而言，學(xué)好這部分內(nèi)容，建議從以下幾個(gè)方面入手：*深刻理解基本概念與定理：對偶理論的核心思想、對偶問題的轉(zhuǎn)換規(guī)則、影子價(jià)格的含義；運(yùn)輸問題的模型結(jié)構(gòu)、表上作業(yè)法的原理等，都需要吃透。*多做練習(xí)，熟能生巧：無論是對偶問題的構(gòu)建與求解，還是表上作業(yè)法的步驟演練，都需要通過大量的習(xí)題來鞏固。在練習(xí)中體會(huì)不同方法的特點(diǎn)和適用場景。*注重方法的內(nèi)在邏輯：不僅僅是記住步驟，更要理解每一步背后的道理。例如，為什么用伏格爾法能得到更好的初始解？位勢法計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)的原理是什么？閉回路調(diào)整的依據(jù)是什么？*聯(lián)系實(shí)際，活學(xué)活用：思考這些理論和方法如何應(yīng)用于解決身邊的實(shí)際問題，培養(yǎng)運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)思想分析和解決問題的能力?？偨Y(jié)大工20秋《運(yùn)籌學(xué)》在線作業(yè)2所涉及的對偶理論與運(yùn)輸問題，是線性規(guī)劃理論體系中的重要組成部分。對偶理論以其深刻