2025-2026學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁.19小題．滿分150分，考試時長120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，，則（

）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得答案.【詳解】由已知條件可得.故選：B.3.函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（

）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，直接求出在指定區(qū)間上的零點即可.【詳解】函數(shù)，由，得，而，解得或，所以所求零點個數(shù)為2.故選：A4.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，A不符合要求；對于B選項，設(shè)，該函數(shù)的定義域為，因為，即函數(shù)為奇函數(shù)，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，B不符合要求；對于C選項，函數(shù)的定義域為，且該函數(shù)為奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，C符合要求；對于D選項，函數(shù)的定義域為，且該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，D不符合要求.故選：C.5.已知、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，若，，則的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出，再利用橢圓的定義可得出關(guān)于、的關(guān)系式，即可求出該橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：由題意可得，又因為，由余弦定理可得，由橢圓定義可得，即，故該橢圓的離心率為.故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，動點滿足，則點到軸距離的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可求得點到軸距離的最大值.【詳解】由題意可知，由余弦定理可得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，設(shè)點到軸的距離為，則，所以，故點到軸距離的最大值為.故選：D.7.在中，，，，點在邊上（不含端點），延長到，若．且，則線段的長度是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求出的值，分析可知為的中點，即可求出的長.【詳解】在中，，，，則，因為，則，整理可得，解得或，當(dāng)時，則，此時點為的中點，由題意可知點為線段與的交點，即點與點重合，不符合題意，當(dāng)時，，由題意可知，四邊形為矩形，因為為線段與的交點，則為的中點，故，故選：B.8.已知，則、、的大小關(guān)系不可能為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，設(shè)，，，則、、分別為直線與函數(shù)、、圖象交點的橫坐標(biāo)，對的取值進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，設(shè)，，，則為直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，為直線與函數(shù)交點的橫坐標(biāo)，為直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，如下圖所示：由圖可得，D符合題意；當(dāng)時，可得，B符合題意；當(dāng)時，如下圖所示：由圖可得，C符合題意.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線的焦點為，過的直線與交于、兩點，點到的距離為，則下列說法正確的有（

）A. B.準(zhǔn)線方程為C.軸 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用拋物線的焦半徑公式可判斷A選項；求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可判斷B選項；求出點的坐標(biāo)，可判斷C選項；設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點的橫坐標(biāo)，利用拋物線的焦點弦長公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由拋物線的焦半徑公式可得，解得，A對；對于B選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B對；對于C選項，拋物線的焦點為，故直線不與軸垂直，C錯；對于D選項，易知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，所以，可得，由拋物線的焦點弦長公式可得，D對.故選：ABD.10.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，母線長為，則（

）A.圓臺的側(cè)面積為 B.圓臺的母線與底面所成角的正切值為C.圓臺的體積為 D.圓臺的外接球表面積為【答案】AD【解析】【分析】利用圓臺的側(cè)面積公式可判斷A選項；求出圓臺的高，結(jié)合線面角的定義可判斷B選項；利用臺體體積公式可判斷C選項；求出圓臺外接球半徑，結(jié)合球體表面積公式可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，圓臺的側(cè)面積為，A對；對于B選項，在圓臺中，設(shè)為該圓臺的一條母線，過點在平面內(nèi)作，易知四邊形為直角梯形，且，，，因為，，故四邊形為矩形，則，所以，，，因為，所以母線與底面所成的角為，且，B錯；對于C選項，由臺體體積公式可知，該圓臺體積為，C錯；對于D選項，取圓臺的軸截面，則球心在平面內(nèi)，則該圓臺的外接球半徑即為等腰梯形的外接圓半徑，，，由正弦定理可得，故，因此該圓臺的外接球表面積為，D對.故選：AD.11.在中，內(nèi)角、、的對邊分別是、、，若，，且，點、分別是邊、上的動點（不含端點），則下列說法正確的有（

）A.B.C.D.若，則取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡可得出的值，結(jié)合的取值范圍可得出角的值，可判斷A選項；利用三角恒等變換求出、的值，可判斷BC選項；設(shè)，可得，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，因為，故，所以，因為，，所以，則，即，A對；對于B選項，因為，所以，整理可得，即，解得或，因為，則，又因為，故，解得，故，故，由可得，可得，又因為，可得，故，所以，所以，故，因為，所以，所以，所以，則，故，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，若，則，取的中點，則，設(shè)，則，所以，故，由B選項可知，故，易知，即，可得，又因為，即，故，所以，D錯.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項和為，且公比為2，則___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可求.【詳解】因為等比數(shù)列的公比為，故，故答案為：.13.已知直線是曲線的一條切線，則___________．【答案】4【解析】【分析】設(shè)切點為，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點坐標(biāo)，代回曲線方程即可得到答案.【詳解】設(shè)切點為，則，，因為，所以，由已知，解得，則，則切點坐標(biāo)為，代入曲線方程得，解得.故答案為：4.14.記為的任意排列，，則所有取值中最小值為___________；的取值為偶數(shù)的概率為___________．【答案】①.3②.【解析】【分析】根據(jù)題意，可取，再分析和時的概率，再求和即可．【詳解】根據(jù)題意，從中任選個不同的數(shù)的最大值至少為，當(dāng)分開時，取得最大值，所以可取，則所有取值中最小值為，不妨把看成不同的組合，則共有種組合，當(dāng)時，其中一組最大值為，比小的數(shù)有，其他兩組可任意組合，，當(dāng)時，其中一組最大值為，比小的數(shù)有，且其他兩組的最大要超過，則必須分為組，對立面為一組，另外個數(shù)一組，，，即的取值為偶數(shù)的概率為．故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法可求得的表達(dá)式.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得，又，則，解得，，則數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為，所以，①②①②得，整理可得，所以數(shù)列的前項和.16.如圖．在四棱錐中．底面為矩形，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）為的中點，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點，、所在直線的方向分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】因為底面為矩形，所以.又因為，，，由可得．因為，，滿足，所以.又因為，、平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，、所在直線的方向分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，取，可得，，取，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)存在兩個極值點、，記、．（1）若，求的值；（2）若曲線上存在點，使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有極值點可求出的取值范圍，求出、，進(jìn)而可得出點、的坐標(biāo)，再根據(jù)結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式可得出關(guān)于的等式，即可解得實數(shù)的值；（2）分析可知點在線段的中垂線上，于是可知方程存在正數(shù)解，則函數(shù)存在正零點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，則，因為函數(shù)有兩個不等極值點、，則，可得，令，解得，，因為，，此時、，所以，整理可得，解得.【小問2詳解】因為、，則，所以點在線段的中垂線上.又在曲線上，則方程存在正數(shù)解，即在存在零點.可知，由可得，由可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，由零點存在定理可知，只需即可，可得，又因為，解得，所以的取值范圍為.18.已知雙曲線過點，且上焦點為，直線交于兩點．（1）求的方程．（2）弦的中點坐標(biāo)能否為？若能，求此時直線的方程；若不能，請說明理由．（3）若直線的方程為，過，作直線的垂線，垂足分別為．點為線段的中點．判斷四邊形的形狀，并給出證明．【答案】（1）（2）不能，理由見解析（3）梯形，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和雙曲線所過的點可求基本量，故可求雙曲線的方程；（2）假設(shè)存在，則由點差法可求直線方程，聯(lián)立直線方程結(jié)合判別式的符號得到矛盾，故滿足條件的直線不存在；（3）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后，結(jié)合韋達(dá)定理可化簡得定值，從而可判斷四邊形的形狀.【小問1詳解】由題意得，，將代入中，可得，解得，所以的方程為.【小問2詳解】不能，理由如下：若弦的中點坐標(biāo)為，設(shè)，則,因，由②①，得，化簡整理，得，所以直線的方程為，即由可得，故，故這樣的直線不存在.【小問3詳解】四邊形為梯形.證明：設(shè).由得，故即，故.由韋達(dá)定理得,③由且，可得將③代入式分子得，所以，即，又因為與不平行，所以四邊形為梯形.19.為測試甲、乙兩種新藥的療效，現(xiàn)進(jìn)行動物試驗，試驗方案如下：共進(jìn)行場試驗，，每場包含若干輪對比試驗，每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥在該場勝出．當(dāng)一種藥物勝出的場數(shù)超過半數(shù)，則認(rèn)為該藥有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得分．乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得分．假設(shè)甲、乙兩種藥的治愈率分別為和．（1）一輪試驗中甲藥得分記為，求的分布列．（2）記甲、乙兩種新藥在每場試驗開始時都賦予分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為該場甲藥勝出”的概率，則，，，其中，，．（i）求；（ii）記為每場甲藥勝出的概率，現(xiàn)擬增加兩場試驗，試分析能否提高甲藥有效的概率？【答案】（1）分布列見解析（2）（i）；（ii）能，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列；（2）（i）由題意得出，可得出，則為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用累加法可求出與的關(guān)系式，可求出，再利用累加法可求