湖北省黃岡市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B．3i C． D．32．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．有一散點(diǎn)圖如圖，在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是（

）A．解釋變量與響應(yīng)變量的線性相關(guān)性變?nèi)?B．?dāng)?shù)據(jù)的方差變大C．決定系數(shù)變小 D．殘差平方和變小4．若，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過且垂直于軸的直線與該雙曲線右支交于兩點(diǎn)，直線分別交軸于兩點(diǎn)，若的周長為24，則的最大值為（

）A．12 B．16 C． D．7．直線與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，（

）A． B． C． D．8．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式僅有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．直三棱柱中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．平面 D．10．已知函數(shù)在處有極大值，則（

）A．B．C．若時(shí)，的值域?yàn)?，則的取值范圍為D．曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)11．已知函數(shù)且，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖像關(guān)于對稱 D．函數(shù)的值域?yàn)槿⑻羁疹}12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．13．2025的正因數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).（用數(shù)字作答）14．在銳角中，角的對邊分別為的面積為，滿足，若，則的最小值為．四、解答題15．已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.16．如圖，在三棱臺中，平面，為中點(diǎn)，.

(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．有媒體稱DeepSeek開啟了我國AI新紀(jì)元.某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺合作組織學(xué)生參加與AI知識有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，男生、女生各取100人.設(shè)事件“學(xué)生愿意報(bào)名參加答題活動(dòng)”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)？性別男生女生合計(jì)不愿報(bào)名參加答題活動(dòng)愿意報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)200(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對的概率均為.（i）若答題活動(dòng)設(shè)置且道題，甲僅答對其中10道題的概率最大，求的值.（ii）若答題活動(dòng)設(shè)置4道題，且答題規(guī)則如下：每次答一題，一旦答對，則結(jié)束答題；答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到4道題答完.已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，用表示在本次答題的題目數(shù)量，求的分布列和期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，焦距為的面積為6，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，圓的面積為.(1)求橢圓的離心率；(2)過原點(diǎn)作圓的兩條切線OM，ON分別交橢圓于M，N.（i）若直線OM，ON的斜率都存在，分別記為，求的值；（ii）求的最大值.19．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最值；(2)討論函數(shù)在上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)設(shè)函數(shù)，若在定義域內(nèi)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．A【詳解】易知，所以復(fù)數(shù)，可得，所以.故選：A2．C【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以.即“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí),由于成立,所以,即“”是“”的必要條件.綜上可知,“”是“”的充要條件故選:C3．D【詳解】從散點(diǎn)圖可分析出，若去掉點(diǎn)，則剩下的點(diǎn)更能集中在一條直線附近，所以解釋變量與響應(yīng)變量的線性相關(guān)性變強(qiáng)，數(shù)據(jù)的離散程度減小，所以方差變小，決定系數(shù)越接近1，會(huì)變大，因?yàn)閿M合效果越好，所以殘差平方和變小.故選：D4．B【詳解】因?yàn)?，所以，代入得，化簡得，解得，即或，因?yàn)?，所以，所?故選：B.5．B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以.故選：B6．D【詳解】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，因?yàn)?，所以，又在雙曲線上，則，解得，故，所以，由題意可得分別為的中點(diǎn)，

如圖：因?yàn)榈闹荛L為24，所以的周長為48，則，由雙曲線的定義可得，即，可得，整理得：，所以，可得，，則可設(shè)，其中，所以，由于，所以，故當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.故選：D.7．A【詳解】直線與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則，由圓，即，則圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相離，而點(diǎn)在圓上，要使面積最大，則與直線垂直，而，則，如圖，此時(shí)三點(diǎn)共線，即，則，所以.故選：A

8．C【詳解】當(dāng)時(shí)不等式等價(jià)于：設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)正整數(shù)解2和3，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.9．AC【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

對于A，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，且；又，，所以，；所以四邊形是平行四邊形，因此，又因?yàn)椋?，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，因此平面；又平面，因此，即A正確；對于B，假設(shè)平面成立，則，由選項(xiàng)A中分析可知，，因此可得，顯然不成立，因此假設(shè)不成立，所以與平面不垂直，即B錯(cuò)誤；對于C，由選項(xiàng)A分析可知，平面，平面，所以平面，即C正確；對于D，取的中點(diǎn)為，連接，顯然此時(shí)，若成立，可知，這與矛盾，因此不成立，即D錯(cuò)誤.故選：AC10．BC【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，即，解得或3，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為極小值點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為極大值點(diǎn)，所以，對于A，由以上可得，故A錯(cuò)誤；對于B，由于，令，則，令，所以的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，代入到可得，所以關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，即，故B正確；對于C，因?yàn)?，極大值，極小值，，結(jié)合單調(diào)性可得當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)?，則的取值范圍為，故C正確；對于D，由，所以切線方程為，即，聯(lián)立可得，解得，即方程有三重根，所以曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有1個(gè)不同的公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ABD【詳解】A：，當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可以判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此本選項(xiàng)說法正確；B：，所以函數(shù)的最小正周期為，因此本選項(xiàng)說法正確；C：因?yàn)?，所以函?shù)的圖像不關(guān)于對稱，因此本選項(xiàng)說法不正確；D：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以，故，所以，所以此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以，故，所以所以此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?又因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，因此函數(shù)的值域，也就是函數(shù)在區(qū)間上的值域，所以函數(shù)的值域?yàn)椋虼吮具x項(xiàng)說法正確.故選：ABD12．330【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，解得，所以.所以，則.故答案為：330.13．15【詳解】因?yàn)?，則根據(jù)正因數(shù)個(gè)數(shù)定理，2025的正因數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：15.14．【詳解】整理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去），因?yàn)椋?，在銳角中，有，則，所以，因?yàn)橐驗(yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為.故答案為：.15．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，得，故所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式亦成立.所以.（2）由（1），得，，由于，故，即得，故，即得故成立.16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）平面平面，又平面平面，平面，平面，又，平面平面，平面平面，.（2）由（1）知直線兩兩垂直，分別以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

依題意得，設(shè)平面的法向量，則，取設(shè)與平面所成角為，與平面所成角的正弦值為.17．(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)(2)（i）；（ii）的分布列見解析,【詳解】（1）因?yàn)?，所以愿意?bào)名參加答題活動(dòng)人數(shù)為，又因?yàn)?，所以愿意?bào)名參加答題活動(dòng)的男生人數(shù)為，愿意報(bào)名參加答題活動(dòng)的女生人數(shù)為，則可得到列聯(lián)表為：性別男生女生合計(jì)不愿報(bào)名參加答題活動(dòng)206080愿意報(bào)名參加答題活動(dòng)8040120合計(jì)100100200零假設(shè)為：學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別無關(guān)，則，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001；（2）（i）設(shè)隨機(jī)變量Y為甲答對題目的個(gè)數(shù)，則.則，假設(shè)最有可能答對題目的數(shù)量是10次，則即：解得，又，則；（ii）的所有可能取值為：1，2，3，4，，所以的分布列為：X1234P故.18．(1)(2)（i）；（ii）18【詳解】（1）依題意得，（2）（i）依題意得圓，橢圓，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)直線，與圓相切，平方整理得為方程的兩根（ii）解法一：設(shè)由（i）知，所以，整理得，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.的最大值為18.解法二：設(shè)，直線，代入得：同理直線，代入得，由（i）由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或等號成立.的最大值為18.19．(1)最小值為，無最大值.(2)見解析.(3)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；因此在處取得極小值（也是最小值），此時(shí).無最大值.所以函數(shù)的最小值為，無最大值.（2）由題意知，即討論在上變號零點(diǎn)個(gè)數(shù)對求導(dǎo)可得，.極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于在上的解的個(gè)數(shù)，即在上的解的個(gè)數(shù).令（），則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，此時(shí).且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，在上無解，此時(shí)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)解，此時(shí)在上有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)解，但在和上均大于零，故此時(shí)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上無解，此時(shí)在上無極值點(diǎn)；綜上，當(dāng)或時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).（3），其定義域?yàn)椋瑒t，（）.令，解得或.設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，