2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末高三年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至8頁.第Ⅰ卷（選擇題共45分）注意事項：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上的無效.3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互獨立，那么圓柱的側(cè)面積公式圓錐的側(cè)面積公式其中r表示底面圓的半徑，l表示母線的長一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集的定義與運算求出，結(jié)合交集的概念與運算即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以.故選：A2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先解二次不等式，再由充要條件定義即可得解.【詳解】由等價于，所以“”是“”的充要條件.故選：C3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】舉反例結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷A；由題設(shè)結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可逐項判斷BCD.【詳解】因為，所以函數(shù)、均為上的減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，所以，故B正確、CD錯誤.若，則，此時，故A錯誤；故選：B4.下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由各選項的殘差數(shù)值范圍進行比較分析即可得解.【詳解】選項A殘差數(shù)值范圍約為，選項C殘差數(shù)值范圍約為，兩殘差分布的帶狀區(qū)域?qū)?，擬合精度低，選項B殘差數(shù)值范圍約為，選項D殘差數(shù)值范圍約為，兩殘差分布的帶狀區(qū)域?qū)挾染冗x項AC窄，但選項B殘差分布的帶狀區(qū)域?qū)挾却笥谶x項D，所以選項D的擬合精度最高.故選：D5.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定，被譽為藏在川西的“天空之心”.下圖1是這個“心形湖”的輪廓，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在x軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；根據(jù)函數(shù)定義域可知C錯誤；根據(jù)、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知D正確.【詳解】對于A，（當且僅當，即時取等號），在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，由得：，不存在部分的圖象，C錯誤.對于D，，當時，；又過點；由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，D正確；故選：D.6.埃及著名的吉薩（Giza）大金字塔，它的形狀是正四棱錐.已知它的高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積，則高的平方與底面棱長的平方的比值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)，以及題目所給條件，列出方程，求出結(jié)果即可.【詳解】如圖所示，設(shè)四棱錐，底面中心為，棱中點為，連接，設(shè)高為，底面棱長為，則，則，由高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積，可得，化簡得，即，可知關(guān)于一元二次方程的，因為，解得.故選：B.7.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選C．8.集合論中著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，其操作過程如下：第一次操作：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，去掉的長度記作；第二次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，去掉的長度和記作；如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段…，第n次操作去掉的長度和記為.已知是等比數(shù)列，若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用題中的條件，分別計算出每一次操作去掉的區(qū)間的長度，結(jié)合對數(shù)不等式即可解出.【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長度為，第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為，第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為，，第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意可知，，即，解得，又為整數(shù)，所以需要操作的次數(shù)n的最小值為4.故選：B9.已知雙曲線（，）左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與C的右支交于點P，點M滿足，且，則C的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，判斷三角形形狀以及點M所在的位置，進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)以及離心率的定義，列出齊次方程，求出離心率的值.【詳解】當點M滿足，且，可知，且點M為線段的中點，則，因為，所以，可知，因為直線斜率為，所以，解得，在中，，化簡得，變形得，解得或（舍）故選：A.第Ⅱ卷注意事項：1.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.3.本卷共11小題，共105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第________象限.【答案】四【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，求出復(fù)數(shù)的實部和虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，判斷結(jié)果.【詳解】由題意得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標為，該點在第四象限.故答案為：四.11.二項式的展開式中，含的項的系數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式的展開式，求指定項的系數(shù)即可.【詳解】二項式的展開式第項為，當時，，即含的項的系數(shù)為.故答案為：.12.圓截直線所得的弦長為_________．【答案】【解析】【分析】把圓的方程化成圓的標準方程，求出圓心坐標和半徑，再求出圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理可以求出弦長的一半，最后求出弦長．【詳解】圓心的坐標為（2，-2），半徑，圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，可以求出弦長．13.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個放入獎品，即主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，主持人先隨機打開不同于被選擇的另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇.用表示i號箱有獎品（），用表示主持人打開i號箱子（），現(xiàn)在已知抽獎人選擇了1號箱，則________；________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由題意結(jié)合條件概率定義即可分析求解，依次求出，再由全概率公式即可求解.【詳解】抽獎人選擇了1號箱，則由題意在2號箱有獎品條件下主持人選擇打開3號箱或4號箱，故可得；同理可求得，所以由全概率公式可得.故答案為：；.14.已知O是內(nèi)的一點，，，，，則________；若，則________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算方法，直接求出結(jié)果即可；再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，列出方程組，求出參數(shù)值，求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可知；因為，所以，得，解得，則.故答案為：，15.已知函數(shù)當時，方程的解是________；若關(guān)于x的方程恰有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合絕對值函數(shù)以及一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行討論分析求解即可．【詳解】當時，，當時，由得，若，方程等價于，解得，若時，方程等價于，解得，當時，由得，得，解得或，此時無解，綜上方程的解集為；當時，的最小值為，在上的最大值為，當時，函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，拋物線的對稱軸為，頂點為，當時，最多有兩個零點，當時，最多有兩個零點，則要使恰有三個實根，則當時，有兩個零點，時有一個零點，或當時，有一個零點，時有兩個零點，①若當時，有兩個零點，則，得，即，此時當時只能有一個零點，若對稱軸滿足，此時當時，必有一個零點，則只需要當時，，即，得，此時，若對稱軸滿足，此時在上為減函數(shù)，要使此時只有一個零點，則，即，得，此時，②若當時，有一個零點，此時，即時，此時當時，函數(shù)的對稱軸為，，要使時有兩個零點，則，即，得（舍去）或，此時，綜上實數(shù)的取值范圍是或，故答案為：①，②．三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知的面積為，，.（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積的正弦公式，和同角三角函數(shù)關(guān)系，求出角的正弦值，求出的值，列出方程組求出邊長，再根據(jù)余弦定理解三角形即可.（2）根據(jù)正弦定理，求出結(jié)果即可.（3）根據(jù)兩角和的余弦公式，和二倍角公式，求出，再求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，，所以，因為的面積為，所以，即，解得，所以，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，解得.【小問2詳解】由正弦定理得，即，解得.【小問3詳解】根據(jù)二倍角公式可知，則,所以.17.如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點.（1）求證：平面BDE；（2）求平面BDE與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在點F，使得平面DEF？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）在棱上存在點，使得平面，此時【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)直線所在的向量與平面的法向量相互垂直，并且直線不在平面內(nèi)可得直線與平面平行.（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量的有關(guān)運算計算出兩個向量的夾角，進而得到平面BDE與平面DEC的夾角的余弦值.（3）假設(shè)存在點F，則直線PB所在的向量與平面DEF的法向量平行，根據(jù)這個條件可得到一個方程，再根據(jù)有關(guān)知識判斷方程的解的情況.【小問1詳解】以為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則，所以，設(shè)平面BDE的一個法向量為，則，令，則，所以平面BDE的一個法向量為，所以，所以。又平面，所以平面BDE；【小問2詳解】因為側(cè)棱底面ABCD，底面ABCD，所以，又因為底面ABCD是正方形，所以，又，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.由（1）知是平面的一個法向量.設(shè)平面BDE與平面DEC的夾角為，所以，所以平面BDE與平面DEC的夾角的余弦值為.【小問3詳解】因為，所以，所以，假設(shè)棱上存在點，使平面，設(shè)，則，，由，所以，解得，即在棱上存在點，使得平面，此時.18.在平面直角坐標系中，已知拋物線上一點到焦點的距離為5.過點的直線與拋物線交于不同的兩點、.（1）求拋物線的標準方程；（2）若的面積為20，求直線的方程；（3）若直線交軸于點，直線交軸于點，且，，求證：為定值.【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，點到焦點的距離等于到準線的距離，求出，從而得出拋物線的標準方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，由韋達定理，得，，的面積，結(jié)合，解得，從而求出直線的方程；（3）由在拋物線上，求出，得到直線的方程為：，即得，由得，同理得，結(jié)合韋達定理得，，可解得，為定值.【小問1詳解】拋物線的準線方程為，根據(jù)拋物線的定義，點到焦點的距離等于到準線的距離，即：，解得，故拋物線的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得焦點，又，則，易得直線的斜率是存在的，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得：，設(shè)，由，得，由韋達定理，，，故的面積，代入得：,得，又，故：，解得滿足，因此直線的方程為或；【小問3詳解】由在拋物線上，代入得，又，故，即，易得直線的斜率是存在的，設(shè)直線的方程為，，，由（2）知，，直線斜率為：，故直線的方程為：，令，得，即，又故，，由，得故，即，同理，直線交軸于，得，故代入，，得故，為定值.19.已知各項全不為零的數(shù)列的前k項和為，且，其中，（1）求，的值；（2）求數(shù)列通項公式；（3）對任意給定的正整數(shù)n（），數(shù)列滿足（），已知，求.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】(1)將，代入計算即可；(2)由得出奇數(shù)項，偶數(shù)項分別是等差數(shù)列，結(jié)合得出；(3)由已知條件將表示出來，轉(zhuǎn)化成計算即可.【小問1詳解】因為，所以時，，且，所以，又因為時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，所以的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，的偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，所以.【小問3詳解】因為，所以，所以所以.故.20.已知函數(shù)（）.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍；（3）求證：.【答案】（1）；（2）滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切點處的導(dǎo)數(shù)即切線斜率即可由點斜式得解；（2）將問