2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末檢測數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+3y2=0的傾斜角為()【答案】C【解析】【分析】本題考查了直線的傾斜角與斜率的問題，是基礎(chǔ)題．由直線方程求出直線的斜率，即得傾斜角的正切值，從而求出傾斜角．故直線斜率k=tan故選：C．A.0B.2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量共面定理，是基礎(chǔ)題．【解答】又動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動，故選D．3.在等比數(shù)列{an}中，a2+a3=1，a3+a4=2，則a4+a5=()【答案】A4.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x一3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()【答案】A【解析】【分析】本題主要考查與雙曲線有關(guān)的軌跡問題，考查圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y)，半徑為r，由題意可得|MC2|一|MC1|=2<|C1C2|，可得點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的左支．根據(jù)2a=2，c=3，求得b=c2一a2的值，可得點M的軌跡方程．【解答】解：設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y)，半徑為r，故點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的左支，故點M的軌跡方程為x2一故選：A．5.若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)+xg(x)=x2一1，且f(1)=1，則f′(1)+g′(1)=()【答案】C【解析】【分析】本題考查了已知函數(shù)求值的方法，基本初等函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)f(1)=1即可求出g(1)=一1，然后對函數(shù)f(x)+xg(x)=x2一1求導(dǎo)即可得出f′(x)+g(x)+xg′(x)=2x，然后即可求出f′(1)+g′(1)的值．【解答】解：”f(1)=1，令x=1代入f(x)+xg(x)=x2一1中，即f(1)+g(1)=0，解得g(1)=一1，”f(x)+xg(x)=x2一1，:f′(x)+g(x)+xg′(x)=2x，令x=1，:f′(1)+g(1)+g′(1)=2，故選C．6.已知向量=(2,0,1)為平面α的法向量，點A(—1,2,1)在α內(nèi)，則點P(1,2,2)到平面α的距離為()A.5B.25CD.【答案】A【解析】【分析】此題考查利用向量求點到面的距離．直接利用點到面的距離的向量求法求解即可．【解答】因為平面α的法向量=(2,0,1)，所以點P到平面α的距離d故選：A7.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2—=1的兩個焦點，0為坐標(biāo)原點，點P在C上且|0P|=2，則△PF1F2的面積為()【答案】B【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的定義、圓的性質(zhì)，屬一般題．根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到其焦點坐標(biāo)，結(jié)合0P=2，可確定點P在以F1F2為直徑的圓上，得到PF12+PF22=16，結(jié)合雙曲線的定義可得PF1.PF2的值，從而得到答案．【解答】解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a=1,b=3，c=2，所以焦點坐標(biāo)為F1(—2,0,F22,0)，因為0P=2，所以點P在以F1F2為直徑的圓上，:PF12+PF22=16，2“PF1—PF2=2a=2，所以PF1—PF2=PF12+PF22—2PF1.PF2=4，所以PF1.PF2=6，所以直角三角形PF1F2面積為|PF1|.|PF2|=3，2故選B．*則實數(shù)λ的取值范圍是()A.(,+∞)B.(,+∞)C.(,+∞)D.(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的判定與證明，數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的函數(shù)特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于較難題．根據(jù)已知及等差數(shù)列的判定與證明，可知}是公差為的等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的函數(shù)特征的計算，得結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，計算求出實數(shù)λ的取值范圍．:=，即:{}是公差為的等差數(shù)列，對于n]上單調(diào)遞減，[2,+∞)上單調(diào)遞增，:n+的最小值只能在n=1或n=2處取得，:n，即實數(shù)λ的取值范圍是(,+∞).故選B．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法錯誤的是()A.“a=1”是“直線a2xy+1=0與直線xay2=0互相垂直”的充要條件B.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,]∪[,π)C.過(x1,y1)，(x2,y2)兩點的所有直線的方程為—=—D.經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y—2=0【答案】ACD【解析】【分析】本題考查了直線的方程，直線垂直的充要條件，直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．直接利用直線的垂直的充要條件和直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，直線的兩點式的使用條件和直線截距相等的直線方程的應(yīng)用判定A、B、C、D的結(jié)論．【解答】故“a=1”是“直線a2xy+1=0與直線xay2=0互相垂直”的充分不必要條件，故A錯誤．所以傾斜角θ的取值范圍是[0,]∪[,π)，故B正確；對于C：過(x1,y1)，(x2,y2)(且x1≠x2，y1≠y2)兩點的所有直線的方程為故C錯誤．對于D：經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為：①：經(jīng)過原點的直線為x—y=0，②設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為a，設(shè)直線方程為+=1，10.如圖，拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點，過A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q.則下列說法正確的有()B.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1y2為定值p2C.|PQ|2=4|AF||BF|D.以線段AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【解析】【分析】本題考查拋物線的定義、幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．A選項利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立，即可得到答案；B選項利用直線方程與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理得出答案；C選項利用直線與拋物線聯(lián)立，分別利用韋達(dá)定理求出等式左邊和右邊，證出相等；D選項通過焦半徑長，直線與圓位置關(guān)系得出相切．【解答】解：A.由題意，F(xiàn)(,0)，AB丄x軸，AB直線為x=，代入拋物線y2=2px(p>0為常數(shù))，得到y(tǒng)1=p,y2=—p，|AB|=2p，所以A正確;B.設(shè)直線l的方程為x=my設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以|PQ|2=4|AF||BF|，所以C正確;D.設(shè)AF的中點為M，則M是以線段AF為直徑的圓的圓心．由|AF|=x1+，所以圓的半徑為r=+，則M的坐標(biāo)為+,，M到Y(jié)軸的距離為dr，即M到Y(jié)軸的距離等于以線段AF為直徑的圓的半徑，故以線段AF為直徑的圓與Y軸相切，所以D正確．11.對于函數(shù)f下列說法正確的是()A.f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減B.若方程f(|x|)=k有4個不等的實根，則k>eC.當(dāng)0<x1<x2<1時，x1lnx2D.設(shè)g(x)=x2+a，若對vx1∈R，彐x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，則a≥e【答案】BD【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．逐一判斷即可．【解答】解：函數(shù)fx∈(0,1)U(1,+∞)．可得函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+∞)上單調(diào)遞增．f(x)大致圖象如圖，A.由上述分析可得A不正確．B.若方程f(|x|)=k有4個不等的實根，則x>0，且x≠1時，f(x)=k有2個不等的實根，則k>e，因此正確．可得函數(shù)y=在x∈(0,1)單調(diào)遞增，因此當(dāng)0<x1<x2<1時，<，即x1lnx2>x2lnx1，因此不正確；g(x)=x2+a，對?x∈R，G=[a,+∞)．故選BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分?！敬鸢浮縳一2y+5=0【解析】解：由已知得直線的方程為一=，即x一2y+5=0．故答案為：x一2y+5=0．2f(x)sinx<f()的解集為．【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的求解，屬于中檔題．結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)sinx，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【解答】解：由題意，函數(shù)f(x)滿足f′(x)sinx+f(x)cosx<0，令F(x)=f(x)sinx，由于sinx>0，關(guān)于x的不等式2f(x)sinx<f()可化為F(x)<F()，故答案為,π14.已知F是雙曲線C:—=1(a>0,b>0)的左焦點，P是雙曲線C右支上的一點，直線PF與圓x2+y2=則雙曲線C的離心率是．【答案】因為直線PF與圓x2+y2=a2切于點Q，所以|0Q|=a，0Q丄FP，設(shè)雙曲線C的右焦點為F′，′,,2|0P|.|0F|,,所以+|0P|2+|0F|2—|,PF|22|0P|.|0F|所以|0F|2+|0F|2+2|0P|2—|FP|2—|PF|2=0，又|0F|=|0F|=c，|0P|=a2+16b2，|FP|=5b，|PF|=5b—所以則雙曲線C的離心率e由0Q丄FP，|F0|=F′0，可知0Q為△FMF′的中位線，4故答案為：41．4三、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知正項數(shù)列{an}滿足nlnan+1=(n+1)lnan且a1=3，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；設(shè)bn數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.【答案】【答案】(1)an=3n【分析】（1）根據(jù)常數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式、題中定義進(jìn)行求解即可.所以ln3，所以lnan=nln3=ln3n，所以an=3n；………5分n一………13分16.已知圓C的圓心在直線y=2x上，并且經(jīng)過點P(5,5)，與直線y=7相切,直線(1)求圓C的方程；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長及此時何m的值．【詳解】（1）由題意可設(shè)圓C的圓心為{a,2a}，圓C與直線y=7相切，且過點P(5,5)，|2a7|=(a5)2+(2a5)2，整理得a22a+1=0解得a=1，:圓心c(1,2)，:半徑r=|Pc|=5，:圓C的方程為：(x—1)2+(y—2)2=25.………5分所以當(dāng)所以當(dāng)x=2,y=3時，無論m取何值，方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0都成立.所以直線所以直線l恒過定點A(2,3).………10分如圖，當(dāng)圓心C到直線l的距離最長，即CA丄l時，直線l被圓C截得的弦長最短.因為kCA所以當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的斜率為-1，故當(dāng)CA丄l時，直線l被圓C截得的弦長最短，最短弦長為2最短弦長為223，此時m=0.………15分17.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記第12頁，共16頁(1)求MN的長；并求當(dāng)a為何值時，MN長度取得最小值；(2)當(dāng)MN的長取得最小值，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．過點M作MG丄AB于點G，連接NG，因為平面ABCD丄平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，MG平面ABCD，所以MG所以MG丄平面ABEF，因為因為NG平面ABEF，因為正方形邊長為因為正方形邊長為2，CM=BN=a，222-2當(dāng)a=·時，MN長度取得最小值.???????????????7分【法二】因為四邊形ABEF為正方形，所以BE丄AB，由（1）知BC丄BE，BC丄AB，所以以點B為坐標(biāo)原點，分別以BA,BC,BE為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2),E(0,2,0),F(2,2,0),D(2,0,2),第13頁，共16頁因為正方形因為正方形ABCD，ABEF的邊長都是2，所以AC=BF=22，所以所以2-22a所以???????????????7分所以當(dāng)所以當(dāng)當(dāng)點M，N為AC，BF中點時MN的長最小，取MN中點H，連接AH，BH，AN，BM，因為ABCD，ABEF為正方形，點M，N為AC，BF中點，所以AM=AN=BM=BN，因為H為MN中點，所以AH丄MN，BH丄MN，因為平面MNA平面MNB=MN，所以上AHB為平面MNA與平面MNB的夾角或其補(bǔ)角，.???????????????15分.???????????????15分所以平面所以平面MNA與平面MNB夾角的余弦值為【法二】【法二】 因為MN取最小時，a=2，所以M(1,0,1)，N(1,1,0)，設(shè)平面MNE的法向量為m=(x1,y1,z1)，第14頁，共16頁設(shè)平面MNB的法向量為n=(x2,y2,z2)，設(shè)平面MNE與平面MNB夾角為θ,所以cos即平面MNE與平面MNB夾角的余弦值為.???????????????15分18．已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，過點F且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的弦長為3.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)(2)過點B(1,0)作直線l交橢圓E于M,N兩點，且點M位于x軸上方，設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N1，求△BMN1面積的最大值．【答案】 且易知橢圓E過點(1,)，把點(1,)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得解得a2=4或a2=（舍所以a2=4,b2=3，???????????????5分（2）依題意，直線l不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線l方程為x=ty+1，t≠0，設(shè)點N(x1,y1),M(x2,y2),y2>0，則N1(x1,—y1)，|NN1|=—2y1，第15頁，共16頁由由消去x得y1+yy1y???????????????10分所以SBMN1=|SMNN1-SBNNNN1||x2-xNN1||1-x1|=2y1x2-1=(-2y1)|x2-1|=-y1|ty2+1-1|23.???????????????17分=-y1y2|t