第12講數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材·學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型·強知識：核心題型舉一反三精準(zhǔn)練【題型01：相關(guān)關(guān)系的概念和判斷】【題型01：數(shù)學(xué)歸納法的概念】【題型02：數(shù)學(xué)歸納法的增項】【題型03：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【題型04：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【題型05：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】【題型06：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題】第二步：記串知識·識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測·穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點1：數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時命題成立;（2）（歸納遞推）以“當(dāng)時命題成立”為條件,推出“當(dāng)時命題也成立”.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.知識點2：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式（1）弄清取第一個值時等式兩端項的情況;（2）弄清從到等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;（3）證明時結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.【題型01：數(shù)學(xué)歸納法的概念】1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)驗證（

）A．當(dāng)時，不等式成立 B．當(dāng)時，不等式成立C．當(dāng)時，不等式成立 D．當(dāng)時，不等式成立2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的初始值應(yīng)?。?/p>

）A．2 B．3 C．4 D．53．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)證明（

）A． B．C． D．4．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時，總可推出成立”，那么下列命題總成立的是（

）A．若成立，則當(dāng)時，均有成立B．若成立，則當(dāng)時，均有成立C．若成立，則當(dāng)時，均有成立D．若成立，則當(dāng)時，均有成立5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗證成立時，左邊所得的代數(shù)式是（

）A．1 B． C． D．6．正方形ABCD的邊長為1，取正方形各邊的中點，，，作第二個正方形，然后再取正方形各邊中點，，，作第三個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則前10個正方形的面積和為（

）A． B． C． D．【題型02：數(shù)學(xué)歸納法的增項】7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由的假設(shè)證明時，不等式左端的變化是（

）A．增加項 B．增加和兩項C．增加和兩項，減少項 D．以上結(jié)論均不正確8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（

）A．增加一項 B．增加兩項、C．增加，且減少一項 D．增加、，且減少一項9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項是（

）A． B．C． D．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（

）A． B．C． D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“”時，從到時，等式左邊需要增加的是.【題型03：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】求的和.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）．15．是否存在常數(shù)，，使得對一切自然數(shù)都成立？證明你的結(jié)論．16．設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且，求證：．【題型04：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的正整數(shù)．18．當(dāng)且時，求證：．19．若，，，，，，求證：．20．當(dāng)且時，求證：．21．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：．22．用數(shù)學(xué)歸納法證明：【題型05：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】23．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意偶數(shù)，能被整除時，其第二步論證應(yīng)該是（

）A．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立B．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立C．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立D．假設(shè)（為正整數(shù)）時命題成立，再證時命題也成立24．用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被64整除．25．用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除（）26．求證：對任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除27．先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？【題型06：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題】28．已知數(shù)列滿足，，，證明：數(shù)列的第項（）能被3整除．29．已知數(shù)列滿足，且，．(1)求，，；(2)猜想通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．30．在數(shù)列中，，.(1)求，，猜想數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.31．設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．32．設(shè)數(shù)列滿足，，2，3，．(1)當(dāng)時，求，，，并由此猜想出的一個通項公式；(2)當(dāng)時，用數(shù)學(xué)歸納法證明對所有，有．33．已知數(shù)列1，，，，…，（）的前項和為．(1)求，，；(2)猜想前項和，并證明．一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項C．項 D．k項2．對于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)（且）時，不等式成立，即，那么當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確 B．驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確3．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立4．平面上個圓最多把平面分成個區(qū)域，通過歸納推理猜測的表達(dá)式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，當(dāng)時，需證（

）.A． B． C． D．5．若正項數(shù)列中，，，則的值是（

）A． B．C． D．二、多選題6．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數(shù)B．使不等式成立的第一個自然數(shù)C．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是7．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（

）A．若成立，則當(dāng)時，均有成立B．若成立，則當(dāng)時，均有成立C．若成立，則當(dāng)時，均有成立D．若成立，則當(dāng)時，均有成立三、填空題8．用數(shù)學(xué)歸納法證“”的過程中，當(dāng)?shù)綍r，左邊所增加的項為．9．存在常數(shù)a，b，c使得等式對一切正整數(shù)成立，則．10．2023年2月22日，中國廈門市一名8歲男孩用時4.305秒單手完成4層漢諾塔游戲，成為新的世界紀(jì)錄保持者.漢諾塔游戲源于1883年法國數(shù)學(xué)家盧卡斯提出的漢諾塔問題，有，，三根柱子，在柱上放著由下向上逐漸變小的個盤子，現(xiàn)要求把柱上的盤子全部移到柱上，且需遵循以下的移動規(guī)則：①每次只能移動一個盤子；②任何時候都不允許大盤子放在小盤子的上面；③移動過程中盤子可以放在，，中任意一個柱子上.若用表示個盤子時最小的移動次數(shù)，則，.四、解答題11．已知．(1)是否存在常數(shù)使得對任意的都成立？若存在，求出；(2)若（1）