專題01空間向量及其運算10大題型內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.知識點2：空間向量的線性運算1.空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義與向量的方向相同的長度是的長度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運算律交換律結(jié)合律，分配律知識點3：共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．4、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使.推論：空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點O，有.知識點4：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.4、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點5：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2、基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．3、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．4、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．知識點6：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1、空間直角坐標(biāo)系（1）在空間選定一點O和一個單位正交基底,以O(shè)為原點,分別以的方向為正方向,以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸,這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（2）相關(guān)概念：O叫做原點,都叫做坐標(biāo)向量,通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它們把空間分成八個部分．畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時,一般使(或45°),.2、空間向量的坐標(biāo)表示（1）空間點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,為坐標(biāo)向量,對空間任意一點A,對應(yīng)一個向量,且點A的位置由向量唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使.在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作,其中x叫做點A的橫坐標(biāo),y叫做點A的縱坐標(biāo),z叫做點A的豎坐標(biāo)．（2）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量,作,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作．3、空間向量的運算及坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)向量,那么向量運算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積共線垂直向量長度向量夾角公式4、向量的坐標(biāo)及兩點間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)．（1）；（2）；（3）若則【題型01空間向量的加減數(shù)乘運算】1．在空間四邊形中，等于（

）A． B． C． D．2．已知平行六面體，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：(1)；(2)；(3).3．（多選）如圖，在直四棱柱中，，，，分別為，的中點，則（

）A． B．C． D．4．已知平行六面體，化簡下列向量表達(dá)式(1)；(2)；(3)．5．如圖，三棱柱中，分別為中點，過作三棱柱的截面交于，且，則的值為（

）A． B． C． D．1【題型02空間向量的線性表示】1．在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．2．如圖，在三棱錐中，，，，點在上，且，為中點，則（

）A． B．C． D．3．已知向量以為基底時的坐標(biāo)為，則以為基底時的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．在四面體中，點，滿足，，記，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，點E是的中點，點F在上，且.試用向量、與的線性組合表示.【題型03空間向量的線性表示求參數(shù)】1．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，過點的平面分別與棱、、交于點、、，若，，則（）A． B． C． D．2．如圖，M是三棱錐的底面的重心．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．如圖，已知空間四邊形，其對角線是邊上一點，且，為的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．4．（多選）已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且（，），則，的值可能為（

）A．， B．， C．， D．，5．已知、、、四點共面，則對于空間中任意一點，若，則的值為.【題型04空間向量的共線問題】1．已知向量，，且，則實數(shù)k的值為．2．已知點和點，則靠近點的三等分點的坐標(biāo)為．3．設(shè)向量，，不共面，已知，，，若，，三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知A，B，C三點共線，O為空間任一點，則①；②存在三個不為0的實數(shù)，m，n，使，那么使①②成立的與的值分別為（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，05．如圖，在正四棱錐中，點是棱的中點，點在線段上，點在線段上，點在平面內(nèi)，且，則的值為（

）

A． B． C．2 D．6．在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（

）A． B． C． D．【題型05空間向量的共面問題】1．若，，是空間一組不共面的向量，則不共面的一組向量為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．已知空間中點，，，，若，，，四點共面，則實數(shù)的值為.3．已知非零向量，，，若，為共線向量，則以下判斷中錯誤的是（

）A．與一定共線 B．與一定共面C．，，一定共面 D．與一定共線4．已知三棱錐的體積為是空間內(nèi)一點，，則三棱錐的體積是（

）A．3 B．6 C．8 D．105．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F(xiàn)，G，H四點共面，則.

6．如圖，已知平行六面體，分別是棱和的中點，求證：四點共面．【題型06空間向量數(shù)量積的運算】1．已知，，且，則（

）A． B． C．1 D．22．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，且，則．3．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），先后拋擲兩次，將得到的點數(shù)分別記為m，n，若向量，，則的概率是．4．在平行六面體中，各棱長均為2，，則.5．正四面體中棱長為2，為的中點，則．6．如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè)．(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值．7．如圖，在平行六面體中，，分別為，的中點，.

(1)求證：平面；(2)若，，，為線段的中點.求證：.【題型07空間向量的模長】1．設(shè)，向量，，，且，，則（）A． B．C．3 D．42．設(shè)，，向量，，，且，，則等于.3．如圖，二面角的大小為，棱l上有兩點A，B，線段和分別在面和內(nèi)，且，.若，，則的長為（

）A．10 B．8 C．6 D．4．在平行六面體中，，且交平面于點，則.5．如圖所示，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使得且.已知，則.6．在空間直角坐標(biāo)系中，已知．(1)若點滿足，求；(2)求的面積．7．如圖，在三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于2，為的中點，為線段上靠近的三等分點.(1)設(shè)，試用向量表示；(2)求線段的長度.【題型08空間向量的夾角】1．已知空間向量，的夾角為，且，，則與的夾角.2．點，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍為.3．三棱錐中，，，兩兩垂直，.則和的夾角為（

）A． B． C． D．90°4．（多選）在平行六面體中，，則下列說法正確的有（

）A．B．C．直線與所成角的余弦值為D．二面角的余弦值為5．已知空間中三點．(1)若，求a的值；(2)若與的夾角為，求a的值.6．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，．是的中點．(1)用空間的一個基底表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值；7．在正方體中，以D為圓心，正方體棱長為半徑，分別在正方形ABCD和正方形內(nèi)畫圓，點M為弧AC上任一點，點N為弧上任一點，點M，N到平面的距離相等，且，則．【題型09投影向量】1．已知向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為.2．在空間直角坐標(biāo)系中，向量在平面上的投影向量為，在向量上的投影向量為，則與的夾角為.3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，，若在上的投影向量為，則.4．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1，是線段上靠近點A1的四等分點，F(xiàn)1在棱C1D1上，且.(1)求向量的坐標(biāo);(2)求在上的投影向量的坐標(biāo).【題型10空間向量數(shù)量積的最值與范圍】1．已知為單位向量，且與夾角的余弦值為，向量，則（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值2．空間直角坐標(biāo)系中，已知，且點滿足，則的最小值為（

）A．5 B．3 C． D．3．如圖，正八面體棱長為4，空間動點滿足，則的最大值為.

4．如圖，長方體中，底面是邊長為2的正方形，動點P在線段上運動（包括端點），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．如圖，正方體的棱長為2，分別是的中點，是四邊形內(nèi)一動點，若直線與平面沒有公共點，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．6．如圖，在正四棱柱中，，，，，設(shè)直線與所成角的大小為.①當(dāng)時，；②若，則的取值范圍是.7．已知向量，，是空間中不共面的三個向量，若，，.(1)若三點共線，求的值；(2)若四點共面，求的最大值.一、單選題1．設(shè)x，，向量，向量，，且，，則（

）A． B．3 C．4 D．2．在四面體中，點G是的重心，設(shè)，則（

）A． B．C． D．3．如圖，平行六面體中，以為頂點的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是，則（

）A．2 B． C． D．4．已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．5．在平行六面體中,,,且,則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，，與平面交于點，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在棱長為3的正方體中，，點在底面（包含邊界）上移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題8．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．9．如圖，在三棱柱中，分別是所在棱的中點，設(shè)，則（）A． B．C． D．10．在空間四邊形ABCD中，，，則（

）A．若M為CD的中點，則B．直線AD與BC所成角的余弦值為C．D．空間四邊形ABCD外接球的表面積為三、填空題11．已知12．在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則直線與夾角的余弦的最小值為.13．已知圓錐的頂點為，為底