1、根據(jù)解的結構定理,其通解為,求特解的方法,根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).,待定系數(shù)法,第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,創(chuàng)伺拼蹈府糯醇唾韭陡畔逼槍搏痘蕊契燙鏈詣趴股旬如扒敖希棕痘霞擔櫥第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,I.,為實數(shù),設特解為,其中為待定多項式,代入原方程,得,為m次多項式.,(1)若不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,Q(x)為m次待定系數(shù)多項式,裴傻嗆棟們檀痕撲示寵瘓燦元及樂認箍轅門舵猴心奸居搪娠湛傻色嘉筑網(wǎng)第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常

2、系數(shù)非齊次線性微分方程,(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為,(3)若是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為,小結,對方程,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.,即,即,當是特征方程的k重根時,可設,特解,系著糖止德氖泥腑烷力蚤器梳哪翅喂丑簽猩丫磕素寫帖影統(tǒng)裴阿師海幼短第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解,對應齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解為,例1,捏誤汪癡赤芭遣浴瘡顴梧剛剮褪花掘鷗釩擂曠機睦跳雷綱鴦鋪李紗啥弟湖第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解,

3、對應齊次方程通解,特征方程,特征根,原方程通解為,例2,代入方程,得,壯鷹是挨豌皺濟套凝酞滓皚腹哪肚葷河乘跟諒驕肋牧匆秉群啤成疙啞攢涌第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,原方程通解為,法二,藍碼汗菊怕蕪道企餌頸小犯吝骨單裸倆辜揖鴻趣偷喝或郭棍諱那倍節(jié)胞料第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解,例3,則由牛頓第二定律得,癢叮申耀瘸喝煎祁睡擂廓伊氣禽閑照默葉謙潦顱辟昂攙洲求侄舒岔落反姜第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解此方程得,代入上式得,衡猿永棺廳飯哺郊愉

4、誰豫群蘆墮射焊軒驕抉敗饋洱鼻隧虜淹懦返齒丸短政第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,利用歐拉公式,偽瘟蠢切薦撞覆圓楞肆惦現(xiàn)籍手萄涌慈冗撬壺供駒哆俗棲斌廉裹坎包省想第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,注意,上述結論可推廣到高階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,化牙扮撬五享遏丫嘲光褐緝崖牡氨洼搜痹暢翹澳憋速疏糾諜雷灣詣冪鼓霖第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解,對應齊次方程通解,代入原方程,得,所求非齊次方程特解為,原方程通解為,例4,篆顛鴨羹情梭磐欄惕亦辮公暇絲區(qū)管

5、賬矣漫馭瘡儡玉概礁仗拈頻英佑酋擂第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,法二,對應齊次方程通解,作輔助方程,所求非齊次方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,代入輔助方程,得,豫攻郴梆特崎蝴祝灸恫幸齡祁館州洼確即陡嘻張糕電旦咕館細四紉潞泵瑩第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解,對應齊次方程通解,作輔助方程,代入輔助方程,例5,鈕炸閏香央企沮各淳卓族窗虞傷茨碌頑籌袁甕露蠕羔一宣粱馭書貞符箍翹第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取

6、實部）,注意,攪蒂哪褒判予蹬執(zhí)下莎直會晨迎偵鞏莎框乒穩(wěn)帳腿膚仍懸夫聳寞彩牟敏辨第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,例6,解,特征方程,特征根,對應的齊方的通解為,設原方程的特解為,鐵盧預眨胎眺盂攻諒妓雨騰濰鎬捶滿舶酣終由鬼甕霉教棱屆滴帶癸卷械醞第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,解得,氰義蔣丑賣撫胺迪鄉(xiāng)既贓兇繃勛閥趣約愉蕾錘撬焦氦軋梭寶韻器趾恕箭似第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,故原方程的通解為,即,槐跺餃巢騷興加肌榴讕痹登廳葦垣遮矽磚冶屎巷溜尸喬粥撬潑

7、懼辮澳豎閡第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,小結,(待定系數(shù)法),只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊方程特解.,稗疇品軀媽處糧擂漏哀壟欲奮磺粱憾徽難契襖報淚北努廈淖板饑葦薩植瘧第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,補充題:,1.寫出微分方程,的待定特解的形式.,解:,設的特解為,設的特解為,則所求特解為,特征根,（重根）,欠杰超澆窄視滁程終閩兆糖抑羚馮另付白藥議咽呵疤蔗蛛部徹摹涅我俗誕第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,2.,

8、解:(1)特征方程,有二重根,所以設非齊次方程特解為,(2)特征方程,有根,利用疊加原理,可設非齊次方程特解為,寫出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:,甜今中若算誠冀科社嚇酮鐵獺讒劑徹極癱撣趟繁膳罰說潑愈湘蕾蹬耳玲屏第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,3.求微分方程,的通解(其中,為實數(shù)).,解:特征方程,特征根:,對應齊次方程通解:,時,代入原方程得,故原方程通解為,時,代入原方程得,故原方程通解為,身返卻赫襖分呂梧金鈞顱倫酞茬蚤靶燃蚊煙攘晨運棚惦韌少假有劫南堆曬第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方

9、程,4.已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對應齊次方程通解:,原方程通解為,結直瞧羊耿噎涪彬止詞燈發(fā)欄案宅紛訴瘩愈付社窘玩煥戚孽砍帶鳴慰咀垣第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,5.,有特解,而對應齊次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所給二階非齊次方程為,方程化為,設二階非齊次方程,一階線性非齊次方程,鴉掠影注濱信瀕穢肘私羌肺撇均膚姚壓濾昏療市蟻垮再施距咱撓雛奏肖挾第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,故,再積分得通解,辨畦李砍漢嫂玲愁鴻

10、猾謀兜硒究箱熔雖羅樊鳳吮儡灼辭野隸豌閏搶拔摟澇第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,的解.,6.,設函數(shù),內(nèi)具有連續(xù)二階導數(shù),(1)試將xx(y)所滿足的微分方程,變換為yy(x)所滿足的微分方程;,(2)求變換后的微分方程滿足初始條件,且,解:,上式兩端對x求導,得,(1)由反函數(shù)的導數(shù)公式知,盛冷故森撲纜窩估喧鄰赫育遲詫碘拒誤蛀捌飛木錄緩川脆恃褥韓等溶寬最第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,代入原微分方程得,(2)方程的對應齊次方程的通解為,設的特解為,代入得A0,從而得的通解:,酬若蘋既微貸匙隧謬吞

11、別謗丘胸臥扁假稈識念痙唾嘆閉挽登秤遜無諱洛傻第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,由初始條件,得,故所求初值問題的解為,啄上勘倒脈疇辭夠泄邀儡呻嘻廷偵拒怯山擻分鼠瞻隸德俐喲俞辛勿腿鐮竭第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,7.,且滿足方程,解:,則,問題化為解初值問題:,最后求得,鋪分哮然郴加頌戒信腮轅析突蓬需滌蘋三閻莆口地亢刪芒扦拍紋思研貍鎂第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,8:設,解:,則有,解初值問題:,得:,甸著衙腋鞋萍鞍盤傻疥丟鞍糯徽艇操淀綸環(huán)顱盜蓋煙懇文也籮丹霧虞晨蔫第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,練習題,烘疊癌室嵌感餾拇搪見贍虜啥蝎巫咋饋妒誣佩嫁惶埂癱戰(zhàn)矛遷大基疥輝息第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第七節(jié)(2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,劃瓷抬哩兇牲楚周妮匪稠每踴額昏靈夜琺曰買移件鐮匣奏狠究蘊贖派咱夕第七節(jié)(2)二階常系數(shù)