1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般而言，形式為(常數(shù))的函數(shù)被稱為二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)的是，與一次二次方程式類似，二次項(xiàng)系數(shù)可以是零。 二次函數(shù)的定義域是整體實(shí)數(shù)2 .二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是與自變量相關(guān)的二次式，的最高次數(shù)是2 .是常數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1 .二次函數(shù)的基本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)往上走軸有時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，隨著增大而減小時(shí)，有最小值朝下。軸時(shí)，隨著增大而減少時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，有最大值2 .的性質(zhì)：正負(fù)。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)

2、稱軸性質(zhì)往上走軸有時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，隨著增大而減小時(shí)，有最小值往下看軸時(shí)，隨著增大而減少時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，有最大值3 .的性質(zhì)：從左向右拉。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)往上走X=h時(shí)，隨著增加而增大時(shí)，隨著增加而減少時(shí)，有最小值往下看X=h時(shí)，隨著增大而減少時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，有最大值4 .的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)往上走X=h有時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，隨著增大而減小時(shí)，有最小值往下看X=h時(shí)，隨著增大而減少時(shí)，隨著增大而增大時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖像的移位1 .畫面移動(dòng)步驟：方法1:將拋物線解析式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)不改變拋物線形狀，使其頂點(diǎn)到處直線移動(dòng)，

3、具體的直線移動(dòng)方法如下2 .平移規(guī)則根據(jù)原始函數(shù)“值向右偏移，負(fù)向左偏移值向上下降，負(fù)向下下降”總結(jié)成“從左向右，從上到下”八個(gè)字方法2 :沿著軸向上(下)移動(dòng)：時(shí)(或)沿軸直線移動(dòng)：將單位向左(右)直線移動(dòng)，成為(或)四、與二次函數(shù)的比較從解析式來看，是兩種不同的表現(xiàn)形式，后者根據(jù)處方能夠得到前者，即，在其中的形式.五、二次函數(shù)圖像的畫法五點(diǎn)畫法：用二次函數(shù)作為頂點(diǎn)點(diǎn)，決定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，在對(duì)稱軸的兩側(cè)左右對(duì)稱地畫點(diǎn)。 一般選擇的五點(diǎn)是頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)(若沒有與軸的交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn))。在畫草圖時(shí)，應(yīng)該抓住開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)

4、、與軸的交點(diǎn)六、二次函數(shù)的性質(zhì)1 .當(dāng)時(shí)拋物線開口向上，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為那時(shí)，隨著增大而減少的時(shí)候，隨著增大而增大的時(shí)候，有最小值2 .此時(shí)，拋物線開口朝下，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，那時(shí)隨著變大而變大，當(dāng)時(shí)隨著增大而減少，當(dāng)時(shí)有最大值七、二次函數(shù)解析式的表現(xiàn)方法1 .通式：(，是常數(shù))2 .頂點(diǎn)：(，是常數(shù))3 .二本式：(、是拋物線與軸交點(diǎn)的橫軸)。注意：任意二次函數(shù)的解析式可以為通式或頂點(diǎn)式，但并非所有二次函數(shù)都能寫出交點(diǎn)式，只有拋物線和軸有交點(diǎn)，才能立即用交點(diǎn)式表示拋物線的解析式。 二次函數(shù)解析式的這三種形式可以相互化。八、二次函數(shù)圖像與各系數(shù)的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)在二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系

5、數(shù)很明顯當(dāng)時(shí)拋物線的開口向上，值越大，開口越小，相反的值越小，開口越大當(dāng)時(shí)拋物線的開口向下，值越小，開口越小，相反的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定拋物線開口的大小和方向，正負(fù)決定開口方向，大小決定開口的大小2 .一次項(xiàng)系數(shù)以二次項(xiàng)系數(shù)的確定為前提，確定了拋物線的對(duì)稱軸在前提下當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在軸的左側(cè)當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是軸當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)在前提下，結(jié)論正好與上述相反當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是軸當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)總而言之，在確定的前提下，確定了拋物線對(duì)稱軸的位置符號(hào)的判定：對(duì)稱軸為軸的左側(cè)，軸的右側(cè)，概括的話為“左右異”總結(jié)：3 .常數(shù)項(xiàng)當(dāng)時(shí)

6、，拋物線和軸的交點(diǎn)在軸上，拋物線和軸的交點(diǎn)的縱軸為正當(dāng)時(shí)拋物線和軸的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，也就是拋物線和軸的交點(diǎn)的縱軸是當(dāng)時(shí)，拋物線和軸的交點(diǎn)在軸之下，也就是拋物線和軸的交點(diǎn)的縱軸為負(fù)?？偨Y(jié)，確定了拋物線和軸的交點(diǎn)的位置也就是說，如果全部確定的話，這條拋物線是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，通常利用未定系數(shù)法。 用未定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，必須根據(jù)問題的特征選擇適當(dāng)?shù)男问健?一般來說，有以下情況1 .知道拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選擇通式2 .拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值是已知的，一般選擇頂點(diǎn)3 .知道拋物線和軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸，一般選擇兩個(gè)公式4 .已知拋

7、物線上的縱軸相同的兩點(diǎn)總是選擇頂點(diǎn)九、二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性通常存在五種情況，能夠用通式或頂點(diǎn)式來表現(xiàn)1 .關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱，得到的解析公式是關(guān)于軸對(duì)稱，得到的解析公式是2 .關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱，得到的解析公式是關(guān)于軸對(duì)稱，得到的解析公式是3 .關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析公式為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析公式為4 .關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(即拋物線以頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱，得到的解析式是關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5 .關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得到的解析式是很明顯，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，無論進(jìn)行什么樣的對(duì)稱變換，拋物線的形狀都不會(huì)變化，所以永遠(yuǎn)不變。 求拋物線對(duì)稱拋

8、物線的公式時(shí)，可以根據(jù)問題意或容易運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上先確定原拋物線(或公式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向，然后確定對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向，再寫對(duì)稱拋物線的公式。十、二次函數(shù)和一次二次方程式：1 .二次函數(shù)和一次二次方程式的關(guān)系(二次函數(shù)和軸的交點(diǎn)的情況):一次二次方程式是二次函數(shù)為函數(shù)值時(shí)的特殊情況圖像和軸的交點(diǎn)數(shù)：當(dāng)時(shí)，圖像和軸相交于兩點(diǎn)，其中有一維二次方程式兩條。 這兩點(diǎn)之間的距離當(dāng)時(shí)圖像和軸只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圖像和軸沒有交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圖像落在軸上，是任何實(shí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，圖像落在軸下，什么實(shí)數(shù)都有2 .拋物線圖像與軸必須相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：3 .二次函數(shù)中常用的解題方法總

9、結(jié)：為了求出二次函數(shù)的圖像和軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要變換成一次二次方程式為了求出二次函數(shù)的最大(小)值，有必要利用分配方法將二次函數(shù)從通式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式要根據(jù)圖像的位置來判斷二次函數(shù)中、的符號(hào)，或根據(jù)二次函數(shù)中、的符號(hào)來判斷圖像的位置，可進(jìn)行數(shù)學(xué)形式結(jié)合利用二次函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以將已知的點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)相加，或者將與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為已知，從對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為正、零、負(fù)一次二次方程式有兩個(gè)不同的實(shí)根拋物線和軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一次二次方程式有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線和軸沒有交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值總是正的一次二次方程式?jīng)]有實(shí)數(shù)根有與二

10、次函數(shù)相關(guān)的二次三項(xiàng)式，是包含二次三項(xiàng)式本身的字母二次函數(shù)以下，以時(shí)間為例，明確二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一次方程式之間的內(nèi)在關(guān)系圖像參照：十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)調(diào)查的重點(diǎn)和常見問題類型1 .考慮到二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，相關(guān)問題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇問題上知道被認(rèn)為是自變量的二次函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)時(shí)的值是2 .正比，反比，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像綜合檢查，問題的特征是在同一直角坐標(biāo)系中檢查兩個(gè)函數(shù)的圖像，問題類型是選擇問題如該圖所示，在函數(shù)的圖像處于第1、第2、第3象限時(shí)，函數(shù)的圖像大致為()y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xPS3、考察了使用保留系數(shù)法求二次函數(shù)

11、的解析式，練習(xí)題的出現(xiàn)頻率很高，練習(xí)題類型有中級(jí)解答問題和選拔性的綜合問題已知拋物線通過(0，3 )、(4，6 )兩點(diǎn)，對(duì)稱軸求出該拋物線的解析式。4 .使用交配方法求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，問題是解答問題已知拋物線(a0 )和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸為-1、3，與y軸的交點(diǎn)的縱軸為-。(1)確定拋物線的解析式(2)用分配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)5 .調(diào)查代數(shù)和幾何學(xué)的綜合能力，常見的是特別的主題?！纠}古典】根據(jù)拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)參照?qǐng)D1示出示例1 (1)中的二次函數(shù)的圖像，點(diǎn)在()處a .第一象限b .第二象限c .第三象限d .第四象限(2)已知二

12、次函數(shù)y=ax2 bx c(a0 )的圖像，如圖2所示，a、b在相同編號(hào)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等，4a b=0； y=-2時(shí)，x的值只能取0 . 正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)(1) (2)。明確拋物線的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵已知二次函數(shù)y=ax2 bx c的圖像與x軸在點(diǎn)(-2，o )、(x1，0 )處相交，并且1O； 4a cO，其中正確結(jié)論的數(shù)量是()A 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D.4個(gè)回答： d用未定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式可以看出，關(guān)于x的一次二次方程式ax2 bx c=3的根是x=-2，二次函數(shù)y=ax2 bx c的對(duì)稱軸是直線x=2，拋物線

13、的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2，-3) b.(2，1 ) c (2，3 ) d.(3，2 )回答： c如圖(單位： m )所示，等腰三角形ABC沿著直線l以2米/秒的速度移動(dòng)，直到AB與CD重疊為止.(1)寫y和x的關(guān)系式(2)x=2、3.5時(shí)，y分別是多少？(3)重疊部分的面積為正方形面積的一半的情況三角形移動(dòng)了多少？求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸例5、拋物線y=x2 x-。(1)用分配方法求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸(2)設(shè)該拋物線和x軸兩個(gè)交點(diǎn)為a、b，則求出線段AB的長度.本問題(1)是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考察，第(2)主要考察二次函數(shù)和一次方程式的關(guān)系已知二次函數(shù)y=ax2-(B1 ) x-3a

14、的圖像通過點(diǎn)p (4，10 )，交叉x軸為兩點(diǎn)，交叉y軸為負(fù)的半軸為c點(diǎn)，且滿足3AO=OB .(1)求二次函數(shù)的解析式(2)二次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)m，設(shè)為銳角MCOACO嗎？ 如果存在的話，請(qǐng)求出m點(diǎn)的橫軸值的范圍。如果不存在的話，請(qǐng)說明理由。(1)解：圖-拋物線交叉x軸在點(diǎn)a (x1，0 )，B(x2，o )處x1x2=30，另外x1o、x1ACO例7 已知函數(shù)圖像通過點(diǎn)A(c，-2)是二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是x=3。 “主題中的矩形框的部分是被墨水污染而無法辨認(rèn)的文字。(1)根據(jù)已知和結(jié)論中存在的信息，能求出出題中的二次函數(shù)解析式嗎？ 如果可能的話，請(qǐng)寫求解過程，如果不能畫二次函數(shù)圖像，請(qǐng)說明理