1、1,.,演繹完美數(shù)學(xué)與音樂的巧妙結(jié)合,.,2,2500年前的一天，古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯外出散步，經(jīng)過一家鐵匠鋪，發(fā)現(xiàn)里面?zhèn)鞒龅拇蜩F聲響，要比別的鐵匠鋪更加協(xié)調(diào)、悅耳。他走進(jìn)鋪?zhàn)樱苛擞至胯F錘和鐵砧的大小,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，音響的和諧與發(fā)聲體體積的一定比例有關(guān)。之后，他又在琴弦上做了許多試驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)只要按比例去劃分一根振動(dòng)著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程。如1:2產(chǎn)生八度，2:3產(chǎn)生五度，3:4產(chǎn)生四度等等。就這樣，畢達(dá)哥拉斯在世界上第一次發(fā)現(xiàn)了音樂和數(shù)學(xué)的聯(lián)系。,.,3,若干世紀(jì)以來，音樂和數(shù)學(xué)一直被聯(lián)系在一起。從基本的阿拉伯?dāng)?shù)字到“黃金分割”，音樂中不僅包含了數(shù)學(xué)中的“數(shù)列”、“變換”、等知

2、識(shí)，樂譜的書寫乃至樂器的制作無不透著數(shù)學(xué)的蹤影。數(shù)學(xué)家們研究音樂，音樂家也和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。正因如此，越來越多的人開始關(guān)注音樂，研究數(shù)學(xué)與音樂的聯(lián)系。了解這種關(guān)系無論是在生活中聆聽音樂感受數(shù)學(xué)，還是利用數(shù)學(xué)知識(shí)制作音樂都會(huì)有意想不到的收獲！,.,4,主要內(nèi)容,基礎(chǔ)樂理與數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂中的綜合應(yīng)用,數(shù)學(xué)家與音樂,樂器制作中的數(shù)學(xué)原理,.,5,本章主要是講述樂理知識(shí)中的一些數(shù)學(xué)原理。其中包括樂譜的書寫中的一些數(shù)學(xué)表示方式，如：我國(guó)通用的簡(jiǎn)樸就是用阿拉伯?dāng)?shù)字來表示的，不僅簡(jiǎn)單直觀而且方便抄寫，是目前在中小學(xué)音樂教材中最常用的書寫方式。,基礎(chǔ)樂理與數(shù)學(xué),.,6,.,7,例：3/4以四分音符為一拍，

3、每小節(jié)三拍。我們規(guī)定一個(gè)全音符=兩個(gè)二分音符=四個(gè)四分音符即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4一個(gè)四分音符=兩個(gè)八分音符1/4=1/8+1/8總的可以表示為：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）*4,.,8,音律的產(chǎn)生發(fā)展與數(shù)學(xué)的關(guān)系，其中包括中國(guó)古代的五度相生律的由來，以及現(xiàn)在普遍采用的十二平均律中的數(shù)學(xué)原理。在這一章中你會(huì)發(fā)現(xiàn)，音樂和數(shù)學(xué)真的脫不了關(guān)系，樂律的不斷發(fā)展與完善可以完全有數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出。,.,9,除了上一章中所述的數(shù)學(xué)與音樂理論的關(guān)系之外，數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂中有很多的綜合運(yùn)用，如指數(shù)曲線，周期函數(shù)，數(shù)學(xué)變換，數(shù)列等等。

4、,數(shù)學(xué)知識(shí)在音樂中的綜合運(yùn)用,.,10,音樂中的數(shù)學(xué)變換,平移變換,對(duì)稱變換,.,11,平移變換,.,12,對(duì)稱變換,.,13,.,14,上面所介紹的都只是一些小節(jié)之間的平移。除此之外，在音樂作品當(dāng)中的轉(zhuǎn)調(diào)（移調(diào)）也是一種很普遍的方式，將一首曲子全曲或者某個(gè)部分整體上行或者下行幾度變成另一個(gè)調(diào)性的曲子，在音樂中可以給人一種耳目一新的層次感。這也是好多作曲家慣用的手法，其實(shí)質(zhì)就是將曲子整體的平移幾度而已。,.,15,1、2、3、5、8、13.,鋼琴鍵盤上的斐波那契數(shù)列,.,16,菲波那齊數(shù)列在音樂中得到普遍的應(yīng)用，如常見的曲式類型與菲波那齊數(shù)列頭幾個(gè)數(shù)字相符，它們是簡(jiǎn)單的一段式、二段式、三段式和

5、五段回旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結(jié)構(gòu)，如再增加前奏及尾聲則又從三發(fā)展到五部結(jié)構(gòu)。黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關(guān)系。如果說斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合,那么等比數(shù)列在音樂中的出現(xiàn)就決非偶然了:1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的.,.,17,來看一下圖1,顯然這個(gè)八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個(gè)半音,并且我們知道下一個(gè)C鍵發(fā)出樂音的振動(dòng)次數(shù)(即頻率)是第一個(gè)C鍵振動(dòng)次數(shù)的2倍,因?yàn)橛?來分割,所以這個(gè)劃分是按照等比數(shù)列而作出的.我們?nèi)菀浊蟪龇指畋葂,顯然x滿足x(12)=2,解這個(gè)方程可得x是個(gè)無理數(shù),大約是0.1106。于是我們說某個(gè)半音的音高是那個(gè)音

6、的音高的0.1106倍,而全音的音高是那個(gè)音的音高0.11062倍.實(shí)際上,在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列4。,.,18,我們分析許多著名的音樂作品，發(fā)覺其中高潮的出現(xiàn)多和黃金分割點(diǎn)相接近，位于結(jié)構(gòu)中點(diǎn)偏后的位置：小型曲式中8小節(jié)一段式，高潮點(diǎn)約在第5小節(jié)左右；16小節(jié)二段式，高潮點(diǎn)約在第10小節(jié)左右；24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點(diǎn)在第15小節(jié)左右。,.,19,莫扎特被稱為音樂神童，他在八歲是開始作曲，十歲時(shí)寫了第一部歌劇?？上蝗鶜q，據(jù)說如果讓一個(gè)人抄寫他的畢生作品，日夜不停的抄寫，要抄三十年。莫扎特是一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，據(jù)統(tǒng)計(jì)他的作中有百分之九十滿足黃金分割。后人說莫扎特音樂可以開發(fā)智力，

7、或許正是應(yīng)為他他的作品里透著無數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)把。,.,20,講到樂器制作中的數(shù)學(xué)原理6，我們有必要吧第二章中一些知識(shí)以及弦振動(dòng)公式重申一遍。,樂器制作中的數(shù)學(xué)原理,.,21,音高是由頻率決定的振幅決定了聲音的強(qiáng)度音色（音質(zhì)）是由發(fā)聲物體的材質(zhì)決定音的長(zhǎng)短（時(shí)值）是由發(fā)聲的時(shí)間規(guī)定C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對(duì)于人聲就只有C、c、c1、c2,.,22,假定一根空弦發(fā)出的音詩do，則二分之一長(zhǎng)度的弦發(fā)出的就是高八度的do，8/9長(zhǎng)度的弦發(fā)出r

8、e,64/81長(zhǎng)度的先發(fā)出mi，3/4長(zhǎng)度的弦發(fā)出fa，2/3長(zhǎng)度的弦發(fā)出so,16/27長(zhǎng)度的弦發(fā)出la,128/243長(zhǎng)度的弦發(fā)出si等以此類推，如果我們以音位橫坐標(biāo)，弦長(zhǎng)為縱坐標(biāo)，很弱故意就可以會(huì)出一天近似的指數(shù)曲線。這就是為什么三角鋼琴的形狀近似于指數(shù)曲線了，這樣不僅可以使材料最省，而且優(yōu)雅美觀。1,8/9,64/81,3/4,2/3,16/27,128/243,.,23,.,24,.,25,.,26,吉他弦從一弦到六弦，由細(xì)到粗，長(zhǎng)度一樣，但每弦的音高都不一樣，這時(shí)怎樣做到的呢？這歸結(jié)到我們之前所說的頻率公式，由于一弦和二弦粗細(xì)一樣，而頻率不一樣，故一弦拉的緊，也就是張力T不一樣。值

9、得注意的是一弦和他們的音是一樣的，而一弦和六弦的粗細(xì)不一樣，材質(zhì)不一樣，故他們的p不一樣，音高也自然容易控制了。另外一點(diǎn)，我們知道琴頸上的品格（把位）是由寬到窄的，每向前移動(dòng)一品格，就升高半個(gè)音，而移動(dòng)一個(gè)八度之后，品格的寬度剛好是低八度品格的一半。這些都并非巧合，如果需要們可以用游標(biāo)卡尺和螺旋測(cè)微儀做精細(xì)的測(cè)量對(duì)比，相信在吉他制作之前也是經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)計(jì)算才能夠這樣輕而易舉的批量生產(chǎn)的。,.,27,.,28,笛子的發(fā)聲自然是整個(gè)笛身的震動(dòng)，而氣柱的長(zhǎng)度不同使得我們可以輕而易舉的控制應(yīng)高。觀察笛子音孔的分布我們可以看到，在半音的地方，兩個(gè)音孔距離很近，而在全音的地方音孔的距離是半音處的兩倍，這

10、是針對(duì)目前的七聲音階笛子，而對(duì)于中國(guó)傳統(tǒng)的五聲音階來講，笛子的音孔是均勻分布的。試想，如果我們用同種材質(zhì)，粗細(xì)一樣的管子來制作笛子，那么只要計(jì)算好音孔的位置，以及標(biāo)注好在管子上的比例，那么批量生產(chǎn)也是如此簡(jiǎn)單易行，這就大大的降低了笛子的制作成本。,.,29,.,30,音樂，就它的基礎(chǔ)來說，是數(shù)學(xué)的；就它的出現(xiàn)來說，是直覺的。萊布尼茨我們這個(gè)世界可以由音樂的音符組成也可以由數(shù)學(xué)公式組成。愛因斯坦,數(shù)學(xué)家與音樂,.,31,德國(guó)物理學(xué)家赫爾姆霍茨說：“在中國(guó)人中，有一個(gè)明朝的王子叫朱載堉，他在舊派音樂家的大反對(duì)中，倡導(dǎo)七聲音階。把八度分成十二個(gè)半音以及變調(diào)的方法，也是這個(gè)有天才和技巧的國(guó)家發(fā)明的?！?/p>

11、1997年中國(guó)國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人出訪美國(guó)，在哈佛大學(xué)演講時(shí)說“明代朱載堉首創(chuàng)的十二平均律，后來成為國(guó)際通行的標(biāo)準(zhǔn)音調(diào)”。,.,32,愛因斯坦經(jīng)常在彈奏鋼琴時(shí)思考難以捉摸的科學(xué)問題。據(jù)他妹妹瑪雅回憶，他有時(shí)在演奏中會(huì)突然停下來激動(dòng)地宣布：“我得到了它！”仿佛有神靈啟示一樣，答案會(huì)不期而遇地在優(yōu)美的旋律中降臨。據(jù)他的小兒子漢斯說：“無論何時(shí)他在工作中走入窮途末路或陷入困難之境，他都會(huì)在音樂中獲得庇護(hù)，通常困難會(huì)迎刃而解。,.,33,類似愛因斯坦的例子有好多，從中國(guó)的朱載堉、陶哲軒到國(guó)外的傅里葉、萊布尼茲等，無數(shù)的數(shù)學(xué)家與音樂都有著許許多多有趣的故事和經(jīng)歷，他們研究數(shù)學(xué)，喜歡音樂，從音樂中的到了對(duì)數(shù)學(xué)啟迪和

12、感悟，用數(shù)學(xué)的方式感受他們自己獨(dú)特的音樂。也許正是因?yàn)槌齾s數(shù)學(xué)的邏輯和推理之外音樂能帶給他們創(chuàng)造性的一顆時(shí)刻靈動(dòng)和“跳躍著”的心吧！,.,34,畢達(dá)哥拉斯說：“音樂之所以神圣而崇高，就是因?yàn)樗从吵鲎鳛橛钪姹举|(zhì)的數(shù)的關(guān)系?！笔澜缟夏睦镉袛?shù)，哪里就有美。數(shù)學(xué)像音樂及其它藝術(shù)一樣能喚起人們的審美感覺和審美情趣。在數(shù)學(xué)家創(chuàng)造活動(dòng)中，同樣有情感、意志、信念、等審美因素參與，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的定義、定理、公理、公式、法則如同所有的藝術(shù)形式如詩歌、音樂、繪畫、雕塑、戲劇、電影一樣，可以使人動(dòng)情陶醉，并從中獲得美的享受。,.,35,音樂能詮釋人們的喜怒哀樂，我們通過音樂把自己對(duì)大自然、人生的態(tài)度等表現(xiàn)出來,即音樂抒發(fā)人們的情感。我們也可以不用語言，單是通過音樂與他人甚至